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第五节各种积分之间的联系一、格林公式二、高斯公式三、斯托克斯公式一、格林公式设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD格林公式

定理1(1)边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxoabDcdABCE两式相加得证明(2)DGDFCEAB证明(3)由(2)知解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件)xyoL1.简化曲线积分简单应用AB2.简化二重积分xyo3.计算平面面积解二、高斯公式证明根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法同理------------------高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：解解空间曲面在面上的投影域为曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式根据对称性可知故所求积分为例10.设为曲面取上侧,求解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标机动目录上页下页返回结束三、斯托克斯(Stokes)公式

定理.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与

的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1

与平行z轴的直线只交于一点,

设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简介目录上页下页返回结束则(利用格林公式)定理1目录上页下页返回结束因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目录上页下页返回结束情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1目录上页下页返回结束为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1目录上页下页返回结束例11.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性机动目录上页下页返回结束例12.

为柱面与平面y=z的交线,从z

轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z

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