第10章 第4课时 随机事件的概率

第十章计数原理和概率第4课时随机事件的概率1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．请注意1．多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查．2．互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题．1．随机事件及其概率(1)必然事件：_____________________________．(2)不可能事件：________________________________．(3)随机事件：________________________________________．在一定条件下必然要发生的事件在一定条件下不可能发生的事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件频率

常数

2．事件的关系与运算(1)一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B______发生，这时称事件B包含事件A(或称A包含于事件B)，记作

(或

)．(2)若

，且

，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.(3)若某事件发生当且仅当事件A发生

事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或

)，记作

______(或

)．一定B⊇AA⊆BB⊇AA⊇B或和事件A∪BA＋B(4)若某事件发生当且仅当事件A发生

事件B发生，则称此事件为事件A事件B的交事件(或

)，记作___________．(5)若A∩B为不可能事件，(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：_________________________________________．(6)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B

，其含义是：______________________________________________．且积事件A∩B(或AB)事件A与事件B在任一次试验中不会同时发生互为对立事件A与事件B在任一次试验中有且仅有一个发生3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为

.(2)必然事件的概率为

.(3)不可能事件的概率为

.(4)互斥事件概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝

．特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝____________．0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)事件发生频率与概率是相同的．(2)随机事件和随机试验是一回事．(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(5)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(6)6张券中只有一张有奖，若甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×2．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是(

)A．至多有1次中靶 B．2次都中C．2次都不中靶 D．只有1次中靶答案C3．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是(

)A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品答案A解析依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．4．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是(

)答案D

6．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________．例1某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两个同时在地铁第1号车站(首车站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．(1)用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；(3)求甲、乙两人同在第4号车站下车的概率．题型一随机事件及概率【解析】

(1)用有序数对(x，y)表示甲在x号车站下车，乙在y号车站下车，则甲下车的站号记为2,3,4共3种结果，乙下车的站号也是2,3,4共3种结果．甲、乙两个下车的所有可能结果有9种，分别为：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,2)，(4,3)，(4,4)．探究1解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的含义．判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现或可能出现、可能不出现．随机事件发生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比．

同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？【思路】依定义及概率公式解答．思考题1例2某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.题型二随机事件的关系【解析】

(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．【答案】

(1)不互斥(2)互斥还对立(3)不互斥(4)不互斥探究2对互斥事件要把握住不同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系． (1)对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．【解析】设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．【答案】

A与B，A与C，B与C，B与D，B与D思考题2(2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(

)A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．A＋B与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件间的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件同，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．【答案】

D例3如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：题型三随机事件的频率与概率所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率，(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解析】

(1)由已民知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站有12＋12＋16＋4＝44人．∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)和P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.【答案】

(1)0.44

(2)略(3)甲应选择L1，乙应选择L2探究3频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生可能性的大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，通过大量重复试验可以发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某个固定的值，这个值就是概率．

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：思考题3A配方的频数分布表B配方的频数分布表指标值分值[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228指标值分值[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210【答案】

(1)用A配方优质品率约为0.3，用B配方优质品率约为0.42(2)2.68元例4

(1)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：①派出医生至多是2人的概率；②派出医生至少是2人的概率．题型四互斥与对立概念的初步应用医生人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04【解析】记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”．∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.①“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②方法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出医生至少2人”与“派出医生至多1人”是对立事件，“派出医生至多1人”的概率P＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，所以“派出医生至少2人”的概率P0＝1－P＝1－0.26＝0.74.【答案】

①0.56②0.74(2)一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：①取出的小球是红球或黑球的概率；②取出的小球是红球或黑球或白球的概率．探究4

(1)解决此类问题，首先要结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择公式进行计算．(2)求较复杂互斥事件的概率一般有两种方法：直接法和间接法．特别是在解决至多、至少的有关问题时，常考虑应用对立事件的概率公式．思考题4(2)某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率．【解析】

①记“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是为斥事件，“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10环或7环的概率为0.49.【答案】

①0.49②0.03

1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.3．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥