山东省潍坊市大宅科中学高三数学理月考试卷含解析

山东省潍坊市大宅科中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知R是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是(

).A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.若，则等于(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】将看作整体，将化作的三角函数．【解答】解：==﹣=﹣=2﹣1=2×﹣1=．故选A【点评】观察已知的角与所求角的练习，做到整体代换．3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝

()．参考答案：A略4.2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19：55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C如图，时间轴点所示，概率为

5.2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60）的汽车大约有（）A．30辆 B．60辆 C．300辆 D．600辆参考答案：D【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【专题】计算题；图表型．【分析】根据频率分步直方图可以看出在[50，60）之间的小长方形的长和宽，做出对应的频率，用频率乘以样本容量得到结果．【解答】解：∵有频率分步直方图可以看出在[50，60）之间的频率是0.03×10=0.3，∴时速在[50，60）的汽车大约有2000×0.3=600故选D．【点评】频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，本题是已知样本容量和频率求频数，这种问题会出现在选择和填空中．6.记等比数列的前项和为，若，，则（

）A．2 B．6 C．16 D．20参考答案：D略7.给出下列四个函数：①，②，③，④,其中在是增函数的有（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C8.若向量满足，则在方向上投影的最大值是（）A．

B．

C.

D．参考答案：B由题意，所以，设的夹角为，则，所以，所以在方向上投影为，因为，所以，故选B.

9.随机变量X的分布列如下表，且E（X）=2，则D（2X﹣3）=（）X02aPpA．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用分布列求出p，利用期望求解a，然后求解方差即可．【解答】解：由题意可得：+p+=1，解得p=，因为E（X）=2，所以：，解得a=3．D（X）=（0﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×=1．D（2X﹣3）=4D（X）=4．故选：C．10.已知向量⊥，|﹣|=2，定义：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，则||的最大值为（）A． B． C．1 D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】画出草图，通过⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四点共线，结合=||cosα，可得当B、P两点重合时||最大，计算即可．【解答】解：如图，记=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四点共线，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影为，∴当B、P两点重合时，||最大，此时α=，||=||=1，故选：C．【点评】本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数的图象过（4，2）点，则=

.参考答案：12.如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=，的面积为.则的定义域为________；的最大值为________.

参考答案：略13.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为

.参考答案：如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知，，，，，此时三棱柱的体积为，其中.令，则，令，则，当时，，函数增，当时，，函数减.故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值等于2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ)直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。参考答案：

略15.已知F是双曲线的左焦点，是双曲线的虚轴，M是的中点，过F、M的直线交双曲线C于A，且，则双曲线C的离心率是______.

参考答案：略16.设集合，，则_________．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【试题分析】，，所以.故答案为.17.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，则点（到直线的距离为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数f(x)＝|x-a|，不等式f(x)≤3的解集为[-6，0]．

（1）求实数a的值；（2）若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：（1）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，又f（x）≤3的解集为[﹣6，0]．解得：a=-3；（5分）（2）∵f（x）+f（x+5）=|x+3|+|x+8|≥5．又f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，∴2m≤5．m≤

（10分）19.已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、（a∈R），曲线C的参数方程为为参数）（Ⅰ）若，求△AOB的面积；（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．参考答案：【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（1）当时，A（﹣2，0），B（2，2），由于kOB=1，可得∠AOB=135°．利用S△OAB=即可得出．（2）曲线C的参数方程为为参数），化为（x﹣1）2+y2=4，圆心C（1，0），半径y=2．由题意可得：圆心到直线AB的距离为3，对直线AB斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．

解：（1）当时，A（﹣2，0），B（2，2），∵kOB=1，∴∠AOB=135°．∴．（2）曲线C的参数方程为为参数），化为（x﹣1）2+y2=4，圆心C（1，0），半径y=2．∵点P到直线AB的最小值距离为1，∴圆心到直线AB的距离为3，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=﹣2，显然，符合题意，此时．当直线AB存在斜率时，设直线AB的方程为y=k（x+2），则圆心到直线AB的距离，依题意有，无解．故．【点评】：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形的面积计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.(本题满分15分)

已知椭圆，抛物线，过椭圆右顶点的直线交抛物线于两点，射线分别与椭圆交于点,点为原点.（Ⅰ）求证:点在以为直径的圆的内部;（Ⅱ）记的面积分别为,问是否存在直线使若存在,求出直线

的方程,若不存在,请说明理由.

参考答案：解：（1）设直线，代人得

设

（2）设，射线，代人得，同理，故不存在满足条件的直线.21.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，询问了30名同学，得到如下的2×2列联表：

使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030（Ⅰ）根据以上2×2列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？（Ⅱ）从使用学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.智能手机的20名同学中，按分层抽样的方法选出5名同学，求所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的人数；（Ⅲ）从问题（Ⅱ）中倍抽取的5名同学，再随机抽取3名同学，试求抽取3名同学中恰有2名同学为“学习成绩不优秀”的概率.参考公式：，其中参考数据：0.050,。0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828参考答案：（1）由列联表可得所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响．

（2）根据题意，所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”有1名同学，“学习成绩不优秀”有4名同学．（3）学习成绩不优秀的4名同学分别记为，，，；“学习成绩优秀”有名同学记为．则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有10种；抽取人中恰有名同学为“学习成绩不优秀”所含基本事件为：，，，，，共有种，所求为．22.（本