第十二章电磁感应1(大学物理)

本章教学内容电磁感应定律动生电动势和感生电动势自感和互感磁场的能量磁场能量密度本章教学基本要求一

掌握并能熟练应用法拉第电磁感应定律和楞次定律来计算感应电动势，并判明其方向.二

理解动生电动势和感生电动势的本质.了解有旋电场的概念.三了解自感和互感的现象,会计算几何形状简单的导体的自感和互感.四了解磁场具有能量和磁能密度的概念,会计算均匀磁场和对称磁场的能量.法拉第（MichaelFaraday,1791-1867），伟大的英国物理学家和化学家.他创造性地提出场的思想，磁场这一名称是法拉第最早引入的.他是电磁理论的创始人之一，于1831年发现电磁感应现象，后又相继发现电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以及光的偏振面在磁场中的旋转.§12-1电磁感应定律一电磁感应现象当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势，且感应电动势正比于磁通量对时间变化率的负值.二电磁感应定律国际单位制韦伯伏特1）闭合回路由

N

匝密绕线圈组成2）若闭合回路的电阻为R

，感应电流为时间内，流过回路的电荷磁通匝数（磁链）N与回路取向相反（与回路成右螺旋）感应电动势的方向N当线圈有N

匝时与回路取向相同NS三楞次定律闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因（反抗相对运动、磁场变化或线圈变形等）.NSNS用楞次定律判断感应电流方向

楞次定律是能量守恒定律的一种表现

维持滑杆运动必须外加一力，此过程为外力克服安培力做功转化为焦耳热.机械能焦耳热

楞次定律闭合的导线回路中所出现的感应电流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁感应的原因.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

例在匀强磁场中,

置有面积为S的可绕轴转动的N匝线圈.

若线圈以角速度

作匀速转动.求线圈中的感应电动势.已知求解设时,与同向,则令则可见,在匀强磁场中匀速转动的线圈内的感应电电流是时间的正弦函数.这种电流称交流电.设I方向向上，则直导线右边的磁场方向垂直纸面向内。设线框回路的绕行方向为顺时针方向，则穿过线框的磁通量为：解

(1)电流I产生的磁感应强度例题:如图所示，一长直导线与边长为l1和l2的矩形导线框共面，且与它的一边平行。线框以恒定速率v沿与长直导线垂直的方向向右运动。（1）若长直导线中的电流为I，求线框与直导线相距x时穿过线框的磁通量、线框中感应电动势的大小和方向；（2）若长直导线中通以交变电流I=I0sint，求任意时刻线框中的感应电动势。vl1l2xrdSdrI由法拉第电磁感应定律方向为顺时针绕向vl1l2xrdSdrIro（2）t时刻线框与导线相距x，则引起磁通量变化的原因

1）稳恒磁场中的导体运动,或者回路面积变化、取向变化等动生电动势2）导体不动，磁场变化感生电动势电动势+-I闭合电路的总电动势:非静电的电场强度.§12-2

动生电动势和感生电动势+++++++++++++++++++++++++++++++++++OP设杆长为

一动生电动势动生电动势的非静电力场来源洛伦兹力---++平衡时例:一通有电流I的长直水平导线近旁有一斜向放置的金属棒AC与之共面，金属棒以平行于电流I的速度平动，如图，已知棒端A、C与导线的距离分别为a、b，求棒中的感应电动势。解：在棒上任取dl，其上产生的动生电动势为：建立如图坐标方向由C指向A，即A点电势高或补回路，对此回路AC边不产生感应电动势，则解例

一长为的铜棒在磁感强度为的均匀磁场中,以角速度在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转动，求铜棒两端的感应电动势.+++++++++++++++++++++++++++++++++++oP（点P

的电势高于点O

的电势）

方向O

P例

一导线矩形框的平面与磁感强度为的均匀磁场相垂直.在此矩形框上,有一质量为长为的可移动的细导体棒;矩形框还接有一个电阻,其值较之导线的电阻值要大得很多.若开始时,细导体棒以速度沿如图所示的矩形框运动,试求棒的速率随时间变化的函数关系.

解如图建立坐标棒所受安培力方向沿轴反向++++++棒中且由方向沿轴反向棒的运动方程为则计算得棒的速率随时间变化的函数关系为++++++二感生电动势产生感生电动势的非静电场感生电场麦克斯韦尔假设变化的磁场在其周围空间激发一种电场,这个电场叫感生电场.闭合回路中的感生电动势感生电场是非保守场和均对电荷有力的作用.感生电场和静电场的对比静电场是保守场

静电场由电荷产生；感生电场是由变化的磁场产生.2、感生电场的性质1、感生电场的环流不为零不是保守场，而是涡旋场。

与静电场的重要区别之一2、感生电场的电场线是闭合的感生电场的环流不为零，磁感应强度的环流也不为零。与磁感应线类似，感生电场的电场线也是无头无尾的闭合曲线。因此，感生电场是涡旋的。通过任意闭合曲面的感生电场的电通量为零变化的磁场在其周围激发涡旋状的感生电场，它们在方向上满足左手螺旋关系。当此时Ei电场线方向与回路的环绕方向相反L3、感生电场的计算例题:

半径为R的圆柱形空间（横截面）内分布着均匀磁场（如长直载流螺线管的中部。磁感应强度B随时间作线性变化（如B=kt），试求感生电场的分布。解：由场的对称性，变化磁场所激发的感生电场的电场线是与圆柱的轴线同轴的同心圆。处处与圆线相切，在同一条电场线上的大小相等。取顺时针方向为环路L的正绕向BRL在圆柱体内(r<R)在圆柱体外(r>R)感生电场的分布如图LBR例题:

半径为R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B的均匀磁场，有一长为2l的金属棒AB放在磁场中，B以恒定的dB/dt减小，求金属棒两端的感应电动势。解法1：用感生电场公式计算dl处感生电场的大小Eirh方向BAOABB均匀R2ldl解法2：由法拉第定律计算设想一回路，如OABO，则该回路的感应电动势大小为dB/dt<0，则回路中的感应电动势方向为顺时针方向。OABB均匀R2l由于OA和OB两段沿径向，各点的涡旋电场垂直于段元，不产生感应电动势。所以回路OABO中感应电动势就是金属棒AB上的感应电动势，其大小为EiEi例4设有一半径为R,高度为h的铝圆盘,其电导率为.把圆盘放在磁感强度为的均匀磁场中,磁场方向垂直盘面.设磁场随时间变化,且为一常量.求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自己的磁场略去不计）已知求解如图取一半径为,宽度为,高度为的圆环.则圆环中的感生电动势的值为代入已知条件得又所以由计算得圆环中电流于是圆盘中的感应电流为电子感应加速器应用感生电场加速电子的装置在电磁铁的两极之间安置一个环形真空室，当用交变电流激励电磁铁时，在环形室内就会感生出很强的、同心环状的感生电场。用电子枪将电子注入环形室，电子在有旋电场的作用下被加速，并在洛仑兹力的作用下，沿圆形轨道运动。5、涡电流和电磁阻尼感应电流不仅能够在导电回路内出现，而且当大块导体与磁场有相对运动或大块导体处在变化的磁场中时，在其中也会激起感应电流。这种在大块导体内流动的感应电流，通常称为涡电流，简称涡流。但在有些方面涡流所产生的热是有害的。例如在电机和变压器中的铁芯，当通过交变电流时，铁芯中将产生很大的涡流，这样不仅损耗了大量的能量（叫做铁芯的涡流损耗），甚至发热量可能大到烧毁这些设备。为了减小涡流及其损失，通常采用叠合式的硅钢片代替整块铁芯，并使硅钢片平而与磁感应线平行。B涡流产生的机械效应在实际中也有很广的应用，例如可用作电磁阻尼。当电磁铁的线圈中通电后，两极间有了磁场，这时摆动着的摆会很快就停止下来。这是因为当摆朝着两个磁极间的磁场运动时，穿过金属板的磁通量增加，在摆中产生了涡电流（涡电流的方向如图中虚线所示），而它要受到磁场安培力的作用，其方向恰与摆的运动方向相反，因而阻碍摆的运动。同样，当摆由两极间的磁场离开时，磁场对金属板的作用力的方向也是与摆的运动方向相反，所以摆很快就停止下来。磁场对金属板的这种阻尼作用，叫做电磁阻尼。在一些电磁仪表中，常利用电磁阻尼使摆动的指针迅速地停止在平衡位置上。电度表中的制动铝盘，也是利用了电磁阻尼效应的。一自感电动势自感穿过闭合电流回路的磁通量1）自感定义1

若线圈有N

匝，自感

磁通匝数无铁磁质时,自感仅与线圈形状、磁介质及

N

有关.注意§12-4

自感和互感当时，2）自感电动势

单位：1

亨利（H）=

1韦伯/安培

（1

Wb/A）自感定义2（条件L不变）3）自感的计算方法例1如图的长直密绕螺线管,已知,求其自感.（忽略边缘效应）解先设电流

I

根据安培环路定理求得H

B.（一般情况可用下式测量自感）

4）自感的应用稳流,LC谐振电路,滤波电路,感应圈等.例2有两个同轴圆筒形导体,其半径分别为和,通过它们的电流均为,但电流的流向相反.设在两圆筒间充满磁导率为的均匀磁介质,求其自感.解两圆筒之间如图在两圆筒间取一长为的面,并将其分成许多小面元.则即由自感定义可求出单位长度的自感为练习：一载流回路由两根平行的长直导线组成，两导线均为圆形截面，半径为R，它们中心相距d，且d

R，两导线上的电流I大小相等，方向相反，若不计通过导线体内的磁通量，试计算这一对导线单位长度的自感。

解：载流导线1和2在dS处产生的磁感应强度的大小分别为P点总磁感应强度的大小IIrORddS在两导线间通过单位长度面积上的磁通量一对导线单位长度的自感IIrORddS二互感电动势互感在电流回路中所产生的磁通量在电流回路中所产生的磁通量

互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置以及周围的磁介质有关（无铁磁质时为常量）.注意1）互感系数定义1（理论可证明）问：下列几种情况互感是否变化？1）线框平行直导线移动；2）线框垂直于直导线移动；3）线框绕OC

轴转动；4）直导线中电流变化.OC2）互感电动势

当

M

不变时，则互感系数定义2（M

不变）例1两同轴长直密绕螺线管的互感有两个长度均为l,半径分别为r1和r2（r1<r2

）,匝数分别为N1和N2的同轴长直密绕螺线管.求它们的互感.解先设某一线圈中通以电流

I

求出另一线圈的磁通量设半径为的线圈中通有电流,则代入计算得则则穿过半径为的线圈的磁通匝数为解设长直导线通电流例2在磁导率为的均匀无限大的磁介质中,一无限长直导线与一宽长分别为和的矩形线圈共面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为.求二者的互感系数.若导线如左图放置,根据对称性可知得例3

设在例2中求得的互感系数为亨利。若矩形线圈的电流在10-6秒内由零增长到2安培，求长直导线中的互感电动势的大小和方向。•解设电流方向为逆时针方向，依要求规定正方向。实际方向如图。线圈的顺接和反接将自感分别为L1和L2、互感系数为M

的两个线圈串联，两串联线圈中通过的电流为I顺接：两线圈的磁通量互相加强线圈的等效自感每个线圈中的自感电动势和互感电动势方向相反反接：两线圈的磁通量互相减弱线圈的等效自感每个线圈中的自感电动势和互感电动势方向相反自感线圈磁能回路电阻所放出的焦耳热电源作功电源反抗自感电动势作的功§12-6

磁场的能量磁场能量密度磁场能量密度磁场能量自感线圈磁能互感磁能两个电感线圈L1和L2，开始时都是断路。先接通线圈1，使其电流从0增加到I10，线圈1的自感磁能为然后接通线圈2，使其电流从零增加到I20。线圈2具有自感磁能当线圈2中的电流增大时，在线圈1中产生互感电动势ε12εRI10为了保持线圈1的电流I10不变，线圈1电路中的电源必须反抗上述互感电动势作功，这个功也转化为线圈的磁场能量这是因互感而出现的附加磁能，称为互感磁能。两线圈中的电流分别为I10

和

I20时，储存在磁场中的总磁能(从在两线圈中建立电流的过程计算存储在线圈周围空间磁场能量的方法，证明两个线圈的互感系数相等)

例

如图同轴电缆,中间充以磁介质,芯线与圆筒上的电流大小相等、方向相反.已知

,求单位长度同轴电缆的磁能和自感.设金属芯线内的磁场可略.解由安培环路定律可求H则

单位长度壳层体积问题：变化的电场能否产生磁场？

安培环路定理遇到的问题对稳恒电流的磁场I：传导电流j

：曲面S上的传导电流密度安培环路定理对于稳恒电流穿过以任意回路Ｌ为边界的任意曲面S1或S2的传导电流都相等12.7位移电流电磁场基本方程的积分形式麦克斯韦电磁理论以Ｌ为边界的环路上作两个曲面S1和S2。S1面上有传导电流I穿过，S2面上没有传导电流穿过。安培环路定理出现了矛盾！对于非稳恒电流12.7.1位移电流全电流安培环路定理分析：电容器在充、放电时导线上的传导电流和极板上电荷、极板间的电位移矢量对时间的变化率之间的关系。电容器充电时，极板间电场增加的方向(中间的白色箭头)和传导电流同向电容器放电时，极板间电场减小演示动画：放电时传导电流和极板间的电位移演示动画：充电时传导电流和极板间的电位移IIII的方向仍和传导电流同向IID电位移矢量通量的时间变化率——位移电流Id电位移矢量Ｄ的时间变化率——位移电流密度ｊd位移电流位移电流密度分析I与的关系位移电流与传导电流的比较：唯一的共同点仅在于都可以在空间激发磁场本质不同(1)位移电流的本质是变化着的电场，而传导电流则是自由电荷的定向运动；(2)传导电流在通过导体时会产生焦耳热，而位移电流则不会产生焦耳热，位移电流也没有化学效应；(3)位移电流（变化着的电场）可以存在于真空、导体、电介质中，而传导电流只能存在于导体中。

在非稳恒电流的情况下，电位移矢量的时间变化率与电流密度相当，变化的电场等效地也是一种“电流”，它也能产生磁场。——麦克斯韦的位移电流假说全电流安培环路定理若按S2

面计算，虽然没有通过L回路的传导电流，但在S2面上有位移电流Id通过，且Id=I。全电流安培环路定理：真空中变化的电场可以激发磁场传