第21讲状态空间分析2

习题A.10.5、B.10.3第九章状态空间分析与设计

9.1线性系统的状态空间描述9.2线性系统的能控性和能观性9.3线性系统的状态反馈及状态观测器9.4Lyapunov稳定性分析9.5二次型最优控制

与经典控制设计采用输出反馈不同，状态空间设计主要采用状态反馈9.3线性系统的状态反馈及状态观测器1、基本概念状态反馈输出反馈状态反馈可以利用系统内、外部特性，能够提供更多的校正信息，可以获得更好的结果。由于并不是所有状态变量在物理上都可以测量，为了能够形成反馈，就引出了用状态观测器给出状态估值的问题。状态反馈与状态观测器的设计构成了状态空间综合设计的主要内容。1、基本概念9.3线性系统的状态反馈及状态观测器在某种程度上类似于根轨迹设计方法，即通过状态反馈将系统闭环极点配置到期望的位置，以获得理想的性能，区别在于：根轨迹法只将闭环主导极点配置到期望位置极点配置可以把所有的极点配置到期望位置2、极点配置假设：只讨论单输入-单输出（SISO）系统；参考输入v(t)为零（或某个常值），即所谓调节器系统；9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(1)极点配置问题2、极点配置系统模型控制信号状态反馈增益矩阵9.3线性系统的状态反馈及状态观测器极点配置设计的问题在于选择合适的矩阵K，使得闭环系统矩阵：闭环系统方程的解其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位于S平面左半平面），则当t趋近于无穷时，X(t)趋近于零。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(2)任意配置极点的充要条件2、极点配置任意配置极点的充要条件是被控系统状态完全可控，即：的秩为n。证明见教材P551～553，10.2.2节9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(3)极点配置设计的步骤2、极点配置推导被控系统的状态空间模型；检验被控系统的状态完全可控性；根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置；确定状态反馈增益矩阵K；利用所求出的增益矩阵K，推导控制器的传递函数，检验其对给定初始条件的响应，如果响应不能令人满意，则调整期望闭环极点的位置，直到获得满意的响应为止。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(3)极点配置设计的步骤2、极点配置推导被控系统的状态空间模型；检验被控系统的状态完全可控性；根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置；确定状态反馈增益矩阵K；利用所求出的增益矩阵K，推导控制器的传递函数，检验其对给定初始条件的响应，如果响应不能令人满意，则调整期望闭环极点的位置，直到获得满意的响应为止。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(4)确定状态反馈增益矩阵K的方法2、极点配置

根据：期望闭环极点（特征值）：a.直接代入法

极点配置后系统闭环极点（特征值）：确定状态反馈增益矩阵：直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵K。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器b.利用变换矩阵T的方法

假设原被控对象的极点（特征值）：定义变换矩阵T：T=MW其中M是可控性矩阵：则c.阿克曼（Ackermann）公式M是可控性矩阵：则

期望闭环极点（特征值）：自学教材P556，例10.1教材P625，A10.5教材P625，A10.5

已知系统的状态空间模型如下：

若期望的系统特征根为-3和-5，试确定反馈增益矩阵K和控制信号u(t)。倒立摆控制系统状态空间极点配置状态空间模型：

若期望系统的调节时间为2s(2%准则)，阻尼比为0.5，试确定反馈增益矩阵K。期望闭环极点：(1)基本概念3、状态观测器

当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量状态变量以便实现反馈。但一般情况下，只有系统的输入和输出能够测量，而多数状态变量不易测得或不能够测得。这就引出了利用被控对象输入量和输出量建立状态观测器，重构状态的问题。实际系统系统估计9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(2)全阶状态观测器3、状态观测器

所谓全阶状态观测器即能够观测到系统全部状态变量的观测器。利用实际系统的状态方程减去上述方程，得：9.3线性系统的状态反馈及状态观测器即状态观测器设计的问题在于选择合适的矩阵Ke，使得矩阵：其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位于S平面左半平面），则当t趋近于无穷时，E(t)趋近于零。状态观测增益矩阵(3)状态观测的充要条件3、状态观测器对偶系统：状态观测的充要条件是被控系统S1状态完全可观，或其对偶系统S2状态完全可控，即：的秩为n。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(3)确定状态观测增益矩阵Ke的方法3、状态观测器

根据观测器的期望极点（特征值）：a.直接代入法

极点（特征值）：确定状态观测增益矩阵：直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵Ke。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器b.利用变换矩阵Q的方法

假设原被控对象的极点（特征值）：定义变换矩阵Q：Q=WN*其中N是可观性矩阵：则c.阿克曼（Ackermann）公式则N是可观性矩阵：自学教材P575，例10.6(1)最佳Ke的选择原则4、状态观测器的相关问题一般情况下，观测器极点必须比控制器极点快2～5倍。此时，系统响应以控制器极点为主导。如果传感器噪声较大，可以将观测器极点选的比控制器极点慢一些，以减小系统带宽，平滑噪声。此时，系统响应以观测器极点为主导。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(2)观测器的引入对闭环系统影响4、状态观测器的相关问题被控对象状态反馈观测模型可得其中9.3线性系统的状态反馈及状态观测器写成矩阵形式为可见：观测-状态反馈控制系统的闭环极点包含极点配置设计产生的极点和状态观测器设计产生的极点。由于引入状态观测器，整个闭环系统的特征方程由n阶变为2n阶。(3)基于观测器的控制器传递函数4、状态观测器的相关问题9.3线性系统的状态反馈及状态观测器(3)基于观测器的控制器传递函数4、状态观测器的相关问题被控对象状态反馈观测模型可得利用拉氏变换，并令初值为零：9.3线性系统的状态反馈及状态观测器基于观测器的控制器传递函数为：5、带观测器的调节器系统设计推导被控系统的状态空间模型；检验被控系统的状态完全可控性和可观性；根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置，同时选择期望的观测器极点；确定状态反馈增益矩阵K和状态观测增益矩阵Ke；利用所求出的增益矩阵K，推导观测器-控制器的传递函数，如果控制器是稳定的，检验其对给定初始条件的响应，如果响应不能令人满意，则调整期望闭环极点的位置和（或）观测器极点的位置，直到获得满意的响应为止。9.3线性系统的状态反馈及状态观测器第九章状态空间分析与设计

9.1线性系统的状态空间描述9.2线性系统的能控性和能观性9.3线性系统的反馈结构及状态观测器

9.4Lyapunov稳定性分析9.5二次型最优控制

非线性系统的初值问题初始条件不同，系统的运动特性不同1、Lyapunov稳定9.4Lyapunov

稳定性分析x*Rr如果对于任何的R>0，存在与R相关的r(R)>0，使得对于所有的t0，如果有x(0)<r(R)，就有x(t)<R，则称平衡点0是Lyapunov稳定的，简称稳定的。如果至少存在一个R>0，对于任何r>0，无论r如何小，如果有x(0)<r，随着时间的增长，总有x(t)R，则称平衡点0是不稳定。1892年，俄国李雅普诺夫在《论运动稳定性的一般问题》中建立了动力学系统的一般稳定性理论：2、渐近稳定x*Rr平衡点0是稳定的

则称平衡点0是渐近稳定的线性定常系统的稳定性和渐近稳定性是等价的。3、线性化方法（Lyapunov第一方法）1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即A的所有特征值都严格位于左半S平面）则对原非线性系统，平衡点是渐近稳定的。2、如果线性化后的系统是不稳定的（即A的特征值中至少有一个严格位于右半S平面上）则对原非线性系统，平衡点是不稳定的。3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即A所有特征值都位于左半S平面，但至少有一个在虚轴上）则对原非线性系统，得不出任何结论。如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗（持续减小）的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，最终必定稳定到某个平衡点。4、直接法（Lyapunov第二方法）四个判定定理……通过为系统构造一个“类能量”的标量函数(Lyapunov函数)，并检查该标量函数的时变