第三章复变函数级数泰勒级数和罗朗级数孤立奇点的分类

复变函数级数泰勒级数和罗朗级数孤立奇点的分类(P35)第三章2/1/20231第三章基本内容：函数级数的基本概念、幂级数、泰勒级、罗朗级数、孤立奇点分类基本运算：将给定函数展开成幂级数，是本章的重点和难点级数理论是分析复变函数的有力工具，它不但在理论上有意义，而且有很重要的实用价值，故本章也是复变函数论的重要内容之一简介2/1/20232第三章1复变函数级数的基本概念

2复变函数级数的性质

3绝对收敛性的判别法

§3.1复变函数级数和解析函数级数2/1/20233第三章1复变函数级数的基本概念

，前n项和

在某点z存在，则称（3.1）在z点收敛，该极限称为级数在z点的和，否则称为在z点发散.

其中（3.1）（3.2）若级数2/1/20234第三章

复变函数级数归结为两个实变函数项级数收敛的必要条件（3.3）2/1/20235第三章任意给定一个小的正数

>0，总存在充分大的正整数N，当n>N时对于任何自然数P，恒有柯西判据：收敛的充要条件绝对收敛：

若在z点收敛，则

在该点绝对收敛

一致收敛：设(k=1,2,…)定义在域D(或曲线l)上,若对任意给定

>0存在与z无关的正整数N,使得当n>N时,对任何自然数P,(3.4)恒成立，称级数（3.1）在D(或l)上一致收敛2/1/20236第三章定理一：绝对收敛级数，一定是收敛级数

定理二：绝对收敛级数的乘积也是绝对收敛的，乘积的和等于和的乘积(且与排列次序无关)定理三：

在区域D内连续，且

在D内一致收敛级数和在D内也是连续的.2复变函数级数的性质2/1/20237第三章定理四：若在曲线l上连续，且

则级数和S(z)在l上也是连续的，且可在l上逐项积分，即在l上一致收敛，定理五：

若在区域D内满足实常数且收敛，则在D内是绝对且一致收敛的.2/1/20238第三章魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理:若

在闭区域上是单值解析的，

在l上是一致收敛的，则(ⅰ)在上一致收敛；(ⅱ)级数和S(z)在D内是解析的(ⅲ)在D内有==(n=1,2,…),且该级数在D内任何闭区域上都一致收敛.2/1/20239第三章(1)达朗贝尔(d’Alembert)判别法：如果(至少当k充分大时)(2)柯西(Cauchy)判别法如果(至少当k充分大时)3绝对收敛性的判别法2/1/202310第三章(3)高斯判别法：如果(至少当k充分大时)(其中μ是常数）

当μ>1时，级数绝对收敛，而当μ1时，

发散.各判据依次增强，其复杂程度依次增加.解析、绝对且一致收敛级数，可进行四则运算、逐项积分、逐项求导

2/1/202311第三章1幂级数的敛散性

2幂级数的收敛圆§3.2幂级数的收敛性2/1/202312第三章以b为中心的幂级数

阿贝尔(Abel)定理：若在数在圆域内绝对收敛，而且在该圆域内的任何闭解析).1幂级数的敛散性

收敛，则该级域上一致收敛.即在绝对且一致收敛(连续、2/1/202313第三章证明：在

收敛的必要条件

存在正数M，

使得(k=0,1,2,…),在区域

(:)上有，而几何级数是收敛的，则由§3.1定理五

在上是绝对且一致收敛的.2/1/202314第三章推论一:若在发散，则该级数在圆

外处处发散.利用Abel定理采用反证法证明.推论二:对于幂级数,必存在一个R0,使得在圆内处处收敛，而在圆外处处发散.2/1/202315第三章收敛圆：

，R为收敛半径，在该圆内处处绝对且一致收敛，在圆外处处发散.定理:在收敛圆内幂级数可逐项积分或求导任意次，收敛半径不变2幂级数的收敛圆2/1/202316第三章证：每一项是幂函数都解析，必连续，而级数在收敛圆内绝对且一致收敛可逐项积分或求导.反证法证收敛半径不变：类似可证收敛性的强弱

收敛半径：运用达朗贝尔或Cauchy判别法或.积分或求导虽不改变收敛半径，但改变2/1/202317第三章幂级数在收敛圆内是一个解析函数，本节讨论在圆内解析的函数展开成Taylor级数的问题

1解析函数的Taylor级数

2多值函数的泰勒级数§3.3解析函数的Taylor级数展开(P40)2/1/202318第三章定理：若f(z)在1解析函数的Taylor级数内是解析的，则f(z)

在该圆域内可展开为绝对且一致收敛的幂级数

，且此展开是唯一的2/1/202319第三章证：一致收敛是指在闭域内，故对任何

，证明级数在上是绝对收敛对如图(

)，

应用Cauchy公式

对于上任一点z,注意到

，则是绝对且一致收敛的，可逐项积分，代回上式，得2/1/202320第三章已证得展开式，其绝对一致收敛性和展开唯一性的论证见书P41-42

2/1/202321第三章a）按定理计算b）据展开的唯一性及幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛(且解析)的性质，可利用

等函数的展开式，通过级数的四则运算、逐项积分、求

导、函数复合或宗量代换等.1.1展开方法：、ez、sinz、cosz等初2/1/202322第三章：a）按定理R=展开中心b到与b最邻近的奇点之间的距离(这是最直观最方便的方法，实变函数的幂级数理论中无此结果)；

b）或求得展开式后，据

或求.

1.2收敛半径2/1/202323第三章a）确定b是f(z)的解析点，与b最邻近的奇点收敛半径

b）按定理，或将待展开的f(z)通过代换、四则运算、求导、积分、函数复合或宗量代换等同展开式已知的、、、1.3一般步骤ez、sinz、cosz联系起来等2/1/202324第三章[例1]证明证：绝对收敛级数可逐项相乘引入指标n=k+l作为新级数的编号，则2/1/202325第三章[例2]证明证：特例：z=x(实数)则(尤拉公式)2/1/202326第三章2多值函数的泰勒级数

在黎曼面上除支点外，其函数值是单值确定的，所以支点是多值函数的奇点.[例3]将ln(1+z)在z=0的邻域内展开为泰勒级数解:在黎曼面上只有支点性奇点-1和∞则2/1/202327第三章多值函数在每一叶黎曼面上是一个单值分支，上式就是第m个单值分支的展开式，m=0通常称为主值分支.2/1/202328第三章[例4]将(m为非整数)在z=0的邻域内展开.解:的支点为-1、∞.

(k=0,1,2,…)

k取不同值对应不同的单值分支.2/1/202329第三章

3.函数(1-z)-1、ez、sinz、cosz在思考与讨论题：1.幂级数的收敛半径为R，该级数在绝对收敛，在内上一致收敛，级数的每一项是解析的，所以，可以逐项求导、逐项积分，且不改变收敛半径；在共同收敛区域上的幂级数可以进行四则运算.你认为呢？2.为什么Taylor级数的收敛半径等于展开中心到被展开函数的最近的奇点的距离？4.Taylor展开的条件是什么？将函数以b为中心进行

Taylor展开和在z=b的邻域内进行Taylor展开有无区别？作业：p55：3.1(1)、(3)，3.2(1)，3.4(1)，3.5内的Taylor展开式.2/1/202330第三章1Laurent级数

2Laurent定理

§3.4解析函数的洛朗(Laurent)级数2/1/202331第三章负幂部分-主要部分正幂部分-解析部分在上收敛令，则负幂部分收敛上收敛若，则Laurent级数发散若，则Laurent级数在上收敛Laurent级数在2/1/202332第三章若f(z)在内单值解析，则f(z)在该环域内可展开为绝对且一致收敛的级数，（l是环域内绕b一周的任意闭曲线）该展开是唯一的.运用复通域上的Cauchy公式证明，证法类似Taylor定理的证明.1)含有(z-b)的负幂项，但b不一定是奇点：Laurent定理2/1/202333第三章2)

∵l内必有被积函数的奇点，故Cauchy导数公式不再成立.特例：R2=0时，b为奇点没有导数；即使b为解析点，k取负值时的导数也无意义.3)环域的特例

，，4)展开方法：按定理计算回路积分求展开系数；依据Laurent级数在环域内绝对且一致收敛性、展开的唯一性展开.2/1/202334第三章按定理展成Taylor级数与实函幂级数展开相似Laurent级数较复杂根据幂级数在收敛域上是绝对一致收敛且解析的性质，则可运用、ez、sinz、cosz等的展开式和幂级数的四则运算、

逐项求导、

逐项积分、变量代换及函数的复合展开

教材中介绍的几种展开方法的名称只能作为参考§3.5泰勒级数和洛朗级数展开的

几种常用方法(P47)2/1/202335第三章(1)利用

()[例1]在上2/1/202336第三章[例2],).(解:先部分分式i1-1xyoD12/1/202337第三章2/1/202338第三章(2)利用ez、sinz、cosz

等的展开式如(3)级数逐项求导或逐项积分[例3]解:原式=2/1/202339第三章↓

n=k+1

n=k+2

2/1/202340第三章(4)级数相乘或相除[例4]cotzP49运用级数乘法或待定系数法据cotz是奇函数并可知最低幂项为z-1，故设代入2/1/202341第三章依次令2/1/202342第三章(5)其它展开法

例如：将最右端各项展开，即得的展开式.总之：就是将待展开函数通过四则运算、积分、求导、宗量代换

函数复合等方式与展开式已知的函数联系起来，再运用级数的上述运算将其展开.2/1/202343第三章仅讨论单值函数或多值函数单值分支的奇点.设b为f(z)的孤立奇点，则§3.6孤立奇点的分类和特性(P50)()（3.5.1）2/1/202344第三章b是f(z)的奇点，但展开式中无(z-b)的负幂项例如：z=0是的可去奇点但f(z)仍不能在展开成泰勒级数，∵z=b是f(z)的奇点，若经过补充定义可去奇点b成为F(z)的解析点(1)可去奇点2/1/202345第三章，则b是f(z)的m阶极点，m=1时为单极点.，则b是f(z)极点，其阶数m:(2)极点若2/1/202346第三章例如：极点∵又∵z=0是单极点，z=n(n=0,1,2…)是二阶极点.易证：的单极点是0和2/1/202347第三章含有(z­-b)的无限多负幂项(有限个负幂项，但无限个负幂项就不存在极限了)不存在.如z=0是的本性奇点(3)本性奇点2/1/202348第三章(在z=∞邻域上展开)其中正幂部分为主要部分，负幂部分为解析部分.(4)无穷远点2/1/202349第三章例：是可去奇点是可去奇点z=∞是的本性奇点