讲课提纲-第四次1Cauchy列概念又称为基本

§1.3BolzanoCauchyP40Ex1.35，6（1（3，9四、CauchyCauchy列的概念（Cauchy列又称为基本列定义：设an是一个数列，若对于任意的0N，当mNnNan

成立，则称an是一个Cauchy列例如q1时，qn就是一个Cauchy列。因为qn

qn1qm

2qn（m，

qn0，所以对任意的0N，当mnan

Cauchy定理an收敛anCauchy列。Cauchy设k

A0an是一个Cauchy所以存在正整数N1

mN1nN1时an

k

AK

kK

A取Nmax{N1,K}，则当nN,kN时有

an

A2kkn

anAan发散存在00，对任意的N0，总存在nN,m

，使得anam0n（1）

2n

nk

2“0 2kn1

n(n (np1)(n n n

limknk “kn

若数列ana2a1a3

n

an“bna2a1a3

an

单调有bnCauchy由an1an

可知an也是Cauchy列

n

a2。

a3a2§1.4P60Ex1.4

x

f(x)A00，当0

x

f(xA（1）0

x

f(xf(x0的关系；（3）与x0

x

f(x)A（1）limx24 （2）

sinx0f1x2 xf1

x

f(x)A0

x

A

u

f(u)A

x

g(x)

，且x

时，g(x)u0x

f(g(x))A

u

f(u)A10

0u

1时f(uA对于上述10

x

g(x)u0xx0时，g(x)u0，所以00x

时，有0g(x

1

f(g(xAf(xx0的左侧附近单调增加（减少）且有上（下）f(xx0的左f(xx0的右侧附近单调减少（增加）且有上（下）f(xx0

x

f(x)A

n

xnx0(xnx0，都

n

f(xn)Ax

f(x)A0

，

0

x0f(xA0特别地，取

1，得到x满足nnn

xn

1n

f(xn)A0 （1）

xppq互素（2）f(x)q

q

f(xNote：两个整数互素（互质）指的是它们之间除了1之外没有其它公共约x0是一个无理数，只要证明对任意的 f(zn)0

n

znx0(znx0)，都有n

znk

k

f(xk)0

yk

f(yk)

k

1qN0，当kNkkfyk)0

f(yk)

n

f(zn)0Notef(x

xppq互素NoteRiemannf(xq

qCauchy

x

f(x存在0，0，当0

x1

，0

x2

有f(x1f(x2)

f(x1)f(x2)

f(x1)A

f(x2A设xn是满

n

xnx0(xnx0的任意数列。先证数列f(xn)是一个

x

f(x)

f(xn)000f(xf(x)

x

，0

x

对于上述0

n

xnx0(xnx0N0，当nN,m0

xn

，0

xm

，从而

f(xnf(xm)。这说明数列f(xn)是一个Cauchy列A

n

f(xn0N10

f(xnA取n0maxNN1

0

x0

f(xn0)A

0xx0

时，有

f(x)A

f(x)f(xn0)

f(xn0A2，故x

f(xx

f(x)不存在的Cauchy准则：000x,x0x

，0

x

f(xf(x)0Cauchy

x00“取 10，对01，取x,x02

，则0

x

，且2f(x)f(x)

11120120

“不妨设

x11x30，取

0

x1，0

x1时，x x 1

4x1x18L’Hospitalf(x),g(x)（1）x0g(x)

x

g(x)

x

f(x)A()g则x

f(x)g(x)

x

fg(x)

x

g(x)Cauchy

0xx0

f(x)g(x)

0

0xx0

f(x)Ag(x)

，所以存在10,M0xx0x0ff

A

Mfgxx1(x0fgfg(x)fg(x)ffg(x)fg(x)f(x)fg(x)f(x)fg(x)f(x)g(x1)fg(x)[g(x)

f()Ag()f(x1)g(x1)f(x)g(x1)f(x1)g(x)fg(x)[g(x)

f()Ag()g(x) fg(x)MfMfg(x)

ffg(x)

0xx0

g(x)，所以存在20x(x0x02MMffg(x)取min1,2}x(x0xfg(x)

A2

0xx00xx0

f(x)g(x)f(x)g(x)

fg(x)fg(x) ffg(x)fg(x)g(x)

f(x)fg(x)f(x)g(x1)f(x1)g(x)g(x)[g(