第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

一、平面的基本性质及公理公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过

的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线．公理4：(平行公理)平行于

的两直线互相平行．两个点不在同一直线上有且只有一条同一直线二、直线与直线的位置关系1．位置关系的分类共面直线异面直线：不同在

一个平面任何相交直线平行直线如何判断两直线是异面直线？提示：①可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内.②利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线”去判断.2．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：

．锐角或直角位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有

个公共点有且只有

个个公共点

公共点符号表示

图形表示无数一没有a⊂αa∩α＝Aa∥α三、直线与平面的位置关系四、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行

公共点两平面相交斜交有

个公共点在一条直线上垂直有

个公共点在一条直线上α∥βα∩β＝lα⊥β无无数无数五、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

．相等或互补1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(

)A．异面B．平行

C．相交

D．以上都有可能解析：两直线可相交、异面或平行，选D.答案：D2．若直线a∥b，b∩c＝A，则直线a与c的位置关系是(

)A．异面

B．相交

C．平行

D．异面或相交解析：因为a∥b，b∩c＝A，所以由公理4知a与c一定不平行，故选D.答案：D3．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在

棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(

)解析：A中PQ∥RS，B中RS∥PQ，D中RS和PQ相交．答案：C4．三条直线两两相交，可以确定________个平面．答案：1或35．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④1．空间两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，利用

它们去判断命题时要注意否定一种，另外两种都有成立的

可能，如两直线不相交，则两直线平行或异面．2．对于两直线垂直，要注意两直线可相交垂直也可以异面

垂直．一如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF.【解】

(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.(3)∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内．∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)如图所示，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点．又AE∥DD1，∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交．下列命题：（1）空间中不同的三点确定一个平面；（2）有三个公共点的两个平面必重合；（3）空间中两两相交的三条直线确定一个平面；（4）三角形是平面图形；（5）平行四边形，梯形，四边形都是平面图形；（6）两组对边相等的四边形是平行四边形。其中正确的是__________3．直线a和b是两条异面直线，点A、C在直线a上，点B、D在

直线b上，那么直线AB和CD一定是(

)A．平行直线

B．相交直线

C．异面直线

D．以上都可能解析：由异面直线定义可知AB、CD一定是异面直线(也可用反证法判断)．答案：C对异面直线的定义的理解1．“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何

一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行．2．不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线

为异面直线．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．（1）可证得MN∥AC,故AM、CN共面;（2）利用反证法或定理法.【解】

(1)不是异面直线．理由：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1AC1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是长方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．2．若直线a与b是异面直线，b与c也是异面直线，则直线a与c

(

)A．平行B．异面

C．相交

D．以上都有可能解析：以正方体为例可判断a、c可能相交、平行或异面．答案：D1．点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个

平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平

面的交线上．2．线共点问题证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再

证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上．三3．证明点线共面的常用方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在

此平面内．

(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明

其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．

例3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点求证:E,C,D1,F四点共面

CE,D1F,DA三线共点1．常用的解法．

(1)平移法：即选点平移其中一条或两条使其转化为平

面角问题．

(2)补形法：即采用补形法作出平面角．

(3)向量法：建系利用向量的夹角求法求线线所成角．2．求异面直线所成的角的一般步骤．

(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值．

(2009·大连模拟)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．(2)求三棱锥A－EBC的体积．(1)取BC的中点，平移PB可得角，然后利用余弦定理,求解.（2）VA-EBC=VE-ABC.【解】

(1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为PA=1，∴3．[理](2009·海淀模拟)如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为

.解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案：90°1．空间两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，利用

它们去判断命题时要注意否定一种，另外两种都有成立的

可能，如两直线不相交，则两直线平行或异面．2．对于两直线垂直，要注意两直线可相交垂直也可以异面

垂直．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF.结合图形，利用两直线的位置关系可判定.【解】

(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.(3)∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内．∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)如图所示，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点．又AE∥DD1，∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交．3．直线a和b是两条异面直线，点A、C在直线a上，点B、D在

直线b上，那么直线AB和CD一定是(

)A．平行直线

B．相交直线

C．异面直线

D．以上都可能解析：由异面直线定义可知AB、CD一定是异面直线(也可用反证法判断)．答案：C空间点、线、面的位置关系的判断或证明,除判定定理外,还要注意异面直线的判定与证明一般用反证法.在考查反证法的同时，又考查空间线面位置关系的应用,值得注意.(2009·辽宁高考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．[解]

(1)取CD的中点G，连结MG、NG.正方形ABCD、DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.∴MG⊥NG，(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．(1)不会利用平面ABCD⊥平面DCEF创建线线垂直，将所求MN放置于可解的直角三角形内．(2)否定结论后，不会利用假设与线面平行的性质导出AB∥EN，从而找不到矛盾所在．反证法证题的关键在于充分利用假设与条