自动控制原理课件(第版)

第二章控制系统的数学模型

本章概述在控制系统的分析和设计中，必须首先建立系统的数学模型，它是进行系统分析和设计的首要任务。

所谓控制系统的数学模型，是指表示系统内部物理量之间关系的数学表达式。数学模型的种类很多，常用的有：微分方程、传递函数、动态结构图和频率特性等。建立控制系统数学模型的方法一般有分析法和实验法两种

。

第一节微分方程一、微分方程的标准形式特点描述：（1）微分方程只含有输入量和输出量，不含其它中间变量。（2）含有输出量的项写在等号左边，含有输出量的项写在等号右边。（3）等号两边各项均按微分降次排列。二、建立微分方程的步骤（1）确定系统的输入量、输出量以及必要的中间变量。（2）建立系统的微分方程式组。根据系统各环节所遵循的基本物理规律，列写出各变量之间的约束关系式，构成微分方程式组。（3）消除中间变量，得到系统的微分方程，并化成标准形式。举例－－建立微分方程例2-1：下图所示的RC电路，以为输入量，以为输出量，试建立该电路的微分方程。解：（1）确定输入量、输出量及中间变量ur为输入量，uc为输出量，以电路的电流i为中间变量。（2）列写微分方程组根据电阻元件和电容元件的电压、电流约束关系及基尔霍夫定律可得（3）消去中间变量，得到微分方程的标准形式例2-2：图2-2所示的RLC混联电路，以为输入量，以为输出量，试建立该电路的微分方程。图2-2解：（1）取为输入量，为输出量，电流为中间变量。（2）建立微分方程组（3）消去中间变量可得思考：微分方程组包括几个方程？列写微分方程时，输入量和输出量是由要求确定的，而中间变量往往要先对所给电路（或系统环节）进行初步分析，根据列写方程的需要而选定的，中间变量选取可能不是唯一的，电路（或环节）越复杂，中间变量选取的灵活性越大，但得出的微分方程是相同的。一般地，若选取m个中间变量，则列出的方程组包含个m+1独立的方程。共有三个中间变量，需要列出四个独立的微分方程例2-4如图2-4所示的滤波电路，列写出该无源网络的微分方程。为输入量，为输出量。三、微分方程的求解直接求解微分方程特别是解高阶微分方程是很麻烦的。工程上常采用拉普拉斯变换的方法求解线性微分方程。第二节拉普拉斯变换应用拉普拉斯变换可将微分方程的求解转化为代数方程的求解，使线性系统的分析大大简化。拉普拉斯变换是分析线性定常系统的有力的数学工具。自动控制系统的其它数学模型都是建立在拉普拉斯变换基础之上的。一、拉普拉斯变换的定义二、常见函数的拉氏变换拉普拉斯变换表拉氏变换表（常用函数）11二、拉氐变换的性质1、比例定理：若则拉氏变换具有如下性质：2、叠加定理：3、相似定理：方法一：直接变换方法二：相似定理4、位移定理：5、微分定理：6、终值定理：解：小结－－拉氐变换的性质1、比例定理：2、叠加定理：3、相似定理：4、位移定理：5、微分定理：6、终值定理：若则拉氏变换具有如下性质：三、拉氏反变换－－部分分式展开法拉氏反变换：由F(s)求f(t)的运算，称为拉氏反变换。解：则所以求其拉氏反变换结果检查:【随堂练习】求其拉氏反变换结果检查:【随堂练习】其中

解：【随堂练习】（1）（2）求下列象函数的拉氏反变换结果检查:（1）（2）实系数方程虚根总是成对出现。当特性方程有虚根时，常采用配方的方法，使F(s)展开式中出现如下形式的部分分式

例2-8求其拉氏反变换。解：例2-8求其拉氏反变换。解：

令同原式相比较，由对应项系数相等，得【随堂练习】求其拉氏反变换结果检查:四、应用Matlab进行部分分式展开Matlab中象函F(s)的表示：分子分母同次象函数的输入：象函数的展开式：求展开式函数：例2-9-1用Matlab求其展开式。执行结果：所以有：用Matlab求其展开式。执行结果：所以有：例2-9-2五、微分方程的求解求解步骤如下：将微分方程进行拉氏变换，得到以为变量的代数方程。解代数方程，求出输出量的拉氏变换表达式，即关于的有理分式。对输出量的拉氏变换式进行部分分式展开。再进行拉氏反变换，所得时域表达式就是微分方程的解。解：对方程两边取拉氏变换得

将初始条件代入上式整理得即令即所以第三节传递函数1.传递函数（TransferFunction）是在利用拉氏变换求解线性微分方程的基础上得到的一个重要概念，它是控制系统在复数域的数学模型，同时也是经典控制理论中用得最多的一种动态数学模型。2.传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。一、传递函数的定义传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。即(1)图开表示：(2)零初始条件：是指在t=0时，输出量与输入量及其各阶导数均为零。

二、传递函数的求取由微分方程求传递函数：零初始条件下，根据微分定理，对微分方程进行拉氏变换。例如，某RC电路的微分方程为RLC元件的复阻抗微分方程拉氏变换复阻抗Z(s)复域电路模型电阻元件电容元件电感元件三、传递函数的性质传递函数具有如下性质：(1)传递函数为变量s的有理分式，且(2)只适用于单输入单输出线性定常系统。(3)传递函数是系统的固有特性，与外加信号无关。

(4)只适用于零初始条件系统。(5)系统的性质由传递函数的极点决定。五、典型环节的传递函数名称微分方程传递函数阶跃响应比例环节惯性环节积分环节名称微分方程传递函数阶跃响应微分环节振荡环节延时环节第四节动态结构图1.控制系统是由典型环节组成的，将各环节的传递函数框图，根据系统的物理原理，按信号传递的关系，依次将各框图正确地连接起来，即为系统的动态结构图（DynamicBlockDiagram）。2.动态结构图是系统的又一种动态数学模型，采用动态结构图便于求解系统的传递函数，同时能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。一、动态结构图的组成系统动态结构图由四种基本符号构成，即信号线、引出点、综合点和方框。（1）信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在信号线上可标记信号的复域名称。(2)引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。(3)综合点：表示对两个及两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“－”号表示相减，“+”号通常可省略。(4)方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元部件或系统的传递函数。显然，方框的输出量等于方框的输入量与传递函数的乘积，即C(s)=R(s)G(s)。动态结构图的基本符号二、环节的基本联接方式

环节之间的基本联接方式有三种：串联、并联和反馈联接。

1、

环节的串联串联环节的总传递函数等于各环节传递函数的乘积。

前一环节的输出为后一环节的输入。环节的基本联接方式2.环节的并联几个环节同时受一个输入信号的作用，而输出信号又汇合在一起，环节的这种联接方式称为并联。并联环节的总传递函数为各环节传递函数的代数和。环节的基本联接方式3.反馈联接首尾相联，形成一个闭合回路，这种联接方式称为反馈联接。

R(s)为系统的输入信号，C(s)为系统的输出信号；B(s)为系统的反馈信号。前向通道中的环节G(s)称为前向环节；反馈通道中的H(s)称为反馈环节。反馈方式分为正反馈和负反馈两类

环节的基本联接方式3.反馈联接三、结构图的等效等效变换同一信号线上引出量都一样分析：首先要通过综合点或引出点的移动，消除交叉连接。解：【课堂练习】：求下图所示系统的传递函数

结果检查解：化简过程如下第五节闭环系统的传递函数一、开环传递函数在反馈控制系统中，定义前向通路的传递函数与反馈通路的传递函数的乘积为开环传递函数，通常记为G(s)，它等于此时B(s)与R(s)的比值。即二、闭环传递函数1.给定信号作用下系统的闭环传递函数

闭环传递函数2.扰动信号作用下系统的闭环传递函数

三、误差传递函数1.闭环系统在输入信号和干扰作用时，以误差信号E(s)作为输出量时的传递函数称为误差传递函数。2.规定系统的误差为E(s)=R(s)-B(s)。3.R(s)作用下系统的误差传递函数，是取D(s)=0时的E(s)/R(s)

4.D(s)作用下系统的误差传递函数，是取R(s)=0时的E(s)/D(s)

R(s)作用下系统的误差传递函数取D(s)=0时的E(s)/R(s)，其结构图如下图所示。

D(s)作用下系统的误差传递函数取R(s)=0时的E(s)/D(s)，其结构图如下图所示。

本章小结1.描述系统动态性能的数学表达式称为数学模型。常用的数学模型有：微分方程、传递函数、动态结构图和频率特性。在分析系统之前必须建立系统的数学模型。2.微分方程是控制系统最基本的数学模型，也是系统的时域数学模型。建立系统的微分方程一般分为三步：（1）确定输入量、输出量及中间变量；（2）列写微分方程式组；（3）消去中间变量，得到微分方程的标准形式。3.拉氏变换是经典控制理论中最常用的数学工具，应用拉氏变换可将解微分方程问题转化为解代数方程，拉氏变换是传递函数和频率特性的理论基础。熟练掌握常用函数的拉氏变换是进行拉氏变换和反变换基础。4.传递函数是零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数适用于单输入单输出系统、线性定常系统、零状态系统；传递函数是系统的固有特性，即只与系统的内部结构和参数有关，而与外加输入量或扰动量无关；传递函数一般为真分式。传递函数是自动控制系统的复域数学模型，也是最常用的数学模型。5.动态结构图是将传递函数与方框图相结合在