微分学模型、经济学模型经济数学建模-西安交通大学,戴雪峰

数学建模西安交通大学理学院戴雪峰E-mail:daixuefeng@微分学模型（静态优化模型）、经济学模型

一、存储模型

其中订货费指每订一批货需付出的费用，它与订货量的多少无关；存储费与货物量、存储时间成正比。存储过多会占用资金多，仓储费高。但存储量少会增加订货费，缺货还会造成经营的损失。现只考虑订货费及存储费，如何使总费用最少？1、不允许缺货的存储模型

Q2、允许缺货的存储模型

QT1TOBABqt二、森林灭火模型

当森林失火时，消防站在接到报警后要派多少消防队员去救火呢？派的队员越多，森林的火灾损失越小，但救援的开支会越大。所以要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，派出多少队员救火，以总费用最小来决定派出的队员数目。

问题分析：

三、血管分支

血液在动物血管中一刻不停地流动，为了维持血液的循环，动物肌体要向血管提供能量，其中一部分用于供给血管壁以营养，另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总量显然与血管系统的几何形状有关。现在研究血管分支处粗细血管半径的比例和分岔的角度，在能量消耗最小原则下应取什么样的数值。

四、最短路径问题

ABCDABCDEFGHIⅰⅱBACaAORO’RBC五、几何中的一些极值问题

CBAi1i2六、最优价格

最优价格——使当企业利润达到最大的价格称为最优价格。讨论在产销平衡状态下的最优价格模型。七、供给和需求、价值规律

p0p1p2PQ、SSQ八、价格弹性矩阵

某奶牛场生产三种产品；牛奶、奶粉和奶油。去年市场消费量和价格如下：

产品牛奶奶粉奶油消费量（吨）200402价格（元/千克）32550价格的变化会影响消费者需求（如牛奶的需求也会受到奶粉的价格影响）。

产品i的需求受产品j的价格影响的程度用j对i的交叉价格弹性来衡量，其定义为

设这三种产品（牛奶、奶粉、奶油）的价格弹性矩阵为

请你制订今年的生产计划，使销售总收入为最大。假定政府规定价格升降幅度不得超过10%。九、效用理论

消费品可以满足人们的需要。假设销费品满足人们需要的程度，可以用一个量—效用表示。

U(q)qUqYqXA(qX1,qY1)B(qX1,qY1)qYqXA(qX,qY)B(qX+⊿qX,qY+⊿qY)U1U2qXqYQQ’L1NML2（5）给出几个常用的效用函数

（6）现在讨论两个消费者的行为

假定消费者A,B共有两种商品X,Y的数量分别为a,b，他们应如何分配这些商品呢？

IBIAI’AI’BE!E2CK(a,b)abqAYqBXD(u,v)十、生产成本与市场理论

1、生产成本

企业的成本包含明显成本（购买企业外部的生产要素的成本）和隐含成本(企业自有生产要素的机会成本和正常利润)两部分。总产量TP是生产要素投入量的函数：

当x增加时，边际产量通常先增加，后下降，最终变成负数，称为边际生产率递减规律。

只讨论某种要素投入的量处在边际产量下降但仍为正数的范围内的情况

即花在每一种生产要素上的最后一单位货币的边际产量相等。

在短期内,企业的总成本（TC）由总固定成本（TFC）与总可变成本（TVC）组成，固定成本与产量无关，可变成本随产量的增加而增加。

引入几个常用概念：

平均固定成本

平均可变成本

平均成本

边际成本

MCAFCAVCACQCQ成本SAC1SAC2SAC3EFGHIQ成本SAC1SAC2SAC3SAC42、市场理论

设企业的总产量为Q，总收入为TR，总成本为TC，则利润为TR-TC。为了使利润最大，应有

企业获得最大利润的条件是：MC=MR

市场通常分为完全竞争、垄断性竞争、寡头垄断和完全垄断四类。

完全竞争市场的特征是：

①有大量的买者和卖者，每个卖者（买者）的销售量（购买量）占整个市场很小比例，谁也不能影响市场价格；

②所有出卖的商品质量相同；

③生产资源可以任意流动；

④买者和卖者对市场有足够的知识。（某些农产品（如小麦、玉米）的市场比较接近完全竞争模型。）㈠、在完全竞争市场中，整个市场对商品的需求曲线是负斜率曲线。但对个别企业来说，当它增加销售量时，商品价格并不受影响，因此它面临的需求曲线是一条水平直线。

由于完全竞争市场上的价格是常数，所以企业的边际收入就等于价格。因此，企业取得最大利润的条件就是：

p=MC⑴、短期生产中，根据p＜MC,p=MC,p＞MC，完全竞争企业可能赢利、持平或亏损。如图示，当价格为p1时，企业的最佳产量为Q1（即MC曲线上A1点），因p1＞AC，企业有利润；若价格为p2，产量应为Q2，此时p2=AC，企业持平，既无利润也无亏损；若价格为p3，产量应为Q3，此时p3＜AC，企业产生亏损，但这时p3＞AVC，企业若继续生产，收入除补偿可变成本，还能补偿一部分固定成本，它的最佳决策是继续生产；若价格为p4，产量应Q4（MC曲线与AVC曲线的交点D），企业收入仅够补偿可变成本；若价格低于p4，企业收入无法补偿可变成本，必定停止生产，D点称为停止生产点。可见，产量和价格的关系由曲线在D点以上的一段确定。这条曲线就是企业的供给曲线。

成本MCACAVCA1A2A3DP1P2P3P4Q1Q2Q3Q4⑵、在长期生产中，所有企业都会尽量降低成本以争取利润，因而它们都会选择LAC曲线的最低点E0（它同时也是某一条SAC曲线的最低点），如图示，这时它的平均成本为p0，产量为Q0。若商品价格高于p0，企业有短期利润，新的企业将加入此行业，引起价格下降；若价格低于p0，企业亏损，将会有企业退出生产，使价格上升；若价格恰为p0，企业处于持平状态，生产资源的流动处于平衡状态，整个行业处于长期平衡状态。因此，完全竞争行业的长期平衡状态的条件是：p=LAC=SMC=SAC,完全竞争行业的长期平衡点在LAC曲线最低点。

p0Q0QMRLACSACSMC成本㈡、与完全竞争市场相反的是完全垄断市场。完全垄断市场上，只有唯一的销售者，而且它所销售的产品没有相近的代替品。

完全垄断企业面临的需求曲线就是整个市场的需求曲线，因而是负斜率曲线。当它提高产量时，价格就必须降低。

企业的总收入：TR=PQ它的曲线低于需求曲线，如图示。

Q1Qpp1p0AEMCACMR需求因企业寻求最大利润，完全垄断企业也应按MR=MC进行生产，MC曲线与MR曲线交于E点，即企业的产量应为Q1。但按需求曲线，它可索取价格为p1（A点）。所以，对于完全垄断企业，p＞MC（价格大于边际成本）。

短期生产中，完全垄断企业可能盈利、持平或亏损，这要看p＞AC,p=AC,p＜AC而定。

与完全竞争企业比较，完全垄断企业的成本较高，产量较低，价格也较高。因此，一般认为，在相同技术条件下，完全竞争企业的经济效率较高。而垄断企业的优点则是，由于它规模巨大，能够发挥规模效益，并为大规模采用先进技术创造条件。为了克服垄断的缺点，各国都制订了管制垄断的措施。

垄断性竞争和寡头垄断是介于完全竞争和完全垄断之间的市场。它们的数学模型较为复杂，请参阅相关的经济学书籍。

十一、资金的现值与终值问题

1、连续复利问题

若在一个周期中计算m次复利，则在每一子周期平均利率是r/m，（这是个假定的利率，在经济学中称为贴现率。）子周期的个数是nm，用上式可得

设r—年利率，A0—本金（现值），A—（期末）终值。则第n个周期末的本利和公式为：A=A0(1+r)n(一周期为一年)。在成本管理中，

enr称为复利金额因素，e-nr称为现值因素。（一般有表可供查阅）

例1：存入银行1000元，按8%作连续复利计算，问五年后应有多少钱？

例2：按6.5%利率需投资多少才能在16年以后得到1200元？

2、资金的现值、终值问题

企业的收入、支出是时刻发生的，称为收入流、支出流，现在的问题是如何求收入（支出）流的终值和现值。

①简化、假设企业收入和支出可以近似视为连续地发生，将其t时刻单位时间的收入记为f(t)，称为收入率。问题是：已知一个收入率的收入流，并以连续复利的方式计息，如何折算为某一时期开始或期末的资金值？

②问题求解设某企业在时间段[0,T]内的收入率为f(t)（视为连续），按年利率为r的连续复利计算，求该时间段内总收入的现值和终值。

用微元法讨论：分割[0,T]区间，取一典型区间[t,t+dt]，该时间段内的收入近似为f(t)dt，其现值为:f(t)e-rtdt

这是总收入现值的微分元素。

所以总收入的现值为

当求终值时，由于时间段[t,t+dt]内收入f(t)dt在以后的(T-t)时间段内盈利。因此，该时间段收入的终值为:

f(t)e(T-t)rdt这是总收入终值的微分元素。

从而总收入的终值为

例3：设对某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算。设在20年中该企业的均匀收入率为200万元/年（当然可有其他函数表示，方法不变），求该项投资净收入的现值和投资回收期。

解：投资总收入的现值为

所以净收入的现值为2528.4-800=1728.4万元。

投资回收期应是总收入的现值等于投资值的时间长度。设回收期为T年，则应有

该项投资获利总现值为1728.4万元，投资回收期为4.46年。

十二、柯布—道格拉斯生产函数

所谓规模报酬问题：如果劳动力增加一倍，资金增加一倍，则生产增加多少？

若生产也增加一倍，则称为规模报酬不变；

若生产增加超过一倍，则称为规模报酬增加；

若生产增加不到一倍，则称为规模报酬减少。

确定性模型1999年上海交大选优考试题为每月k=18元,厂方进一次货？每次又应进多少双鞋？如果这种女鞋的进货是以18双一箱为单位进行的商场的皮鞋柜销售某种品牌女鞋，从厂方每次进货需付订货费F＝400(元)，每双鞋的进价(包括运费)为c=94(元)，而每双鞋在商场的期间的各种化费总数（统称之贮存费）假定这种女鞋在商场的销售速度均匀，为m＝144(双/月).试问：为了降低成本，皮鞋柜承包商应间隔多少时间向那么问题的答案又如何？50000件，平时对这种配件的使用数量是稳定的。又一个模型上海交大2000年选优考试试题可以优惠至每件c1=9.6元，配件的库存费为k=8元试求电器厂每次订该配件多少才最经济？与上一个模型的差别?

某仪器厂一年需要另一企业生产的某种配件该配件每次订货费为F=2000元，单价为每件c2=10元，而当一次订货量达到100