太原理工大学卓越班高数上第三节 任意项级数

高等数学主讲教师数学学院魏毅强教授联系电mail:weiyiqiang@2PowerPoint统计学第七章无穷级数

47.1常数项级数的概念与性质7.2

正项级数7.3

任意项级数7.4

幂级数7.5

函数展开成幂级数7.6

函数的幂级数展开式的应用7.7函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质7.8傅里叶级数7.9正弦级数与余弦级数7.10以2l为周期的周期函数的傅里叶级数目录5学习的基本要求和预期目标1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2）熟悉几何级数与级数的收敛性。3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，会用根式审敛法。4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。6学习的基本要求和预期目标8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。11)了解幂级数在近似计算中的简单应用。12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。77.3.1交错项级数7.3.3绝对收敛与条件收敛7.3任意项级数7.3.2交错项级数审敛法（莱布尼茨审敛法）7.3.4绝对收敛的性质87.3.1交错项级数定义3.1如果ui>0，i=1，2，···，n，···，则u1-u2

u3

-···(-1)n-1

un

···称为交错项级数。注：有时候我们也将正、负项交替出现的级数归入交错项级数中讨论。7.3任意项级数97.3.2交错项级数审敛法(莱布尼茨审敛法)7.3任意项级数德国数学家莱布尼茨1646年－1716年定理3.1如果序列{un}单调递减趋于零，即则级数

收敛，且其余项rn的绝对值|rn|un110举例例3.1讨论交错项级数的收敛性作差；作比；求导注；判别单调性的一般方法有3种7.3任意项级数117.3任意项级数7.3.3

绝对收敛与条件收敛（称为绝对收敛判别法）注：条件收敛级数，收敛和与加法次序有关，当改变加法次序时收敛和也会改变。而绝对收敛级数的收敛和不因加法的次序改变而改变。定理3.2如果级数收敛，则也收敛

定义3.2如果收敛，则称绝对收敛；如果发散，收敛，则称条件收敛。127.3任意项级数例如例3.2判别下列级数的敛散性137.3任意项级数7.3.4

绝对收敛的性质定理3.3绝对收敛级数的各项任意重排后构成的级数仍然绝对收敛，且与原级数有相同的和。

定理3.4如果绝对收敛，则也绝对收敛。称为柯西乘积14

ByeBye!15戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年）德国哲学家、数学家。第一个公开微积分方法的人，并且符号被主流应用，而牛顿是确认早于莱布尼茨使用微积分的。莱布尼茨终生未婚，但是在50岁时曾经想要结婚，但是女方提出说"需要一些时间“，这从而给了莱布尼茨时间去正面的思考这个问题，所以最终莱布尼茨终生未婚。关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。返回16因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。牛顿在三年后，即1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（