湖南省2017中考数学第二部分重难题型突破题型二情景应用题课件

题型二

情景应用题购买分配类问题类型一类型二工程、行程问题类型三增长率问题类型四类型五函数图象问题利润最值问题类型一购买分配类问题

例(2016沈阳)倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．

(1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？

(2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？(1)【信息梳理】原题信息整理后信息一购买A,B两种型号的健身器材共50套解法一：设购买A种型号健身器材x套，则购买B种型号健身器材(50－x)套；解法二：设购买A种型号健身器材x套，购买B种型号健身器材y套，则x＋y=50二已知购买A,B两种型号健身器材的单价分别为每套310元，460元解法一：购买A种型号健身器材支出310x元,购买B种型号健身器材支出460(50－x)元解法二：购买A种型号健身器材支出310x元,购买B种型号健身器材支出460y元三购买A、B两种型号的健身器材共支出20000元解法一：列方程为310x＋460(50－x)=20000解法二：列方程为310x＋460y=20000

解法一：设购买A种型号健身器材x套，则购买B种型号健身器材(50－x)套，根据题意，得

310x＋460(50－x)=20000，

解得x=20，

∴50－x=50－20=30；

解法二：设购买A种型号健身器材x套，B种型号健身器材y套，根据题意，得

x＋y=50

x=20

，解得，

310x＋460y=20000

y=30答：购买A种型号健身器材20套，B种型号健身器材30套；

(2)【思维教练】设购买A种型号健身器材z套，则购买B种型号健身器材(50－z)套，根据“购买A、B两种型号的健身器材共支出不超过18000元”，列不等式求解即可．

解：设购买A种型号健身器材z套，则购买B种型号健身器材(50－z)套，根据题意，得

310z＋460(50－z)≤18000，

解得z≥33

.

∵z为整数，

∴z的最小值为34.答：A种型号健身器材至少要购买34套．购买分配类问题中常出现的量有：购买数量、单价及购买金额．常见等量关系式：单价×数量=总价．1.以购买问题为例常考以下几种形式：模型一：已知A、B的单价、总数量及总花费，求A、B各自购买数量；解法突破：

A数量＋B数量=总数量

A单价×A数量＋B单价×B数量=总花费，或A单价×A数量＋B单价×(总数量－A数量)=总花费导方法指模型二：已知购买一定数量的A和一定数量的B的总花费(两组信息)，求A、B的单价；解法突破：步骤一：分别设出A、B单价；步骤二：根据“A单价×A数量＋B单价×B数量=总花费”列二元一次方程组．模型三：已知A、B的单价关系，总数量及分别购买A、B的花费，求A、B的单价；导方法指解法突破：步骤一：设A的单价，用A的单价表示B的单价；步骤二：根据“

”列分式方程2.购买分配类问题常涉及不等式(组)、一次函数，审题时留意“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“不超过(≤)”等字眼．常涉及以下设题方式：导方法指模型一：已知A、B的单价，购买A、B的总数，求购买费用不超过m时，至少(最多)购买A或B的数量；解法突破：根据“A单价×A数量＋B单价×(总数－A数量)≤m”列不等式；模型二：已知A、B的单价，购买A、B的总数量及A、B数量之间的不等式关系，求购买A、B总花费最少的方案；解法突破：先根据A、B数量之间的关系得到A的取值范围；再根据“总花费=A单价×A数量＋B单价×(总数－A数量)”，列总花费关于A的购买数量的一次函数关系式．导方法指类型二

工程、行程问题

例某工程承包方指定由甲、乙两个工程队完成某项工程，若由甲工程队单独做需要40天完成，现在甲、乙两个工程队共同做20天后，由于甲工程队另有其他任务不再做该工程，剩下的工程由乙工程队再单独做了20天才完成任务．

(1)求乙工程队单独完成该工程需要多少天？

(2)如果工程承包方要求乙工程队的工作时间不能超过30天，要完成该工程，甲工程队至少要工作多少天？(1)【信息梳理】设乙工程队单独完成需要x天.

原题信息整理后信息一甲工程队单独做需要40天完成总工作量看作1，则甲工程队的工作效率为二甲、乙两个工程队共同做20天则甲、乙两个工程队合作的工作量为三剩下的工程由乙工程队再单独做了20天才完成任务乙工程队单独做20天的工作量为

,列方程为解：设乙工程队单独完成该工程需要x天，由题意得：

，

解得x=80，

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．

答：乙工程队单独完成该工程需要80天；(2)【信息梳理】设甲工程队要工作y天.

原题信息整理后信息四工程承包方要求乙工程队的工作时间不能超过30天甲工程队的工作量为

，乙工程队的工作量为

，已知乙的工作效率为

，列不等式为

解：设甲工程队要工作y天，由题意，得

，

解得

y≥25.

答：甲工程队至少要工作25天．工程、行程问题常涉及以下几种形式：

模型一：已知一项工程甲、乙合作完成的时间，甲、乙独做完成的时间差，求甲、乙独做时完成的时间

模型二：已知一项工程甲、乙合作完成的时间，甲独做完成的时间，求乙独做完成的时间

解法突破：导方法指

模型三：一项工程甲先做a天后,甲、乙合作m天完成,已知甲独做时完成的时间，求乙独做时完成的时间

解法突破：

模型四：已知完成一项工程,实际效率与原计划效率的关系,实际与原计划完成的时间差,求原计划的工作效率

解法突破：导方法指

模型五：A、B以不同的速度同时出发，已知甲、乙两地路程，A、B的速度关系，A、B到达时的时间差，求A、B的速度

模型六：A、B以不同的速度不同时出发同时到达，已知甲乙两地路程，A、B的速度关系，A、B出发的时间差，求A、B的速度

解法突破：导方法指类型三

增长率问题

例(2016济宁)某地2014年为做好“精准扶贫”工作，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年基础上增加投入资金1600万元．

(1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

(2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天补助8元，1000户以后每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

(1)【思维教练】设年平均增长率为x，从2014年到2016年经过两次增长，根据关系式：现有量=原有量×(1＋增长率)2列方程即可求解．

解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得

1280(1＋x)2=1280＋1600，

解得x1=0.5，x2－2.5(不合题意，舍去)，答：该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；(2)【信息梳理】设今年该地至少有y(y≥1000)享受到优先搬迁租房奖励.

原题信息整理后信息一规定前1000户(含第1000户)每户每天补助8元，1000户以后每天补助5元，按租房400天计算前1000户补助奖励为1000×8×400元，1000户后补助奖励为(y－1000)×5×400元二该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励1000×8×400＋(y－1000)×5×400≥5000000

解：设今年该地有y(y≥1000)户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得

1000×8×400＋(y－1000)×5×400≥5000000，

解得

y≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.原有量增长率一次增长二次增长axa(1＋x)a(1＋x)2

增长率问题中常出现的量有：原有量、现有量和平均增长率，常涉及以下关系：

如，二次增长：现有量=原有量×(1＋增长率)2注：求下降的平均百分率时，只需把上式的“＋”变为“－”即可．导方法指类型四

函数图象问题

例(2016荆州)为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数关系式；(2)若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量．请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

(1)【思维教练】根据图象可知y与x的函数关系式分0≤x≤20和x＞20两部分，利用待定系数法即可求解．

解：设当0≤x≤20时，y与x的关系式为y=kx，

将(20，160)代入，得160=20k，解得

k=8，

∴当0≤x≤20时，y=8x；

设当x＞20时，y与x的关系式为

y=mx＋n，

将(20，160)，(40，288)代入，得，解得，∴当x＞20时，y=6.4x＋32.

综上可得；

(2)【思维教练】根据题意列出购买树苗总费用y与购买数量x的函数关系式，根据自变量取值范围结合函数性质求出最小值即可．

解：购买B种苗x棵，则购买A种苗(45－x)棵，

依题意得45－x≤x≤35，

解得22.5≤x≤35.

设购买树苗的总费用为w，则

w=6.4x＋32＋7×(45－x)=－0.6x＋347，

∵－0.6＜0，

∴w随x的增大而减小，

又∵x为整数，

∴当x=35时，w有最小值，

w最小=－0.6×35＋347=326.

当x=35时，45－x=45－35=10.

∴当购买A种苗10棵，B种苗35棵时，总费用最低，最低费用为326元．

解决此类问题的关键是：①首先要读懂函数图象中的横、纵坐标代表的量；②拐点：图象上的拐点，既是前一段函数变化的终点，又是后一段函数的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；③水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；④交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，是函数值大小关系的“分界点”．导方法指

掌握以上四点再结合题设中已知的条件，运用一次函数或反比例函数图象的性质及待定系数法即可求解：①在涉及到求最值问题时，通常会利用一次函数的增减性及构成函数的自变量的取值范围来求解；②涉及到方案问题，常利用不等式解出相关量的范围，从而确定有几种方案；③方程的应用通常适用于可以从已知题干中找出等量关系的问题．导方法指类型五

利润最值问题

例(2016衡阳模拟)某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，当销售单价为13.5元时，平均每天的销售量为500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．

(1)假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；

(2)每件小商品销售价为多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润=销售收入－购进成本)(1)【信息梳理】

原题信息整理后信息一销售单价为13.5元时,平均每天的销售量为500件，销售单价每降低1元，平均每天就可多售出100件每件商品降价x元，则销售单价为(13.5－x)元，销售量为(500＋100x)件二假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元根据“总利润=(售价－进价)×销售量”列出函数关系式y=(13.5－x－2.5)(500＋100x)，其中13.5－x－2.5≥0，x＞0

解：根据题意得：

y=(13.5－x－2.5)(500＋100x)，

即y=100(－x2＋6x＋55)(0＜x≤11)，

∴y与x的函数关系式为

y=－100x2＋6