第8章-方差分析与正交试验设计

第8章方差分析与正交试验设计北京联合大学机电学院本章主要内容8.1正交试验设计概述8.2正交试验设计的实施及试验结果的直观分析8.3有交互作用的正交试验设计8.4混合水平的正交试验设计8.5多指标正交试验及其结果的直观分析8.6正交试验设计的方差分析8.1正交试验设计概述8.1.1试验设计的基本概念试验指标：在试验中用来衡量试验结果的量。因素：又称因子，在试验中影响试验指标的量。通常用A，B，C等大写字母作为因素的简化表示。水平：试验中各因素的不同取值。一般用“+”“-”号或1，2，3……来表示因素的不同水平。8.1正交试验设计概述8.1.2正交表1.正交表的表示列号试验号12341111121222313334212352231623127313283213933218.1正交试验设计概述L8(27)正交表的代号正交表的横行数字码数（因素的水平数）正交表的纵列数（最多允许安排因素的个数）正交表的符号8.1正交试验设计概述8.1正交试验设计概述3.正交表的正交性(1)均匀分散性：是指正交表的每一列中的每个数字都以相同的次数重复出现。(2)整齐可比性：即将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能的数对重复次数都相同。这不会导致某个水平在对应因素中更突出，从而影响对试验结果的分析。8.1正交试验设计概述

试验点的分布a）全面试验b）正交试验8.2正交试验设计的实施及试验结果的直观分析8.2.1正交试验设计的流程1.明确试验目的，确定评价指标正交试验结果需要量化分析，因此体现试验目的的试验结果必须量化，即形成评价指标。试验指标就其属性有定性指标和定量指标两种。8.2正交试验设计的实施及试验结果的直观分析2.确定试验指标影响因素和各自的水平1）试验因素（因子）可控因子：水平可控制或可作审慎改变的因子；不可控因子：不能或难以控制，或不能经济地加以控制，或试验人员并未意识到会对试验指标有影响的因子。2)因素的水平因素被确定后，随之是确定各因素的水平。水平的确定包含两个含义，即水平的个数的确定和各个水平的状态的确定。黑箱(试验过程)可控因子输入A

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噪声因子试验指标Y输出8.2正交试验设计的实施及试验结果的直观分析3.选择合适的正交表，进行表头设计1）正交表的选择首先根据试验因素的水平数选择相应水平的正交表，同水平的正交表中，在保证正交表列数多于试验因素数的前提下，选择试验次数最少的正交表。当各因素间存在交互作用时，选择正交表有进一步的限制条件。2）表头设计即将试验因素安排到所选正交表相应的列中。不存在交互作用时，试验因素可任意安排，多余的列在后续的数据分析中可作为误差列；不能排除因素间的交互作用时，应避免将因素的主效应安排在正交表的交互效应列内，妨碍对因素主效应的判断。8.2正交试验设计的实施及试验结果的直观分析4.确定试验方案并加以实施将因素水平表及表头设计融合到选定的正交表中，也就形成了试验的方案。实施试验设计的几项原则：1)重复：指一个试验点在相同条件下进行若干次重复试验。重复试验可以使算术平均后的试验指标误差更小；通过重复试验得到了随机误差的值之后，进行显著性检验。2)随机化试验材料的分配、人员安排和各试验点的试验次序都要随机确定。随机化可以有效地减小噪声因子的影响。8.2正交试验设计的实施及试验结果的直观分析5.试验结果正交试验结果的分析，通常有极差法和方差分析法两种方法。8.2正交试验设计的实施及试验结果的直观分析8.2.2正交试验设计结果的直观分析直观分析的任务主要有两点：1.各因素对试验指标的影响的大小顺序。采用的是极差分析法。2.各因素的最佳的水平组合。需要注意的是试验指标有望大、望小和望目三种类型，三种类型的试验指标对最佳水平的选择也必然是不一样的。8.3有交互作用的正交试验设计8.3.1因素间的交互作用当因子A水平的变化对试验指标产生的影响还要取决于因子B所处水平时，称因子A与B存在交互作用，记为A×B或AB。因子A与B的交互作用可以用图形直观地表示。A1A2B1

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a.无交互作用b.有正的交互作用c.有负的交互作用因子A与B的交互作用示意图8.3有交互作用的正交试验设计8.3有交互作用的正交试验设计2.表头设计从专业知识和经验判断等多种角度分析哪些是需要考虑的交互作用，它们在表头中应尽量占据单独的列，若与其它因素或交互作用同处一列，则会产生混杂，即无法分清楚谁影响了试验指标。列号

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L8（27）的交互作用表8.3有交互作用的正交试验设计8.3.3有交互作用的正交试验设计试验结果的直观分析【例8.3】从矿物中提取稀土元素的试验设计。试验的目的是寻求从某矿提取稀土元素的最优工艺方案，考察的指标是稀土元素的提取量。根据生产经验，影响从矿物中提取稀土元素的因素为酸用量、水用量、反应时间和有无添加剂。每个因素皆取二个水平，制定如下表所示的因素水平表。因素水平酸用量（ml）A水用量(ml)B反应时间（h）C添加剂D125201有220402无因素水平表8.3有交互作用的正交试验设计解：查正交表L8(27)的交互作用表，得出该试验的表头设计如下：因素ABA×BCA×CB×CD列号1234567例8.3的表头设计8.3有交互作用的正交试验设计因素列试验号号酸用量A水用量BA×B反应时间CA×CB×C添加剂D试验指标1234567提取量111111111.10211122221.3331221122106521212121.03621221210.80722112210.76822121120.56K14.624.263.754.023.593.753.72K23.153.514.023.754.184.024.05极差R1.470.750.270.270.590.270.33因素影响顺序12553548.3有交互作用的正交试验设计8.4混合水平的正交试验设计在实际生产和科研活动中，有些试验会受到设备、原材料、生产条件的约束；某些因素的水平选择受到限制；要求重点考察某些因素应多取一些水平。这种性质的试验设计称为混合型正交试验设计。解决这类问题的办法有两个：直接选用水平数不等的正交表；采用拟水平的方法。8.4混合水平的正交试验设计8.4.1直接选用混合水平正交表【例8.4】

钛合金在冷加工之前，应进行一次退火热处理工序来降低硬度，以便于校直和冷拉。为确保冷加工的工艺要求，现通过正交试验设计寻求退火工艺参数。这个课题的考察指标是钦合金热处理后的洛氏硬度HRC。因素水平退火温度（℃）A保温时间(h)B冷却介质C17301空气27602水37904820因素水平表解：试验中有1个4水平因素和2个2水平因素，是混合水平试验，应选用来安排试验。因素列号试验号退火温度A保温时间B冷却介质C空列试验指标1234洛氏硬度HRC1111131.62122231.03211231.64222130.55312131.26321231.07412233.08421130.3K162.6127.4124.5K262.1122.8125.7K362.2K463.3k131.331.931.1k231.130.731.4k331.1k431.7极差R0.61.20.3因素影响顺序2138.4混合水平的正交试验设计8.4.2拟水平法对水平数不同的试验，如无现成的正交表可用时，则可将水平数较少的因素虚拟一些水平，以便在水平数较多的正交表中安排试验，称为拟水平法。【例8.5】

钢片在镀锌前需进行酸洗除锈处理，为了提高除锈效率、缩短酸洗时间，安排酸洗试验，寻求工艺参数。因素水平洗涤剂ACH4N2S（g/l）BH2SO4（g/l）C槽温（℃）D1甲12300602乙4200703825080因素水平表8.4混合水平的正交试验设计解：这是一个3个3水平因素、1个2水平因素的试验，由于无适合的正交表可安排试验。可以根据试验的需要，选择重点考虑的水平或据生产经验估计较好的水平作为因素A的第三水平，本题选因素水平表上第二水平为因素A的虚拟水平，这样将后面表中L9（34）的第1列改为第1‘列就可安排试验计划。因素列号试验号洗涤剂ACH4N2SBH2SO4C槽温D试验指标酸洗时间（min）11’2341111114221122234311333104221231452223137622312127321322832213893232144K1865862123K2117799248K3664932k128.719.320.741.0k219.526.330.716.0k322.016.310.7极差R9.27.014.430.3因素影响顺序34218.5多指标正交试验及其结果的直观分析在科学研究与生产实际中，往往整个试验结果的好坏不能由一个试验指标全面评判。不同指标的重要性不同，使得多指标正交试验结果的分析相对来说复杂一些，但本质上并无明显的区别，关键在于如何将多指标问题转化为单指标问题进行分析，常用的方法有综合平衡法和综合评分法。8.5.1综合平衡法多指标试验结果直观分析时，先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到每个指标的影响因素的主次顺序和最佳水平组合，然后结合试图解决的实际问题，根据相关的专业知识、实践经验进行综合分析，称为综合平衡法。8.5多指标正交试验及其结果的直观分析【例8.6】

烟叶的烘干中影响叶丝质量的因素主要有烘干机的热风温度、滚筒转速、热风风门开度以及排潮风门开度4个主要工艺参数，工艺参数的设置对烘后叶丝的结构、填充值、香味成分以及感官质量均有重要影响，请采用综合平衡法较好的烘干条件。因素水平热风温度(℃)A滚筒转速(转/分)B热风风门开度(%)C排潮风门开度(%)D1909304021101150603130137080因子水平表8.5多指标正交试验及其结果的直观分析解：这是一个4因素3水平的试验，由于不考虑交互作用，可以采用正交表来安排试验，即四个因子依次放在四列上，试验后各指标的试验结果如后表所示。8.5多指标正交试验及其结果的直观分析因素列试验号号ABCD整丝率(%)填充值(cm3/g)感官质量得分1234y1y2y31111184.774.7173.002122285.674.5475.503133389.394.5672.504212384.724.4474.505223186.454.4072.006231285.774.3973.507313285.414.5174.008321384.854.6272.009332186.524.3671.50评价指标ABCD整丝率(%)k186.6184.9785.1385.91k285.6585.6685.6485.62k385.5987.2387.0886.32R1.022.261.950.70优水平A1B3C3D3因素主次BCAD填充值(cm3/g)k14.604.554.574.49k24.414.524.454.48k34.504.444.494.54R0.190.120.130.06优水平A1B1C1D3因素主次ACBD感官质量得分k173.6773.8372.8372.17k273.3373.1773.8374.33k372.5072.5072.8373.00R1.171.331.002.17优水平A1B1C2D2因素主次DBAC由于没有空白列也没有重复试验，因此只能采用直观分析，计算各指标中每个因子的极差。在一定范围内,对整丝率、填充值、感官质量而言,评价指标数值越大越好，所以可以得出因素的主次和优水平如表所示。

8.5多指标正交试验及其结果的直观分析8.5多指标正交试验及其结果的直观分析8.5多指标正交试验及其结果的直观分析8.5多指标正交试验及其结果的直观分析进行综合平衡时，我们可以依据三条原则：（1）对于某个因素，可能对某个指标是主要因素，但对于另外的指标则可能是次要因素，那么在确定该因素的优水平时，应首先选取作为主要因素时的优水平；（2）若某因素对各指标的影响程度相差不大，这时可按“少数服从多数”的原则，选取出现次数最多的优水平；（3）当因素个水平相差不大时，可依据降低消耗、提高效率的原则选取合适的水平；（4）若各试验指标的重要程度不同，则在确定因素优水平时应首先满足相对重要的指标。在具体运用这几条原则的时，仅仅根据其中的一条可能确定不了优水平，所以应将几条综合在一起分析。8.5多指标正交试验及其结果的直观分析8.5.2综合评分法综合评分法：是将每个水平组合下的多个指标按照某种计算公式化为一个综合指标，而后进行正交试验的直观分析的方法。计算公式中各指标的权重，应根据相关的专业知识确定，并没有统一的方法。【例8.7】以西洋参中人参皂苷Rg1、Re、Rb1的总转移率及浸膏得率为指标，多指标综合评分，优选西洋参的乙醇提取工艺条件。因素水平乙醇浓度（%）A提取时间（h）B加醇量（倍）C提取次数D18028227031033604124因子水平表8.5多指标正交试验及其结果的直观分析因素列号试验号乙醇浓度A提取时间B加醇量C提取次数D试验结果综合评分1234总转移率（%）y1浸膏得率（%）y2y1111180.6441.4053.642122286.1943.3057.743133382.4143.3554.374212385.0445.1555.925223190.225.3560.436231279.1342.2551.947313286.3846.3556.598321379.8642.8552.329332176.7541.7050.06K1165.75166.15157.9164.13K2168.29170.49163.72166.27K3158.97156.37171.39162.61R9.3214.1213.493.66因素主次BCAD优方案B2C3A2D28.6正交试验设计的方差分析8.6.1正交试验设计引入方差分析的原因正交试验的每个试验点的试验结果的波动包括：由因素水平变化引起的波动；由试验误差引起的波动两部分。1.直观分析法的优点及局限性正交试验直观分析法简单明了，计算工作量少，便于普及推广，但不能把上述两种波动区分开，从而导致不能判断因素水平的变化产生的影响是否显著大于随机因素所导致的试验误差，因而仅能够区分各因素对试验指标产生的影响的顺序，对各因素是否对试验指标确实有显著影响却难以给出结论。8.6正交试验设计的方差分析2.引入方差分析法的目的方差分析能够区分出试验结果的两种波动。方差分析的思路是：把观测数据的总的离差平方和(ST)分解为反映必然性的各个因素的离差平方和(SA，SB,...,Sn)与反映偶然性的误差离差平方和(Se)，并计算比较它们的平均离差平方和，以找出对试验结果起决定性影响的因素(即显著性或高度显著性因素)作为进行定量分析判断的依据。8.6正交试验设计的方差分析3.方差分析的类型概括起来有以下几种：(1)单因素试验的方差分析：只包含一个因素变化的试验分析；(2)多因素试验的方差分析：包含两个以上因素变化的试验分析；(3)正交试验设计的方差分析：利用正交表安排多于一个因素变化的试验分析。8