我-哈工大考研信息光学

Information姜哈尔滨工业大学第2信息分析一 级数 积1、周期函数f(t)=f(t+T)的频谱分析 级f(t)=A0+(Akcoskωt+k

A'

cos(kt k式中：A0AkBkk

A 等称 系在下列 ,cos 任意两个不同函数的乘积在

,上的积分0,1sinnd0

1cosnd

cosmcosnd0mn1

sinmsinmd

cosmcosmd

归一f(t)=A0+(Akcoskωt+ k A T T

f(t)dt

B2 T/2 f(t)sink T/2A T

f(t)cos TT

f(t)A0(AkcosktBksin利 公式cosθ=

ejθ+e-jθ

ejθ-e-+复数形式 变

f(t)=k=-

cejkωk T/ f(t)e-jkωtd -T/矩形

三角

0 /锯齿

123456离散

谐频是2）频如(v

)等等)2、非周期函数的频谱分析 积如单个脉冲（非周期）f

+F(ν)e-

j2πνt

f(t) 积F(

+f(t)e-j2πνtdt-

f(t) 变非周期函数的频谱是 阻尼振

0

二、Fourier1、Fourier线性变换，特别是Fourier与Laplace变换，被广泛应用于解决各种科学与技术问题.Fourier变换被用于线性系统分物理和边值问题等，并且成功地应用于天文数据的恢复。Fourier变换，作为一种普遍和通用的数学或物理工具，在许多科技领域里可将问题简化，一些科学家将Fourier理论领域中，一个函数的变换可能导出另一个物理函数。Fourier变换是图像的另一种表示形式，改变系数将改变图像的性质，由谱转换成图像将需经过逆变换。本质上，Fourier变换把一个波形或函数分解或分把不同频率分量的各自振幅识别出来。函数g(x,y)G(G(fx,fy)g(x,j2(fxxfyyFg(x,y)G(fx,fy其逆变换g(x,y)

G(f,f)ej2(fxxfyy)df F1f,f)G(x, 在天文学中，频率域也许是最常用的概念，因为分光计（），在中，我们熟悉了时间域，这类似于示波器上的信号，纵向偏转是信号振幅，水平偏转是时间变量。任何信号可以在任意域中完全描述，我们可以利用变换将两个域联系在一起。严格来讲，变换只适用于连续函数和非周期函数，但是脉冲函数的引入使得它也适用于离散信号。在某一个域中进行的操作都在另一个域中有相应的操作。例如，时间域中的卷积操作在频域中变为乘积操作，反之亦然。这一法则使得人们可以在域之间变换，从而可以在最简单或最方便的域中进行各种操作。根据我们想对信号采取的操作，总有一个域比另一个域更为有用，所以与其在时间域中陷于数学当中而不能自拔，我们可以将信号转换到频率域中，光学概念与 2、空间频率光波复振幅U(x,y,z)是空间坐标(x,y,z)U(x,y,z)aexpjk(xcosycoszcosU(x,y,z)aexpj2(fxxfyyfzz) cos

cos

cos 分析在空间频率域中研究分析光波场的空间频f(x,y)f(x,y)F(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfyF(fx,fy)f(x,y)exp[j2(fxxfy函数f(x,y)可用无数个形式为exp[j2fxxfy函数F(fx,fy)代表空间频率为(fxfy)的成份所占比例(权重），把F(fx,fy)称为f(x,y)的空间频谱复合光频所空分幅函，可用复波的 变。假设有一维余弦光栅的线密度为f，其振幅透过率t(x)1cos2当用单位振幅、波长为0的单色光垂直衍射光场U(x)1t(x)1cos2利用空间频率与平面波的关系，也可将光栅后的光场用各阶衍射光的线性叠加来表U'(x)a0expj2f0xa1expj2f1xa1expj2f0

U'(x)a0a1expj2fxa1expj2

a

例：求傍轴近似球面波的空xy平面傍轴近似球面波U(x,y)aexp[jkz]exp[jk(x2y2)]

(x2+y2)]exp[-j2π(fx+fA(fx,fy)

exp[-jkz] z-z A(fxfy)jaexp[jkz]expjz(f2f2 U(x,y)各种空间频率成份的组成傍轴近似 到任一平面的球面波可看成是向空 相位

kzz(f2f2 复振幅分单色波光场中任一xy平面上的复振幅U(x,y)的空间频谱A(fx,fy)U(x,y)exp[j2(fxxfy复振幅U(x,y)A(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfy 每一平面波成份与一组空间频率值（fx,fy）对应：方向为cosα=λfx,cosβ=λfy，振幅为A(fx,fy

,cos)U(x,y)exp[j2(

3、广义Fourier变换?[F?[ )(设：)(

b0 |b bF[δ(x)]=F[lim1rect(xbb b=limF[1rect(xbb limsinc(bfx)δ函数的频谱在整个频域内F f(x,y)limexp[(x2y2)]N NF[1]F{limexp[(x2y2N NlimF{exp[(x2y2N NlimN2exp[N2(f2f2N (fx,fy三 变换的性 f(x) f f(x) f xdxF(fx线性定c1f(x)c2g(c1Ffxc2Gfx相似性fxbF(bfx位移定fxx0ej2fxx0F(fx共轭的傅氏fF(fx变换的傅氏Ffxf(卷积的傅氏F(fx)Hfx乘积的傅氏fF(fx)Hfx1、线性F{f(x,y)}=Ffxfy)F{g(x,yG(fx则F{c1f(x,y)+c2gx,y)}=c1F(fxfy+c2G(fx2、中心纵坐标F(0) f(x)dxAreaff(0)

F(fx)df

Area函数的面积等于 变换的中心纵坐标Ff f(x)ej2fx f f(x)

F(f)ej2fx

x3、相似性

x

bF)(b )(b 若b F-x=F(-fx

x

+ fx b

-

bexp(-

xx)dx b

fexpj2fxbd

bF(bfxF[f(ax,by)]

1G(fx,fy 极限情况：δ光学 4、位

F

x

ej2fxx0F(f ej2f0xfxF f作 变换乘以一线性相位因子 为实数)Ffx

fxx0expj2fx

fexpj2fxx0xej2fxx0F(fx物方位置移动,只引起像方位置变化,物方位置变化反映在空间频率的变化或位相例：设f(x,y)=则：F[f(x,y)]=F

fx=0,点光源位移

fx≠0,位相因子改变表示 方向改F[(xa,yb)]1exp[j2(fxaf5、卷积定 Ffxh(x)F(fx)HfxFfxh(x)Ffx)*Hfx

f()h(x)dexpj2fx

h(x)

j2fx

h()exp

j2fx

dexp

j2f

fx

Hf fexpj2fdF(f)Hf

6、相关的Ffxh(x)F(fx)H

fx

作自相关定理（维纳- 理 Ffxf(x)F(fx)FfF(f f(x) F(f)Ff 7、共轭的FfxFfxFfx

fx

j2fxxdx fxexpj2fxxdxF(fx8、变换的FFfxyf(xf(x,FF1[g(x,y)]F-1F[g(x,y)]g(x,对函数相继进行变换和逆变换又重新得到9、功率定 fxgxdx

G(f

ej2fx

f'ej2f fxg

x

x

xdfx'

Ffx

Gfx

'

ej2fxfx '

Ff

Gf'δff'df

FfGf 210、帕色伐Parseval2

fx

2dx

Ffx

dfx利用功率

fxgxdx

G(f 令gx)f 四、广 变换、(x,y)

(x,y)(x

)ej2fxG(fx)

δx

ej2fxxdxej2fxx0ej2f0x(

xf0xG(fx)

ej2f0xej2fxxdx ej2fx

f0xdxδ

ff 3、rect(x)的变换rect(xsinc(fx1,x证：rect(x) 0,xejej2fxj2f G(fx)

ej2fxxdx2ejfxe

2 exp(jf)exp(jfG(fx)

2

sincfx

矩形函数及其变换——sin(fx

4、(x)

F[(x)]sinc2(fxx1xx()

xxrect(t)rect(xt)dtrect(x)rect(F[(x)]F[rect(x)F[rect(x)]F[rect(x)]sinc(fx)sinc(fx)=sinc2(fx5、sgn(x) x

sgn(x)lim

xsgn

x

sgn

x lim(eax

xF[sgn(x)]

0

exp[j2fxx]dx

[lim(eax)0

j2fxlim[eax

exp[j2fxx]dx

(eax)exp[j2fx x } aj2 aj2 j6、(jx)-1的变

sgnfG(fx)

1

ej2fx 1cos2fxdxj1sin2fxdx

2

x

x

sinc2fx该项积分为奇函数，等于零。

sgnfxfxx7、step(x)step(x)1f x xstep(x)11 F11sgn(x)1δf

8、Gaussian函数及其作e五、周期函数的适用于周期函数的Parseval

f(x)

cej2nf0

fx2dxcnnnn

n当f(x)为周期函数， 变换由delta函数阵列给出 F(f)

ej2fxnf0

Ffxcnfxnf0xF

n

ndf

c

δfnfδfmf

nm2n

n

余弦（正弦）函数及1

f

f

2

- 如果f(x)是奇函数，则F(fx)也是奇函数comb(x)comb(x)comb(fx级数展

cn

f(x)ecomb(x)

n

cej n11n1comb(x)e

cn

δ(x)ej2nxdx2F

j2nx

fxncombfx梳函数及其变 comb(comb(fx)六、Fourier-Besselg(x,y)g(r,圆对称函数g(r,)gR(r)直角坐标系的FourierG(fx,fy)g(x,y)exp[j2(fxxfyfx22y在x,y平面fx22yrxtan1(x

,xrx2y),yx2y

, xfy), fyfx G(,)ddrrgR(r)exp[j2r(coscossinsin G(,)drrgR(r)dexp[j2rcos(1 1

J0(a)2exp[jacos( 零阶汉克尔变G()2rgR(r)J0gR(r)2G()J00BB1[gR(r)]BB[gRB[g(ar)]1G[

gR(r)

光 的系统理论描u1(x,

h(x,y;fx,fy)

u2(x, 在分析物理系统时，通常是寻求一个模Su2(x,y)Su1(x,考虑一个用算 S表示的系统，对两任意的输入信号有Sf1(x)g1(x)Sf2(x)g2(x)如果对任意的两个复常数和a2Sa1f1(x)a2f2(x)Sa1f1(x)Sa2f2a1Sf1(x)a2Sf2(x)a1g1(x)a2g2(x) f(x,y)f(fx,fy)(xfx,yfy)dfxdfy

g(x,y)Sf(x,y)Sf(fx,fy)(xfx,yfy)dfxdfy f(fx,fy)S(xfx,yfyh(x,y;fx,fy)S(xfx,yfy系统输出平面(x,y)点对位于输入平面坐标（fx,fy)点的函数激励的响应，称为系统的脉冲g(x,y)f(fx,fy)h(x,y;fx,fy)dfxdfy

二、线性不变S(t)h(t,时不变系S(xfx,yfy)h(x,y；fx，fyS(xfx,yfy)h(xfx,yfy空间（平移）不变h(x,y;fx,fy)h(xfx,yfySf(x,y)g(x,fxfy为实常Sf(xfx,yfy)g(xfx,fxfy为实常 线性平移不变系统（LinearandShiftInvariantSystem——LSI系统）Sf1(x)g1(x) Sf2(x)g(x)Sa1f1(xx1)a2f2(xx2)a1g1(xx1)a2g2(xx2xx1,x2为实常f(x)f()(x)d 线性平移 g(x,y)Sf(fx,fy)(xfx,yfy)dfxdfy g(x,y)f(fx,fy)dfxdfyS(xfx,yfyf(fx,fy)h(xfx,yfy)dfxdfyf(x,y)*h(x, g(x,y)f(x,y)*h(x,y)G(fx,fy)Fg(x,y)F(fx,fy)Ff(x,H(fx,fy)Fh(x,h(x,y)exp[j2(fxxfy系统的传递函数G(fx,fy)F(fx,fy)H(fx,fyG(fx,fy)F(fx,fy)H(fx,fyg(x,y)F1G(f,f)F1F(f,f)H(f,f 对于线性不变系统，基元函数选取复f(x,y)F(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfy 分 g(x,y)Sf(x,y)SF(fx,fy)exp[j2(fxxfyy)]dfxdfy g(x,y)F(fx,fx)Sexp[j2(fxxfxg(x,y)G(fx,fy)exp[j2(fxxfyF(fx,fy)H(fx,fy)exp[j2(fxxfyLSILSIexp[j2(fxxfy H(fx,fy)exp[j2(fxxfy四、LSI系统的本征复比例常数叫做本征函数的Sf(x,y;fx,fy)H(fx,fy)f(x,y;fx,fy1、对于线性不变系统，输入函数为：f(xyexpj2faxF(fx,fy)(fxfa,fyfb)线性不变系统传递函数为H(fx,fy)，输出频G(fx,fy)H(fx,fy)F(fx,fy)H(fx,fy)(fxfa,fyH(fa,fb)(fxfa,fyfb输出函数 g(x,y)F1G(f,f)F1H(f,f)(f H(fa,fb)exp[j2(faxfbSexp[j2(faxfby)]H(fa,fb)exp[j2(faxfb2、脉冲响应是实函数的线性不变系统---非相干成像H(fx,fy)是厄米对H(fx,fy)H*(fx,fyH(fx,fy)A(fx,fy)exp[j(fx,fy模，称(fx,fy)是传递函数的幅角，称之为相位传递函H*(f,f)A(f,f)exp[j(f,f A(fx,fy)exp[j(fx,fy)]A(fx,fy)exp[j(fx,fyA(fx,fy)A(fx,fy(fx,fy)(fx,fy余弦（或正弦）函数是这类系统的本输入函数 f(x,y)cos[2(faxfb1F(fx,fy)2(fxfa,fyfb)(fxfa,fyfb线性不变系统的传递函数是H(fx,fy)，输出频谱G(fx,fy)H(fx,fy)F(fx,fy1H(f,f)(ff,ff)1H(f,f)(

f,ff

系统的输g(x,y)F1G(f,f 1H(f,f)expj2(fxfy)1H(f,f)expj2(fxf

g(x,y)F1G(fx,f1H(f,f)expj2(fxfy)1H(f,f)expj2(fxf

A(fx,fy)A(fx,fy (fx,fy)(fx,fyg(x,y)1A(f,f)expj2(fxfy)j(f,f 1A(f,f)expj2(fxfy)j(f,f =A(fa,fb)cos2(faxfby)(fa,,二维抽样2.3维抽样如果函数 变换只在频率空间的有限区域不为零，则称该sincos带限g(x,y)comb(x)comb(y)g(x, g(x,y)comb(x)comb(y)g(x, G(f,f)Fcomb( y

)*G(fx,fy F y Y b(Xfx)comb(Yfy (fn,fnn

G(fn, nGs(fx,fy)

n

g(x,y)comb(x)comb(y)g(x, G(fn, nGs(fx,fy)

n

二、Whittaker-Shannon抽样令2