华中科技大学流体力学课件Fm7

第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动§7.1

流体微团的运动分析§7.2

速度环量与旋涡强度§7.3

旋涡运动的基本概念§7.4

不可压缩势流的基本求解方法§7.5

基本的平面有势流动§7.6

平面势流的叠加§7.7

不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加第三部分二元流动一、速度分解§7.1流体微团的运动分析第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动7.1流体微团的运动分析流体微团的旋转和变形线变形率角变形率旋转角速度从xoy平面看速度分解7.1流体微团的运动分析二、线变形率：单位长度在单位时间内的伸长量线变形率7.1流体微团的运动分析流体的特征？7.1流体微团的运动分析三、角变形率1.角变形角变形率O’O2.角变形率7.1流体微团的运动分析四、旋转角速度旋转角速度线变形率角变形率旋转角速度只有旋转角速度是矢量7.1流体微团的运动分析旋转角速度是矢量平面流动只有一个旋转角速度分量7.1流体微团的运动分析在流场中每一点无旋流动有旋流动五、有旋流动和无旋流动流体微团是否绕通过其自身的轴旋转？7.1流体微团的运动分析例.

流体各个微团以u=ky，v=w=0

的速度平行于x轴作平行直线流动,试确定流动是有旋还是无旋。流线和迹线是直线，但流场内处处有旋。解.计算旋转角速度例

题速度环量：速度矢量沿路径的积分（反映运动的趋势）§7.2速度环量和旋涡强度例.

绕翼型表面的环量第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动右手定则规定环量符号A一、速度环量定义二元流动:面积A,边界L二、旋涡强度定义三、斯托克斯定理斯托克斯定理的证明?7.2速度环量和旋涡强度数学分析中的斯托克斯公式在平面问题中的应用令P=u，Q=v即有斯托克斯定理7.2速度环量和旋涡强度例不压缩流体平面流动的速度分布为u=6y，v=8x。求绕圆x2+y2=1的环量。积分路径在圆r=1上，用极坐标解.

由环量定义求例

题代入斯托克斯公式得解法二:利用斯托克斯定理由u=6y，v=8x得例

题7.2速度环量和旋涡强度解

由r=r0处速度连续，速度分布写为涡核如刚体旋转自由涡例.

已知龙卷风流场速度分布

v=r，r<r0

v=C/r，rr0

其中r0、

、C为常数。判断流场是否有旋。例

题用斯托克斯公式判断流场是否有旋自由涡P涡核求环绕一点的速度环量来判断是否有旋例

题判断流场是否有旋7.2速度环量和旋涡强度(1)涡核区域：rr0，

v=r涡核是有旋流动（若P在中心,求圆的环量）P(2)自由涡区域：r>r0，v=r02/r例

题自由涡是无旋流动7.2速度环量和旋涡强度自由涡区域绕圆心任意封闭曲线的环量相等圆心对于自由涡为奇点，速度无限大例

题7.2速度环量和旋涡强度例

设平面面积A外是无旋流动区。试证明，包围A的任一条封闭线上的速度环量等于区域A边界的速度环量。证例

题无旋域边界的速度环量等于零其中任意封闭线为bcb’。积分可分解为于是有第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动旋涡产生的原因？旋涡诱发的速度场？理想流体中的旋涡运动§7.3旋涡运动的基本概念定义涡量旋涡——

大尺度流体团的强烈旋转运动

从涡量场出发研究旋涡运动有时比直接解运动方程更方便；有旋运动不一定表现为旋涡运动；问题:一、涡线和涡管二、开尔文定理三、旋涡运动的生成自然界和工程中的旋涡流动例：绕流圆柱体Re1005<Re<40一对稳定的对称旋涡Re<5

无尾涡Re>40交替脱落的旋涡周期性旋涡脱落（卡门涡街）7.3旋涡运动的基本概念自然界和工程中的旋涡流动7.3旋涡运动的基本概念大攻角翼型绕流的分离涡7.3旋涡运动的基本概念绕有限翼展的三元流动7.3旋涡运动的基本概念7.3旋涡运动的基本概念有攻角的三角翼前缘卷起一对旋涡使升力大大提高用旋涡控制流动的原理产生旋涡流动的原因之一是壁面粘性计算升力——用形涡丝代替有限翼型上的分布涡量7.3旋涡运动的基本概念

涡线上各流体质点的涡量方向与该曲线相切一、涡线和涡管7.3旋涡运动的基本概念涡管（截面上）的涡通量——旋涡强度1.涡线的微分方程斯托克斯定理7.3旋涡运动的基本概念2.涡管强度守恒定理(Helmholtz定理)

同一涡管上各截面的旋涡强度相等。7.3旋涡运动的基本概念封闭流体线的环量的时间变化率：斯托克斯定理封闭流体线的环量随时间变化的条件？分析理想流体中产生涡量的原因涡管截面上的旋涡强度如何随时间变化?7.3旋涡运动的基本概念二、开尔文定理对流体线的积分求导可移入积分号内进行流体线的速度和线元长度随时间变化，方程右边为引入理想流体运动方程7.3旋涡运动的基本概念密度只是压强的函数不可压缩P=p/

等熵如果质量力有势（力势函数）如果是正压流体（存在压力函数P)若、P是单值函数，则有重力场

=gz7.3旋涡运动的基本概念

理想、正压流体在有势质量力的作用下运动时，沿封闭流体线的速度环量在运动过程中不随时间变化。开尔文定理例:

初始无旋的不可压、理想流动在重力场永远无旋。旋涡生成原因1、粘性，特别是壁面的无滑移条件；2、非正压性流体，例如大气密度分层；3、无势质量力场，例如地球自转引起的哥氏力；4、流场中的强间断面（如激波）。7.3旋涡运动的基本概念三、旋涡运动的生成二元流动(以平面流动为例)7.4不可压缩势流的基本求解方法平面流动的例子点涡直线涡丝龙卷风流场7.4不可压缩势流的基本求解方法第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动§7.4不可压缩势流的基本求解方法一、速度势函数及势流是以下命题的充分必要条件：存在某一函数，使无旋流动又称有势流动无旋流动不可压缩流体的有势流动（

势函数）(1)不可压缩无旋流动势函数满足拉普拉斯方程速度势函数的主要性质(2)任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差7.4不可压缩势流的基本求解方法二、不可压缩流体的平面势流例.

不可压缩流体平面流动的速度势为=x2-y2，求点（2，1.5）处速度V的大小。解由速度势的定义求出例

题三、不可压缩流体平面运动的流函数不可压缩流体的连续性条件流线方程（流函数）等流函数线就是流线7.4不可压缩势流的基本求解方法是以下命题的充分必要条件：存在某一函数，使1.不可压缩流体的平面有势流动2.流函数的主要性质(2)平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线的流函数值之差。(1)不可压缩有势流动的流函数满足拉普拉斯方程7.4不可压缩势流的基本求解方法流函数平面势函数不可压流动无旋流动7.4不可压缩势流的基本求解方法3.解流函数方程的边界条件固体边界等势线族=C

和流线族=C

互相正交壁面线是一条流线7.4不可压缩势流的基本求解方法等势线和流线组成的正交流网4.和的关系等势线族(x,y)=C

和流线族(x,y)=C

互相正交7.4不可压缩势流的基本求解方法例不可压缩平面流动u=x4y，v=y

4x

（1）证明流动满足连续性方程并求流函数；（2）若流动无旋，试求速度势的表达式。由速度积分求流函数：解（1）用连续性方程积分常数包含参数x，用已知v

确定f(x)令(0,0)=0验证不可压缩流动例

题（2）代入由速度势定义令(0,0)=0

得分别对x、y积分验证为无旋流动（有势）&例

题7.4不可压缩势流的基本求解方法u=x4yv=y

4x检验流动是否有势关于习题7-47.4不可压缩势流的基本求解方法2.复位势的性质四、不可压缩流体平面势流的复变函数如果满足柯西-黎曼条件1.复位势与流函数和速度势函数间的对应关系则有复速度（要求偏导数存在且连续，这是复变函数可导的充分必要条件）设复变函数7.4不可压缩势流的基本求解方法（1）复速度沿曲线积分2.复势函数的性质（2）复势函数加任一复常数而不改变所代表的流动（3）不可压缩平面无旋流满足叠加原理如果则有7.4不可压缩势流的基本求解方法五、不可压缩流体轴对称势流

轴对称流动流场中存在对称轴以轴为心的圆周切向速度为零各物理参数沿此圆周不变。平面流动和轴对称流动都是二元流动用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）7.4不可压缩势流的基本求解方法7.4不可压缩势流的基本求解方法轴对称势流斯托克斯流函数

轴对称流动的柱坐标系表达7.4不可压缩势流的基本求解方法3.任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差六、速度势函数和流函数的主要性质2.平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线的流函数值之差。1.等势线和流线正交，等流函数线与流线重合；轴对称流动中，两条流线（旋转面）间的体积流量等于两条流线的流函数值之差的2倍。§7-5基本的平面有势流动一、均匀直线流不计重力作用全流场为无旋流动1.均匀直线流动的复势二、平面点源流和点汇流

三、点涡流

四、平面偶极流第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动§7.5基本的平面有势流动一、均匀直线流不计重力作用全流场为无旋流动二、平面点源流和点汇流

三、点涡流

四、平面偶极流第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动1.均匀直线流动的复势均匀直线流动的压强分布

若为无旋流动，C在全流场为常数理想不可压缩定常流动的伯努利方程（不计重力）沿流线C为常数2.均匀直线流动的压强分布7.5基本的平面有势流动二、平面点源流和点汇流Q

称为点源强度原点是奇点点源

(位于原点)全流场除源点外为无旋1.点源流的速度场7.5基本的平面有势流动7.5基本的平面有势流动速度连续方程无旋平面流动的极坐标表达2.

点源流的流函数和速度势速度势:流函数:流线是射线簇等势线是圆簇位于z0的点源/汇复势:7.5基本的平面有势流动3.点汇(源)流的压强分布伯努利方程绝对压强为零的点7.5基本的平面有势流动三、点涡流

称为点涡强度

逆时针为正原点为奇点全流场除涡点外为无旋

点涡

（位于原点）7.5基本的平面有势流动复势点涡位于z0由速度求速度势7.5基本的平面有势流动例

设x轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压强为pa。如果在点(a，b)处放置一个强度为Q的点源，试求平板由于上下两侧压差产生的合力。（基本解的叠加）平板上有法向速度，

上式不是本问题的解！xyo例

题为消除壁面法向速度，叠加一

个位于(a,b)的等强度点源解.

试以位于点(a，b)，强度为Q的点源复势为解Q(a,b)（镜像法）任何满足拉普拉斯方程的函数都可能是不可压缩无旋流的解，只有同时满足边界条件的解才是适合特定问题的解。例

设x轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压强为pa。如果在点(a，b)处放置一个强度为Q的点源，试求平板由于上下两侧压差产生的合力。（基本解的叠加）平板上有法向速度，

上式不是本问题的解！xyo例

题为消除壁面法向速度，叠加一

个位于(a,b)的等强度点源解.

试以位于点(a，b)，强度为Q的点源复势为解Q(a,b)（镜像法）任何满足拉普拉斯方程的函数都可能是不可压缩无旋流的解，只有同时满足边界条件的解才是适合特定问题的解。在（a,

b）和（a,b）等强度点源叠加速度分布例

题平板上(y=0)法向速度为零，满足边界条件！此复势解适用于上半平面（a,b）+Q（a,－b）+Q7.5基本的平面有势流动由上、下侧压差引起的平板的合力为平板上侧的压强分布为(p=pa)例

题7.5基本的平面有势流动解.

设r=r0，p=p0；r，p=p例.

龙卷风涡核半径r0=20m，涡核边缘最大风速

v0=50m/s。速度分布

求涡核中心的最小压强pc

。空气密度=1.225Kg/m3。涡核外是点涡流（无旋流，适用伯努利方程）涡核内如刚体旋转（有旋，适用相对静止的压强分布）例

题例

题涡核边缘的压强涡核内由r=r0，p=p0、v=v0，得涡核压强分布涡核中心压强最小7.5基本的平面有势流动例

题7.5基本的平面有势流动四、平面偶极流点源流和点汇流叠加的极限情况为偶极子流7.5基本的平面有势流动得偶极子势函数令2aQ=M保持不变取极限点汇点源M—偶极子强度方向—

点汇到点源点源流和点汇流叠加的极限情况—偶极子流7.5基本的平面有势流动（位于原点，与x轴方向相反的偶极子）势函数和流函数与x正向成角的偶极子复势势函数和流函数的等值线7.5基本的平面有势流动§7.6平面势流的叠加一、直线流与点源流的叠加四、均匀流绕圆柱体的无环量流动二、螺旋流五、均匀流绕圆柱体的有环量流动第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动（3）W4(z)=iln(z2i)、W5(z)=iln(z+2i)

点涡强度=2

顺时针，在y=2m

复势可分解为

W(z)=2z+(1+i)(ln(z+2i)+ln(z-2i))（1）W1

(z)=2z

平行流（2）W2(z)=ln(z2i)、W3(z)=ln(z+2i)

点源强度Q=2

在y=2m

解.例

题例.试分析复势W(z)=2z+(1+i)ln(z2+4)由那些基本势流叠加而成?

指出其位置、方向和强度等特征。

例

题

例.试分析势函数

由那些基本势流叠加而成?分解势函数φ1(x,y)=2x

平行流u=2m/s,v=0

点源强度Q=±12π

m2/s,在x=±2m解.例试分析复势W(z)=z+lnz由那些基本势流叠加而成?复势可分解为

（1）W1(z)=z

，平行于x轴的直线流，V=1

（2）W2(z)=lnz，位于原点的点源流，点源强度Q=2π

解W(z)=z+lnz复势W(z)由平行直线流和点源流叠加而成例

题一、直线流与点源流的叠加驻点位置和过驻点的流线方程？求解：速度驻点过驻点的流线7.6平面势流的叠加流线的叠加7.6平面势流的叠加例.直线流与点源流的叠加驻点过驻点的流线方程速度7.6平面势流的叠加二、螺旋流7.6平面势流的叠加点涡与点汇的叠加三、均匀流绕圆柱体的无环量流动偶极子流和均匀来流的叠加绕圆柱流线速度分布压强分布绕圆柱环量升力、阻力7.6平面势流的叠加（2）位于原点，与x轴反向的偶极子流的、（1）沿x轴方向的均匀流的、1.势函数和流函数叠加复势7.6平面势流的叠加偶极子流和均匀流叠加通过壁面的流线:直线y=0和圆r=r0

流函数可写为

7.6平面势流的叠加偶极子流和均匀流叠加2.

绕流圆柱的速度分布取r

r0

的流函数为绕流圆柱解!圆柱表面的速度分布3.沿圆柱表面的速度环量7.6平面势流的叠加偶极子流和均匀流叠加4.沿圆柱表面的压强分布引入压强系数定义得FDFL5.阻力(平行于V)、升力(垂直于V)均匀流绕圆柱体无环量流动7.6平面势流的叠加四、均匀流绕圆柱体有环量流动V1.绕圆柱流的势函数和流函数7.6平面势流的叠加2.绕流圆柱的速度分布圆柱表面的速度分布7.6平面势流的叠加绕圆柱有环量流动3.驻点位置（2）=4r0V，一个驻点（3）>4r0V（1）04r0V，两驻点=3/2，

r=r07.6平面势流的叠加绕圆柱有环量流动库塔-儒柯夫斯基定律4.沿圆柱表面的压强分布5.阻力、升力7.6平面势流的叠加绕圆柱有环量流动判断升力方向7.6平面势流的叠加绕圆柱有环量流动将来流方向逆环量方向转90度得到升力的方向7.6平面势流的叠加绕圆柱有环量流动例.半径r0=1m的圆柱体在水中顺时针方向转动

=15rad/s，同时向右移动，速度V=15m/s。求圆柱体上驻点的位置、流体作用在圆柱体上力的大小和方向。(相对速度V=15m/s)作用力的方向垂直向下解.均匀流绕圆柱体有环量流动例

题例.

已知平面势流的流函数，问绕流图案特征。

这是均匀流绕圆柱体的有环量流动，其中———

直线流———

点涡流————

偶极子流解.均匀流绕圆柱体有环量流动例

题V=10(m/s

)

正x向直线流=100(m2/s)

逆时针环量r0=2(m)

负x向偶极子马格努斯效应或气动升力风筒船会绕行的旋转球7.6平面势流的叠加绕圆柱有环量流动第七章理想不可压缩流体的势流和旋涡运动§7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加

轴对称流动流场中存在对称轴以轴为心的圆周切向速度为零各物理参数沿此圆周不变。平面流动和轴对称流动都是二元流动用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）势函数斯托克斯流函数

用柱坐标系7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加连续性方程无旋条件一、基本的轴对称势流(1)均匀直线流积分得速度势函数和流函数用柱坐标，z是轴对称轴，各物理参数不随变化7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加用柱坐标系7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加(2)空间点源(汇)流空间点源在z0：空间点源的速度势函数柱坐标系M(r,,z)用柱坐标系7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加比较平面点源和空间点源的速度势函数和流函数空间点源(汇)流的流函数空间点源在z0

：平面点源（汇）7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加(3)空间偶极子(沿z轴正方向，位于z=z0)柱坐标与球坐标的转换关系位于原点正x向平面和7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加二、均匀来流绕圆球体的流动柱坐标系与球坐标系之间的转换关系均匀直线流与空间偶极子叠加沿z轴正方向均匀流和位于原点、沿z轴负方向偶极子叠加速度势函数和流函数写为7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加球表面R=R0为等流函数面=0比较圆柱表面压强分布速度分布7.7不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加圆球表面的速度分布、压强分布

的流量及沿此曲线的速度环量。（1）判断流动由哪几种基本流动组成；（2）如果流场中存在着奇点，指出奇点的坐标位置；（3）计算通过封闭曲线7-28

已知流函数一、均匀直线流

二、平面点源流和点汇流

三、点涡流源、汇、点涡位于z0速度势和流函数4管流流态实验5局部水头损失实验6孔口、管嘴实验1静水压强量测实验2动量方程验证实验3文丘里、孔板流量计率定实验《流体力学》实验（三次）3选22选1圆柱绕流表面压强分布测量实验翼型表面压强分布边界层速度分布测量实验第1次第2次第3次3选1《流体力学》实验安排实验内容任选二1静水压强量测实验2动量方程验证实验3文丘里、孔板流量计率定实验时间地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅（水电学院楼西头，能源学院楼南面）555热能工程

级《流体力学》第一次实验请与实验室安老师联系具体时间、地点和实验指导书

电话：87543938实验内容任选二1静水压强量测实验2动量方程验证实验3文丘里、孔板流量计率定实验时间地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅（水电学院楼西头，能源学院楼南面）6666热能工程

级《流体力学》第一次实验请与实验室安老师联系具体时间、地点和实验指导书电话：87543938对于文丘里流量计

对于孔板流量计文丘里（孔板）流量计实验仪

测压管液面高差第一次实验动量方程实验仪=135°时

力矩平衡方程第一次实验实验内容选二1管流流态实验2局部水头损失实验3孔口、管嘴实验时间地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅777环境工程

级《流体力学》第二次实验请与实验室安老师联系具体时间、地点和实验指导书电话：87543938实验内容选二1管流流态实验2局部水头损失实验3孔口、管嘴实验时间地点班级周次星期节次水工楼一楼大厅7777热能工程

级《流体力学》第二次实验请与实验室安老师联系具体时间、地点和实验指导书电话：87543938量测实验四：局部水头损失实验（可选）

实验目的

1、掌握测定管道局部水头损失系数的方法。

2、将管道局部水头损失系数的实测值与理论值进行比较。

3、观测管径突然扩大时旋涡区测压管水头线的变化情况和水流情况，以及其他各种边界突变情况下的测压管水头线的变化情况。

第二次实验自循环局部水头损失实验装置图

第二次实验量测实验六：孔口、管嘴实验（可选）

实验目的：测量孔口，管嘴的流