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文档简介
§1.3BolzanoCauchyP40Ex1.35,6(1(3,9四、CauchyCauchy列的概念(Cauchy列又称为基本列定义:设an是一个数列,若对于任意的0N,当mNnNan
成立,则称an是一个Cauchy列例如q1时,qn就是一个Cauchy列。因为qn
qn1qm
2qn(m,
qn0,所以对任意的0N,当mnan
Cauchy定理an收敛anCauchy列。Cauchy设k
A0an是一个Cauchy所以存在正整数N1
mN1nN1时an
k
AK
kK
A取Nmax{N1,K},则当nN,kN时有
an
A2kkn
anAan发散存在00,对任意的N0,总存在nN,m
,使得anam0n(1)
2n
nk
2“0 2kn1
n(n (np1)(n n n
limknk “kn
若数列ana2a1a3
n
an“bna2a1a3
an
单调有bnCauchy由an1an
可知an也是Cauchy列
n
a2。
a3a2§1.4P60Ex1.4
x
f(x)A00,当0
x
f(xA(1)0
x
f(xf(x0的关系;(3)与x0
x
f(x)A(1)limx24 (2)
sinx0f1x2 xf1
x
f(x)A0
x
A
u
f(u)A
x
g(x)
,且x
时,g(x)u0x
f(g(x))A
u
f(u)A10
0u
1时f(uA对于上述10
x
g(x)u0xx0时,g(x)u0,所以00x
时,有0g(x
1
f(g(xAf(xx0的左侧附近单调增加(减少)且有上(下)f(xx0的左f(xx0的右侧附近单调减少(增加)且有上(下)f(xx0
x
f(x)A
n
xnx0(xnx0,都
n
f(xn)Ax
f(x)A0
,
0
x0f(xA0特别地,取
1,得到x满足nnn
xn
1n
f(xn)A0 (1)
xppq互素(2)f(x)q
q
f(xNote:两个整数互素(互质)指的是它们之间除了1之外没有其它公共约x0是一个无理数,只要证明对任意的 f(zn)0
n
znx0(znx0),都有n
znk
k
f(xk)0
yk
f(yk)
k
1qN0,当kNkkfyk)0
f(yk)
n
f(zn)0Notef(x
xppq互素NoteRiemannf(xq
qCauchy
x
f(x存在0,0,当0
x1
,0
x2
有f(x1f(x2)
f(x1)f(x2)
f(x1)A
f(x2A设xn是满
n
xnx0(xnx0的任意数列。先证数列f(xn)是一个
x
f(x)
f(xn)000f(xf(x)
x
,0
x
对于上述0
n
xnx0(xnx0N0,当nN,m0
xn
,0
xm
,从而
f(xnf(xm)。这说明数列f(xn)是一个Cauchy列A
n
f(xn0N10
f(xnA取n0maxNN1
0
x0
f(xn0)A
0xx0
时,有
f(x)A
f(x)f(xn0)
f(xn0A2,故x
f(xx
f(x)不存在的Cauchy准则:000x,x0x
,0
x
f(xf(x)0Cauchy
x00“取 10,对01,取x,x02
,则0
x
,且2f(x)f(x)
11120120
“不妨设
x11x30,取
0
x1,0
x1时,x x 1
4x1x18L’Hospitalf(x),g(x)(1)x0g(x)
x
g(x)
x
f(x)A()g则x
f(x)g(x)
x
fg(x)
x
g(x)Cauchy
0xx0
f(x)g(x)
0
0xx0
f(x)Ag(x)
,所以存在10,M0xx0x0ff
A
Mfgxx1(x0fgfg(x)fg(x)ffg(x)fg(x)f(x)fg(x)f(x)fg(x)f(x)g(x1)fg(x)[g(x)
f()Ag()f(x1)g(x1)f(x)g(x1)f(x1)g(x)fg(x)[g(x)
f()Ag()g(x) fg(x)MfMfg(x)
ffg(x)
0xx0
g(x),所以存在20x(x0x02MMffg(x)取min1,2}x(x0xfg(x)
A2
0xx00xx0
f(x)g(x)f(x)g(x)
fg(x)fg(x) ffg(x)fg(x)g(x)
f(x)fg(x)f(x)g(x1)f(x1)g(x)g(x)[g(
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