湖南省长沙市2023届上学期高三统一检测理科数学(解析版)

长沙市2023届高三年级统一模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】转化M,可得M,N的关系,即可.【详解】,所以可得,故选A.【点睛】本道题考查了集合与集合的关系,难度较小.2.在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的四则运算,化简该复数,结合复数的意义,建立不等式,即可.【详解】,因为在第一象限内,所以满足所以,故选D.【点睛】本道题考查了复数的基本运算,难度中等.3.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分、必要条件判定，即可。【详解】结合,可知都是负数,,因而，是方程的两根”是“的充分不必要条件.【点睛】本道题考查了充分必要条件判定以及等比数列的性质，难度中等。4.下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】选项，，函数单调递减不符合条件；选项，定义域不关于原点对称，不符合条件；选项，函数图象先减后增，在时，函数取得最小值，不符合条件；选项中，因为，所以函数为奇函数，将函数式变为，随着增大函数值也增大，是单调递增函数，符合条件，故选D.5.已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合条件概率计算公式，代入数据，即可。【详解】，【点睛】本道题考查了条件概率计算公式，难度中等。6.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆过点，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质，计算渐近线方程以及圆的方程，计算面积，即可。【详解】渐近线方程为，该圆的方程为，则其中一个点P的坐标为，所以，故选C。【点睛】本道题考查了双曲线性质以及圆方程计算方法，难度中等。7.在中，，，，且是的外心，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，分别计算出B,A,O坐标，代入，结合向量数量积坐标表示，即可。【详解】建立坐标系，以C为原点，，,则所以，故选D。【点睛】本道题考查了向量数量积坐标表示，难度中等。8.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）正视图侧视图俯视图A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，故，故选B。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图以及空间几何体体积计算方法，难度较小。9.已知是函数图象的一个最高点，是与相邻的两个最低点.设，若，则的图象对称中心可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，分别计算各个参数，代入特殊值法，计算对称中心，即可。【详解】结合题意,绘图，，所以周期，解得，所以，令k=0，得到所以，对称中心的，令m=3,得到对称中心坐标为，故选D。【点睛】本道题考查了三角函数解析式求法，以及三角函数性质，难度中等。10.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。【详解】有三个零点，有一个零点，故，有两个零点，代入的解析式，得到，构造新函数，绘制这两个函数的图像，如图可知因而介于A,O之间，建立不等关系，解得a的范围为，故选A。【点睛】本道题考查了函数零点问题，难度加大。11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本道题结合抛物线性质，分别计算A,B的坐标，结合两点距离公式，即可。【详解】结合抛物线的性质可得，所以抛物线方程为，所以点A坐标为，所以直线AB的方程为，代入抛物线方程，计算B的坐标为，所以，故选C。【点睛】本道题考查了抛物线性质以及两点距离公式，难度中等。12.设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算与OE的距离，计算，即可。【详解】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大。二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{an}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{an}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.14.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设，，，，，六门选修课程，学校规定每个学生必须从这门课程中选门，且，两门课程至少要选门，则学生甲共有__________种不同的选法.【答案】【解析】【分析】本道题先计算总体个数，然后计算A,B都不选的个数，相减，即可。【详解】总体种数有，A,B都不选的个数有，所以一共有16种。【点睛】本道题考查了排列组合问题，难度中等。15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。16.已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】本道题利用换元法，将题目所求式子转化成二元线性规划问题，结合数形思想，计算斜率范围，得到z的范围，即可。【详解】结合题意,建立不等式组,得到,处理该不等式得到令,建立新不等式组得到,绘制可行域,得到可行域是画虚线位置,处理目标函数转化成直线可得,因而该直线过定点,因此该直线斜率介于1号和2号直线之间,,设该直线与曲线的切点为,斜率为,得到方程为,过定点,代入,解得,因而,解得A的坐标为,因而PA的斜率为,得到,解得,综上所述,z的范围为【点睛】本道题考查了线性规划以及过曲线切线斜率计算方法，难度较大。三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知的内角，，的对边分别为，，.且.（I）求；（Ⅱ）若的面积为，周长为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（I）结合正弦定理，处理题目式子，计算角A的大小，即可。（2）结合余弦定理，得到关于a,b,c的等式，结合题意，计算a，即可。【详解】（I）由题设得.由正弦定理得，所以.故.（Ⅱ）由题设得，从而.由余弦定理，得.又，故，解得.【点睛】本道题考查了正弦定理与余弦定理，难度中等。18.已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.图一图二【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】（Ⅰ）设的中点为，连接，.由题意，得，，.因为在中，，为的中点，所以，因为在中，，，，，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大.由平面，，所以，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，，，，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，，即..由图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.19.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴相交于，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）结合题意，得到为的中位线，进而得到，利用椭圆性质，计算a,b值即可。（2）将直线l的方程，代入椭圆方程，得到以及，即可。【详解】（Ⅰ）连接，由题意得，所以为的中位线，又因为，所以，且，又，，得，，，故所求椭圆的标准方程为.（Ⅱ）由题可知，的方程为，的方程为.直线与直线、联立得、，所以，，所以.联立得.因为直线椭圆相切，所以，化简得.所以，所以，故为定值.同理，，所以，.故.【点睛】本道题考查了直线与圆锥曲线位置关系问题，难度较大。20.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：月份广告投入量收益他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；（ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】【分析】（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。（2）（i）利用回归直线参数计算方法，分别得到，建立方程，即可。（ii）把代入回归方程，计算结果，即可。【详解】（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.（Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为的数据后，得；.；.；，所以关于的线性回归方程为：.（ⅱ）把代入回归方程得：，故预报值约为万元.【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法，难度中等。21.已知函数，其中，设为导函数.（Ⅰ）设，若恒成立，求的范围；（Ⅱ）设函数的零点为，函数的极小值点为，当时，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（I）计算的导函数，计算最小值，结合恒不等式，建立不等关系，计算a的范围，即可。（II）构造函数，判定极小值点，进而得到的单调性，得到，结合单调性，即可。【详解】（Ⅰ）由题设知，，，.当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，故在处取到最小值，且.由于恒成立，所以.（Ⅱ）设，则.设，则，故在上单调递增.因为，所以，,故存在，使得，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故是的极小值点，因此.由（Ⅰ）可知，当时，.因此，即单调递增.由于，即，即，所以.又由（Ⅰ）可知，在单调递增，因此.【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性以及极值问题，难度较大。22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.（Ⅰ）求和的极坐标方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合消去参数，得到极坐标方程，即可。（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到，用表示，结合三角函数的性质，计算范围，即可。【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线的极坐标方程为.曲线的普通方程为，因为，，，所以极坐标方程为.（Ⅱ）设，，且，均为正数，将代入，得，当时，，所以，根据极坐标的几何意义，，分别是点，的极径.从而：.当时，，故的取值范围是.【点睛】本道题考