大学物理角动量3

刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。设刚体以角速度ω绕固定轴z转动,Li=Δmiviri=Δmiri2ωL=(Δmiri2)ωI=Δmiri2,称为mivirioLZ上次内容回顾I=Δmiri2质量连续分布刚体和转轴有关,和物体的质量和质量分布有关上次内容回顾质量为m、长度为L的细直棒，通过质心C且垂直于棒的轴均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，上次内容回顾

刚体对任一转轴的转动惯量I等于刚体通过质心的平行轴的转动惯量Ic加上刚体的总质量M乘以两平行轴间距离d的平方，即

I=Ic+Md2

对定轴转动来说,刚体的角加速度与它所受到的力矩正比,与转动惯量成反比刚体定轴转动的角动量定理上次内容回顾

刚体的进动—非定轴转动问题例题1以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩，转轮经100s而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量,及摩擦力距。

20-Mr=I1，

1=/t1

o对m:mg-T=ma对柱：TR=I，

解得=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。RMmTmg例题2质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。

a=R

mg-T2=maa=R1=r2,T1R=m1R21T2r-T1r=m2r22T1T1T2mgm1m2mRr12例题3质量m1半径为R的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2半径r的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有质量为m的物体，如图所示。求当物体m由静止开始下落了h时，求:物体m的速度及绳中的张力。

解:

v2=2ah，例题4一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角时的角加速度和角速度。

ABoCmg

解

所以完成积分得讨论:(1)当=0时，=3g/2l，=0；

(2)当=90°时，=0，=(3g/l)1/2。

ABoCmg例题5一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为µ，求圆盘经转几圈将停下来？

rdro计算出来摩擦力矩是关键rdro于是得又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为

定轴转动的角动量守恒定律

若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则

I=常量

这表明：当合外力矩为零时,物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律说明：在惯性系下成立I=常量系统定轴转动的角动量守恒转轴存在运动的情况

系统角动量守恒的条件是：

系统动量守恒的条件是：系统的机械能守恒的条件是:三大守恒定律的守恒条件

解

.ommvv例题6粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴o自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为µ，起初杆静止。桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率v相向运动，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短),如图,求:(1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？

(2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦力矩）碰撞过程中有角动量守恒

.ommvv

(2)由=o+t：碰撞过程中有角动量守恒dm.oxdxfr

解

oR/2例题7匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为质点)一起以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图所示。如果此人相对于盘以速率v、沿半径为R/2的园周运动(方向与盘转动方向相反),求:(1)圆盘对地的角速度;(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？体系初态角动量末态盘的角动量(2)欲使盘静止，可令oR/2当刚体在力矩M的作用下由角1转到2时,力矩所作的功为FZdsdrop力矩的功率是

P=dA/dt=Md/dt=M

定轴转动的功和能刚体的转动动能=刚体上各质点动能之和,设刚体绕一定轴以角速度转动,第i个质点的质量为Δmi,它到转轴的距离为ri,它的线速度vi=riω.

相应的动能定轴转动中的动能刚体的动能是转动惯量乘以角速度平方的一半在上式两边同乘以d并积分得：合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。这便是定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理因此刚体的机械能为：机械能守恒定律如果一个包括刚体在内的系统,在运动过程中外力功和非保守内力功代数和为零,则此系统的机械能守恒Chco

例9一质量为m、长为L的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成角时的角速度和角加速度

例题10如图所示，有一由弹性系数为k的弹簧、匀质滑轮和重物M组成的系统，滑轮质量为m半径为r，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求:(1)重物M下落h时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。

hMmrk零势面，v=r

解

解ABORo例题11空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为Io,半径为R，初始角速度为o

。质量为m的小球静止在环的最高处A点，由于某种扰动，小球沿环向下滑动，求小球滑到与环心O在同一高度的B点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小)角动量守恒ABORo上式中的v是小球相对于地的速度，它应为vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度(即相对于环的速度)。

机械能守恒

解

2l/3mvooA(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：例题12长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为m的子弹以水平速度射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3,求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;(2)杆能转过的最大角度。角动量守恒2l/3mvooA以杆的下端点为零势点刚体力学小结质点的角动量定理质点的角动量质点的角动量守恒定律质点系的角动量定理定轴转动角动量定轴转动的转动定理刚体的角动量守恒定轴转动动能定理定轴转动动能和功刚体的机械能守恒在继承的基础上创新狭义振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动广义振动：任一物理量(如电压、电流等)在某一数值附近反复变化。第四章振动学基础广义振动：随时间的变化有一定的周期性的事物尽管振动有各种形式，但却具有同样的规律性，这种规律可以用统一的数学形式来表达本章重要性的体现振动学一个基本的思路振动叠加原理任何一个复杂的振动都可以看成是一种最基本的振动合成的简谐振动研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的合成问题，就可以研究任何复杂振动了第一节：简谐振动的运动学弹簧振子的运动如图所示一，弹簧振子当振子位移为x时由牛顿定律：令于是有：简谐振动的运动方程方程的一般解为：简谐振动的运动方程简谐振动：相对与平衡位置的位移是时间的正弦或余弦函数这样的振动就是简谐振动方程的一般解为：简谐振动的定义oTtx、

、ax2A

>0

<0<0>0a<0

<0

>0>0减速加速减速加速AA-A-A-2Aa位置、速度和加速度随时间的变化描述简谐振动的解析参量

振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值由初始条件决定能量大小的标志周期：完成一次全振动所需时间称为角频率（或圆频率）频率：单位时间内振动的次数例如弹簧振子系统内在性质所决定的周期（频率）,称为固有周期(频率)相位

初相位(初相)决定初始时刻物体运动状态相位是决定振动物体运动状态的物理量当