空间角与空间距离

§9.4空间角与空间距离基础知识自主学习要点梳理1.异面直线所成的角

(1)定义:已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）范围：锐角（或直角）2.斜线与平面所成的角（1）定义：斜线与平面所成的角是斜线和它在平面内的

所成的角.当直线和平面平行时，称直线和平面成

角.当直线和平面垂直时，称直线和平面成

角.

（2）范围：

.3.二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做

，这条直线叫做

，这两个半平面叫做

.射影0°90°二面角二面角的棱二面角的面（2）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为

，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做

.(3)求作二面角的方法二面角的大小是用它的

来度量的.找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性.端点二面角的平面角平面角②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直.④射影法：利用面积射影公式

θ

，其中S原为原斜面面积，S射为射影面积，θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来.（4）范围：［0，π］.S射=S原cos4.异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的

的长度.5.求距离的常用方法与一般步骤（1）求距离的常用方法①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解.②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离.公垂线段（2）求距离的一般步骤“一作”：即先作出表示距离的线段（要符合作图规则，避免随意性）；“二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段（证明要符合逻辑且推理正确）；“三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取.基础自测1.（2008·福建文，6）如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，

AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）

解析如图所示，连结A1C1，∵AA1⊥平面

A1B1C1D1，∴∠AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角.答案

D2.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，

PA=8，则P到BC的距离为 （）

A.B.2C.3D.4

解析取BC中点E，连结AE、PE，由AE⊥BC知PE⊥BC，即PE为点P到BC的距离.D3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成角的大小是（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

解析如图所示，△ACD1为正三角形，

AD1∥BC1∥EF，直线EF与直线D1C所成的角为60°.B4.（2009·湖北文，6）如图，在三棱柱

ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°,∠ACC1

=60°,∠BCC1=45°,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（）

解析如图，过点C1作C1O⊥平面ABC，连结

CO，则CC1与平面ABC所成的角为∠C1CO.记∠C1CO=α，设∠OCB=β,

由最小角定理知cos∠C1CB=cosα·cosβ,cos∠ACC1=cosα·cos(90°-β).答案

A5.线段AB长为2，两个端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角分别是45°

和30°，那么点A、B在这个二面角的棱上的射影

C、D间的距离是 （）

解析如图，∵AC⊥β,BD⊥α,

AB=2,∴∠ABC=30°,∠DAB=45°.∴BC=,BD=.∵BD⊥CD,

A题型分类深度剖析题型一斜线与平面所成的角【例1】如图所示，已知∠BOC在平面α

内，OA是平面α的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=a,BC=a，求OA和平面α所成的角.

首先应确定A点在平面α内射影的位置,这样就可得到OA与平面α所成的角,进而求之.

解∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°,∴△AOB、△AOC为正三角形.∴AB=AC=a.思维启迪∵BC=a，∴AB2+AC2=BC2，∴△BAC为直角三角形.同理△BOC也为直角三角形.过A作AH垂直平面α于H，连结OH，∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心.∴H在BC上，且H为BC的中点.∴∠AOH为直线OA与平面α所成的角.即AO和平面α所成的角为45°.探究提高

（1）确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.（2）求斜线与平面所成角的步骤：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得出射影，确定出所求角；③把该角放入三角形中计算.（3）直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种特例.知能迁移1

如图所示，AB⊥平面BCD，

DC⊥CB，AD与平面BCD所成的角为

30°，且AB=BC.

求AD与平面ABC所成角的大小.

解∵AB⊥平面BCD,∴∠ADB=30°.∵CD⊥CB,由三垂线定理得DC⊥CA,∵AC∩CB=C，∴DC⊥平面ABC,即∠CAD是AD与平面ABC所成角.

设AB=BC=a,则AC=a,BD=a,AD=2a.

在Rt△ACD中,∴∠CAD=45°,即AD与平面ABC所成的角为45°.题型二求二面角的大小【例2】如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD，

PA=3，AD=2，AB=2，BC=6.

（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—BD—A的大小.

对于问题（2），由（1）知棱BD⊥平面PAC，则可找到二面角的平面角.

（1）证明∵PA⊥平面ABCD，

BD平面ABCD，∴BD⊥PA.思维启迪∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.（2）解如图所示，连结PE，∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE，∴∠AEP为二面角P—BD—A的平面角.在Rt△AEB中，AE=AB·sin∠ABD=，∴∠AEP=60°,∴二面角P—BD—A的大小为60°.

利用垂面法找出平面角再转化到直角三角形中求解.探究提高知能迁移2如右图，在直三棱柱ABC—

A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a,

AA1=2a,D为BC的中点，E为CC1上的点，且（1）求证：BE⊥平面ADB1；（2）求二面角B—AB1—D的大小.

（1）证明由AB=AC，D是BC的中点，得

AD⊥BC，从而AD⊥平面B1BCC1.

又BE平面B1BCC1，所以AD⊥BE.

由已知∠BAC=90°,AB=AC=a,得BC=a,在Rt△BB1D中，于是∠BB1D=∠CBE,设EB∩DB1=G,∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，则DB1⊥BE.又AD∩DB1=D,故BE⊥平面ADB1.（2）解如右图，过点G作GF⊥AB1于F，连结BF.由（1）及三垂线定理可知∠BFG是二面角B—AB1—D的平面角.在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，所以在Rt△BFG中，故二面角B—AB1—D的大小为题型三点到直线、点到平面的距离【例3】在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b.

（1）设E,F分别为AB1,BC1的中点，求证：EF∥平面ABC;

（2）求证：A1C1⊥AB;

（3）求B1到平面ABC1的距离.

（1）线线平行或面面平行线面平行；（2）线面垂直线线垂直；（3）求垂线段长或用等积法.思维启迪（1）证明分别取AB，BC的中点M，N，连结EM，MN，FN，从而EMFN，即四边形EFNM是平行四边形，∴EF∥MN.而EF平面ABC,MN平面ABC，故EF∥平面ABC.（2）证明连结A1B,∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥AB.又AB=CC1=AA1,∴ABB1A1是正方形，从而AB1⊥A1B.∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1,∴A1C1⊥AB1,而A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面ABB1A1.又AB平面ABB1A1,∴A1C1⊥AB.（3）解∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1,于是B1到平面ABC1的距离等于A1到平面ABC1的距离，过A1作A1H⊥AC1于H.由（2）知，BA⊥平面ACC1A1，∴BA⊥A1H，于是A1H⊥平面ABC1.在Rt△A1AC1中，AA1=CC1=a，

求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离.如本题（3）的如下解法即用等积法即将各数据代入可得h的值.探究提高知能迁移3

如右图，已知四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，若AB=a，

PD=a，求：（1）P到正方形各顶点的距离；（2）P到正方形各边的距离；（3）P到两条对角线的距离.

解（1）P到各顶点的距离分别为PA、PB、PC、

PD的长.∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥BD，∴△PAD、△PCD、△PBD是直角三角形.∵PD=a，AB=a，四边形ABCD为正方形，∴PA=a，PB=a，PC=a，PD=a.（2）由图形易知P到AD、CD的距离都是PD=a.P到BC的距离为PC，即为a,P到AB的距离为PA，即为a.（3）∵AC⊥BD，∴DO⊥AC.又∵PD⊥平面ABCD，AC⊥平面ABCD，∴PD⊥AC,∴PO⊥AC.故PO的长就是P到对角线AC的距离而P到对角线BD的距离为PD的长，PD=a.故P到BD的距离为a，到AC的距离为题型四求异面直线间的距离【例4】（12分）设ABC—A1B1C1为直三棱柱，

AA1=1cm，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=90°，设过A1、B、C1的平面与平面ABC的交线为l.

（1）判断直线A1C1与l的位置关系，并加以证明；（2）求点A1到直线l的距离；（3）求点A到平面A1BC1的距离；（4）作CH⊥BC1，垂足为H，求异面直线AB与CH

之间的距离.

（1）利用线面平行的性质定理可知

A1C1∥l;

（2）点A1到l的距离可借助三垂线定理来寻求；（3）关键是找出点A到平面A1BC1的距离，注意运用图形中垂直关系，特别是面面垂直的关系；（4）关键是找出异面直线AB与CH的公垂线段.思维启迪解题示范解（1）A1C1∥l.［1分］证明如下：∵A1C1∥平面ABC，A1C1平面A1C1B，平面A1C1B∩平面ABC=l，∴A1C1∥l.［3分］（2）如右图所示，作AD⊥l，垂足为D，连结A1D.∵A1A⊥平面ABC，∴A1D⊥l，∴A1D为所求，［4分］又∵l∥AC，而B到AC距离等于在Rt△A1AD中,∴点A1到直线l的距离为［6分］(3)由(2)知l⊥平面AA1D,l平面A1C1B,平面A1AD⊥平面A1BC1,作AG⊥A1D,垂足为G.∴AG⊥平面A1BC1.［7分］∴点A到平面A1BC1距离为［9分］(4)∵AB⊥BC,而BC为BC1在平面ABC上的射影,∴AB⊥BC1.又∵CH⊥BC1,∴AB与CH的公垂线段是BH.［10分］∴AB与CH之间的距离为［12分］探究提高

求异面直线的距离有以下几种方法：（1）定义法：一般应先找出两异面直线的公垂线段，再通过解三角形求解.（2）转化法：若不能直接找出公垂线，则可考虑用线面平行法或面面平行法转化成求直线和平面的距离或平行平面的距离.（3）函数极值法：依据两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上的两点距离中的最小值.求空间的距离时，都是通过作辅助线、辅助面等方法将空间问题转化为平面问题来解决的.本例中通过辅助面A1AD，将点A1到l的距离及A到面A1BC1的距离转化为求A1D和AG两线段的长.知能迁移4

如图所示，在正方体ABCD—

A1B1C1D1中，O、M分别是BD1、AA1的中点.

（1）求证：MO是异面直线AA1和BD1

的公垂线；（2）求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；（3）若正方体的棱长为a，求异面直线AA1和BD1的距离.

（1）证明连结OA、OA1，O点是BD1的中点，所以O是正方体的中心，所以OA=OA1，又M为AA1的中点，即MO是线段AA1的垂直平分线，故MO⊥AA1，连结MD1，BM，则可得MB=MD1，同理由O点为BD1的中点知MO⊥BD1，即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线.（2）解由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1就是异面直线AA1与BD1所成的角.在Rt△BB1D1中，设BB1=1，则B1D1=，BD1=，（3）解由（1）知，所求距离即为线段MO的长，思想方法感悟提高方法与技巧1.求线线角常用平移法,选取一特殊点将两异面直线移成一夹角,构造三角形,利用余弦定理求角,但需要注意,所成角可能是所求角的补角.求线面角关键在于找出直线在平面内的射影,而射影的构成,

有时可以直接作垂线,有时必须借助垂面来作.2.求二面角的常用方法

(1)作平面角法.

(2)射影面积公式法.3.空间距离的求解,重在转化方法的运用上,基本问题是点到面的距离.求点到面的距离有4种方法:(1)作垂线,求垂线段的长;(2)等体积法;(3)相关点距离转移法;(4)向量法(求法向量).失误与防范计算题同样需要严格合理的推理论证过程.关键是在“度”的把握上，既不能一字未证，又不能过于繁琐，因此，需要在平时的学习中积累经验.1.△ABC的顶点B在平面α内，A，C在α的同侧，

AB，BC与α所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC=4，AC=5，则AC与α所成的角为

.

解析

如图，分别作AF⊥α，CE⊥α，垂足分别为F，E.连结EF并延长交CA的延长线于点D，则∠CDE即为AC与α所成的角.

在Rt△CEB中，BC=4，∠CBE=45°，∴CE=4.

在Rt△AFB中，AB=3，∠ABF=30°，答案30°2.设PA⊥Rt△BAC所在的平面α,∠BAC=90°,PB、

PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC

的距离是

，点P到BC的距离是

.

解析作AD⊥BC于点D，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD,∴AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2，

AC=2，BC=4，AD=.连结PD，则PD⊥BC，∴P到BC的距离PD=.三、解答题3.如图，在平面β内有△ABC，在平面

β外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，

AC⊥BC且斜线SA、SB与平面β所成的角相等，点S到平面β的距离为4cm,且AB=6cm,

求点S到直线AB的距离.

解如图，过S作SD⊥平面β于D点，连结DA、DB，则∠SAD、∠SBD分别为SA、SB和平面β所成的角.∴∠SAD=∠SBD，∴Rt△SAD≌Rt△SBD,∴SA=SB.∵SA⊥AC,SB⊥BC,∴∠SAC=∠SBC=90°.

又SC=SC，∴Rt△SAC≌Rt△SBC，∴AC=BC.取AB的中点O，连结SO，则由SA=SB，可得SO⊥AB,从而SO的长就是点S到直线AB的距离.∵SD⊥β,∴DA是SA在平面β上的射影.又SA⊥AC，根据三垂线定理的逆定理可得DA⊥AC.同理，DB⊥BC，又AC⊥BC,AC=BC,∴四边形ACBD是正方形.连结OD，∵O是对角线AB的中点，在Rt△SOD中，∵SD=4cm,OD=3cm,即点S到直线A