第五节 定积分

第五节定积分一、引例二、定积分的定义三、存在定理五、定积分的性质四、定积分的几何意义abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、引例曲边梯形由连续曲线abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值二、定积分的定义定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为在各小区间上任取作乘积并作和，如果怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法,确定的极限

，我们称这个极限

I

为函数

f(x)在区间

[a,b]上的定积分.记为极限存在，即不论对我们称这个极限

I

为函数

f(x)在区间

[a,b]上的定积分.记为被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和积分号注意(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.(2)定义中区间的分法和的取法是任意的.(3)当函数

f(x)在区间

[a,b]上的定积分存在时,称

f(x)在区间

[a,b]上(黎曼)可积

.定理1三、存在定理若函数

f(x)在区间

[a,b]上连续

,则

f(x)在区间

[a,b]上可积

.（证明参考数学分析）定理2若函数

f(x)在区间

[a,b]上有界

,且只有有限个第一类间断点，则

f(x)在

[a,b]上可积

.定理1和定理2均为函数

f(x)可积的充分条件.可积的必要条件:可积函数在积分区间上必有界曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义几何意义：例1

利用定义计算定积分解例2

利用定义计算定积分解例3利用定积分表示下列极限解证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．五、定积分的性质证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1证性质2(为常数)

(为常数)

定积分的线性性质证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是机动目录上页下页返回结束例若（定积分对于积分区间具有可加性）则其他情形证性质4性质5如果在区间上，则有性质5的推论：证（1）解例1(1)比较积分值和的大小.

(2)比较积分值和的大小.解解令于是例2

比较积分值和的大小.证说明：

性质5的推论：（2）证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6解例3

估计积分的值.解例4

估计积分的值.解令例5

证明由得证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：函数f(x)在[a,b]上的平均值积分中值公式的推广.解由积分中值定理知有使例6求解由积分中值定理知有使例7设可导，且，求.解由积分中值定理知有使例8设在内连续，求证明由积分中值定理知有使例9设且，证明至少存在使六、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题(1)估计积分值；(2)不计算定积分比较积分大小．思考题将和式极限：表示成定积分.思考题解答原式解答例练习题练习题答案练习题练习题答案观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形