第二章系统的数学模型

1

机械控制工程基础第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程

2.2拉氏变换与反变换2.3传递函数2.4系统方框图及其简化2.5反馈系统的传递函数2.6信号流图与梅逊公式2.7物理系统的传递函数推导2.8本章小结▼

▼

▼

▼

▼

▼

▼

▼

学习重点简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算；（重点掌握）了解非线性模型的线性化方法；

结构图和信号流图的变换与化简;（重点掌握）

开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算。1、什么是系统的数学模型2、研究系统数学模型的定义3、数学模型的表示形式4、如何建立系统的数学模型

自动控制系统的数学模型自动控制系统的任务是将系统的输入信号（包括控制输入与扰动输入）的变化，及时地、准确地、稳定可靠地传到系统的输出端，驱动执行机构动作，使被控量按照输入信号的要求而变化或保持恒定。数学模型定义：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的表达式。一般应根据系统的实际机构参数及计算所要求的精度忽略一些次要因素，使模型既能反映系统的动态特性又能简化分析、计算数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。数学模型的主要形式：引言数学模型微分方程传递函数频率特性结构框图信号流图频域时域※LL-1Ui(S)U0(S)1/RR1CSR2I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)+建立数学模型的方法：解析法（机理分析法）

根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。实验法（系统辨识法）

给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。§2.1系统的微分方程2.1.1建立微分方程模型的步骤分析系统的工作原理，确定输入量和输出量；将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输出量之间的动态联系。

消去中间变量，求出系统的微分方程。

标准化微分方程。2.1.2系统微分方程的列写1、机械平动系统平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、阻尼器。（一）机械系统机械系统分为平动系统和旋转系统，其数学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。mf(t)x(t)质量Kf(t)x1(t)x2(t)f(t)弹簧Cf(t)x1(t)x2(t)f(t)阻尼器x2’(t)预备知识图2-1机械移动系统X1X解：取f(t)为输入量,x为输出量2、机械旋转系统旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和旋转阻尼。BJ-粘性液体图2-2机械旋转系统KJJ例2.2：下图为在扭矩T作用下的机械转动系统，包含有惯量、扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量为J，转角为θ，回转粘性阻尼系数为BJ，扭转弹簧刚度为KJ。消去中间变量，整理得微分方程：解：（二）电网络系统电阻、电感、电容是电路中最基本的三个元件。电气系统遵循的基本定律为：基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律，并由此来建立电气系统数学模型。预备知识

电容两端电压为：解：设电路中电流为i(t)整理得:例2.3无源电器网如图2-3所示，为输入电压，为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。图2-3uo(t)Ui(t)CLR机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机械系统的等效网络）物理本质不同的系统可有相似的数学模型，同一数学模型可以描述不同的系统。我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统）去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......2.1.3非线性数学模型线性化严格地讲，线性系统并不存在。所谓的线性系统，也只是在一定的范围内保持其线性关系。目前，非线性系统理论还远远不完善，往往在一定条件下，将描述非线性系统的非线性微分方程线性化处理，使其成为线性微分方程来处理。系统x1(t)x2(t)y2(t)y1(t)系统ax1(t)++bx2(t)ay1(t)+by2(t)通常控制系统工作状态为稳态，系统受到各种扰动，产生偏差。线性化即在小偏差范围内用直线代替曲线，即在平衡点附近，用一次线性函数取代高次函数。※x1x2y系统对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20)在平衡点邻域内进行小偏差线性化：1）只有一个变量的非线性函数y=f（x）线性化忽略二阶以上各项，可写成

小偏差线性化的数学处理:

※2）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为x1(t)和x2(t)，输出量为y(t)，系统正常工作点为y0＝f(x10,x20)。忽略二阶以上各项，可写成

※.4阻尼：使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用。阻尼器：安置在结构系统上的“特殊”构件可以提供运动的阻力，耗减运动能量的装置，称之为阻尼器。工程中常见的阻尼有各种不同的形式，如物体在介质（空气、水、油等）中运动时的粘滞阻尼、物体沿接触面滑动时的干摩擦阻尼等。由实验得知：当物体以不大的速度在阻尼介质中运动时，介质给与物体的阻尼力近似地与物体速度的一次方成正比，而方向与速度方向相反，即FD=-cvc称为粘性阻尼系数单位：N．S/cm§2.3传递函数已知微分方程:定义：当零初始状态下时，线性定常系统输出量与输入量的拉氏变换之比，称为系统传递函数。G(s)Xi(s)Xo(s)框图表示系统的变换关系：2.3.1传递函数的基本概念传递函数的几点说明：G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关

；传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且具有复变量函数的所有性质；

一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，故传递函数只适用于单输入单输出系统；传递函数只适用于线性定常系统，否则拉氏变换无法导出.2.3.2关于传递函数的几个术语令N(S)=0的根称为传递函数的零点；令D(S)=0的根称为传递函数的极点。系统传递函数的分母多项式称为特征多项式，D(S)=0称为特征方程，极点称为特征根。根据多项式定理，传递函数的一般形式也可写成：2.3.3典型环节的传递函数具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节；任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。tt1xo(t)0xi(t)KXo(s)Xi(s)z1xoz2xi

1、比例环节：()()()KsXsXsGio==Þ()()txKtxio=

()tui()tuo

2R

1R

例1:2、积分环节：Xo(s)Xi(s)txo(t)0xi(t)当输入为阶跃函数时：uoR++-CRici1ui例2：图示放大器积分电路，3、微分环节：例3：图示放大器微分电路。RuoR++-ici1uiCτsXi(s)Xo(s)4、惯性环节：Xi(s)Xo(s)RuiCiuo例4：如图所示电路。当输入为阶跃函数时：txo(t)0xi(t)5、振荡环节：tξ=0.2ξ=0.5ξ=101Xi(s)Xo(s)例5：如图所示电路。6、一阶微分环节：TDs+1Xi(s)Xo(s)7、二阶微分环节：Xi(s)Xo(s)8、延迟环节：txo(t)0xi(t)※延迟环节与惯性环节的区别：惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始之初，在0～τ时间内,没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。

Xi(s)Xo(s)2.3.4传递函数的标准形式：1．首1标准型（零、极点形式）2．尾1标准型（典型环节形式）

1．首1标准型（零、极点形式）2．尾1标准型（典型环节形式）

2．尾1标准型（典型环节形式）

§2.4系统方框图及其简化2.4.1系统方框图1、方框图的概念

方框图也是描述系统的一种数学模型，构成方框图的基本符号有四种:X(S)信号线相加点X2(S)X3(S)X1(s)_+环节方框G(s)X2(S)Xi(S)分支点X3(S)X2(S)X1(S)G1H1H2YB1B2+E--X例：求图示系统闭环传函。2、方框图的连接形式G2(s)G1(s)Xo(s)X(s)Xi(s)1）串联连接Xi(s)Xo(s)简化为：2）并联连接简化为：Xi(s)Xo(s)Xo(s)Xi(s)X2(s)X1(s)G1(s)++G2(s)HX2+X1GX2+X1反馈连接：Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)3）反馈连接※

注意区分反馈与并联：Xi(s)Xo(s)简化为：G1G2G1G2G1G2GHG1±

G2总结3、系统方框图的建立列写关于各元部件的原始微分方程；求取各环节的传递函数，画出个体方框图

从输入端入手，按信号流向依次连接成整体方框图，即系统方框图

绘制方框图的步骤对微分方程组进行拉氏变换，得到相应的S空间代数方程组；①②③④例：如图所示无源电路网，设输入端电压ui(t)，输出端电压为uo(t),画出相应方框图。解：①列写各环节的微分方程，得i1i2

CR1R2uiuoi(4)(3)(2)(1)②零初始条件下，进行拉氏变换，得由(2)式有：对(1)式进行等效变换有：③画出个体方框图由(3)式有：由(4)式有：1/R1+-(1)(2)R1Cs(3)

R2+(4)④按信号流向依次连接成整体方框图，即系统方框图如下：1/R1R1CsR2+-?思考：如何化简？1/R1R1CsR2+-系统方框图的化简：Step1:串联环节等效变换.1/R1R1CsR2+-Step2:并联环节等效变换.1/R11+R1CsR2-Step3:串联环节等效变换.（1+R1Cs）R2/R1-Step4:反馈环节等效变换.4、方框图的化简对于复杂控制系统，其方框图甚为复杂，为便于分析和计算，需将其化简。通常化简方法有：方框图等效化简利用梅逊增益法化简2.4.2方框图的等效变换思路：通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要掌握好如下两点：①前向通道中各传递函数的乘积不变；②反馈回路中传递函数的乘积不变；通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图，最终变换为输入量对输出量的一个方框。※方框图等效变换法则：GGGGG1/GGGGGG1/G（重点掌握）例:简化如图所示系统方框图。+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC-+方法一：将相加点2后移，然后与相加点3交换；+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC+-G1-+XiG2XoG3H2?①③②ABC-+-+方法二：将相加点3前移，然后与相加点2交换；+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC方法三：分支点A后移；+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC方法四：分支点B前移；-+-+方框图化简步骤小结：

确定输入量和输出量；若结构图中有交叉连接，应运用移动规则，首先将交叉连接消除，化为无交叉的多回路结构；对多回路结构，可由内向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。※注意事项：有效输入信号所对应的相加点尽量不要移动；尽量避免相加点和分支点之间的移动。§2.6信号流图与梅逊公式信号流图是另一种表示复杂系统中变量之间关系的图解方法。

2.6.1信号流图中的术语

(1)节点

表示变量或信号的点称为节点，用“○”表示，在“○”旁边注上信号的代号。(2)源点

只有输出的节点称为源点或称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。(3)汇点

只有输入的节点称为汇点或称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。(4)混合节点

既有输入又有输出的节点称为混合节点。(5)支路

定向线段称为支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路的传递函数。(6)通路

从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益）。(7)前向通路

是指从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益。(8)回路

如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为回路。(9)回路增益

回环中各支路传输的乘积称为回路增益（或传输）。(10)不接触回路

如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，就称为不接触回路，反之称为接触回路。

(11)自回路

只有一个节点相交的回路称为自回路。2.6.2梅逊增益公式

式中：

P——系统的总传递函数；

Pk——第k

条前向通道的传递函数；

n

——从输入节点到输出节点的前向通路数；

——信号流图的特征式；

特征式的意义为：

——信号流图中所有不同回路的传输之和；

——每两个互不接触回路的传输乘积之和；——每三个互不接触回路的传输乘积之和；

——称为第k条通路特征式的余因子，是在中除去与第k条前向通路相接触的各回路传输（即将其置零）。

+-G1-+XiG2XoG3H2H1G4+-+例：利用梅逊公式求下图所示系统的传递函数

XiXo1G11G2G311G4-H2-H1解：-1Xi(s)+G1(s)E(s)B(s)H(s)Xo(s)-N(s)+C(s)+G2(s)（图a）§2.5反馈系统的传递函数2.5.1系统开环传递函数

若将H（s）的输出通道断开，这时前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该系统的开环传递函数。Gk(s)称为闭环系统的开环传递函数。设输入为Xi（s），视干扰N（s）=0，输出为Xoi（s）。Xi(s)+G1(s)H(s)Xoi(s)-N(s)+G2(s)+（图b）2.5.2Xi（t）作用下的闭环传递函数

注：

开环传递函数是闭环控制系统的一个重要概念，它并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环传递函数。设输入为N（s），视Xi（s）=0，输出为XOn（s）。N(s)H(s)C(s)B(s)Xon(s)+G2（s）+（图c）G1(s)-Xi(s)=0+E(s)2.5.3干扰