利率的期限结构

第15章利率的期限结构主要内容15.1收益曲线31215.2收益曲线和远期利率31415.3利率的不确定性和远期利率31715.4期限结构理论31815.5对期限结构的说明31915.6作为远期合约的远期利率3222什么是利率期限结构？利率期限结构是指具有相同风险及流动性的债券，其收益率随到期日的时间长短而具有不同的关系。由于投资者关心的并不是债券的票面利率而是实际得到的收益率，因而，收益率期限结构才是本质上的利率期限结构。分析利率期限结构，可以分析资金在不同市场间的流动趋势，对确定一组即期利率有重要帮助，而即期利率又是对固定收益证券估值的基础；分析利率期限结构，还有助于对未来利率变动进行预期。315.1收益曲线4收益曲线不同期限的债券具有不同的利率,由此形成利率期限结构问题,其反映的是不同期限债券利率之间的关系。注意:

第一,收益曲线分析对象仅指同质债券,即债券风险、信用等级、税收待遇及变现能力等基本相同,惟期限不同,即只分析其他条件相同而只有期限不同的债券利率之间的关系。第二,研究债券利率期限结构实质上是研究债券收益率期限结构,因为投资者关心的是实际收益率而不是票面利率。5正收益率曲线收益率%期限正收益率曲线表示在正常的情况下，短期债券的收益率低于长期债券，债券期限越长，收益率越高。债券的正收益率曲线是在整个经济运行正常、不存在通货膨胀压力和经济衰退危机的条件下出现的。6反收益率曲线反收益率曲线，又称为下降收益率曲线。表示短期债券收益率较高，长期债券收益率较低。反收益率曲线通常发生在紧缩信贷、抽紧银根的时候，由于短期资金偏紧、供不应求，造成短期收益率急剧上升，抽紧银根又使人们对今后经济发展不很乐观，对长期资金需求下降，造成长期收益率下降。收益率%期限7平收益曲线前两种曲线互相替代过程中,还会出现长短期债券收益率接近的状况。往往是正反收益曲线调整过程中的过渡,或者由市场自动调节,或者由央行调控所致。收益率%期限8拱收益曲线收益率%期限表示在某一时期之前债券的利率期限结构为正收益曲线,在该期限之后又成反收益曲线.这种曲线的出现是在央行采取严厉紧缩政策时短期利率急剧上升所致.9债券定价3年息票可被认为是暗含三个零息债券的资产组合。零票债券收益是三个资产组合的收益组合。纯收益曲线(pureyieldcurve)指剥离零息国库券。新发行债券收益曲线(on-the-runyieldcurve)指的是以近期上市的以标准或近似标准价售出的息票债券到期期限作为自变量的曲线。1015.2收益曲线和远期利率相关术语零息债券到期收益叫做即期利率(spotrate)。即期利率是指某个时点上零息债券的到期收益率。给定时间间隔的短期利率指对在不同时间点内的间隔时间内的利率。例子中，今年的短期利率是5％，下一年的短期利率将会是7.01％。持有期收益远期利率11即期利率和短期利率12远期利率远期利率的计算已知一张3年期零息票债券的收益率是7.2%，第一年、第二年的远期利率分别为6.1%和6.9%，那么第三年的远期利率应为多少？1315.3利率的不确定性和远期利率购买1年期债券：利率为4％，到期本息为1000元的零息票债券价格应该是多少？961.54元。确定的利率：持有债券到期期限为2年的债券，只持有1年，到时他的债券能给他带来多高的收益？取决于他可以按什么样的价格售出债券，而出售时的债券价格则取决于当时的市场利率水平。实际上是一个不确定条件下远期利率的决定问题14练习：后期实际利率变动导致价格如何变化？2年期零息票债券的价格为961.54，假定第1年利率为4％，第2年利率为5％。问1年债券的价值为多少？到期时的面值为多少？1年后该债券的价值应为1000元[961.54×(1+0.04)]债券到期时的面值应为1050元[1000x(1+0.05)]。1年后利率升高，不是预期的5％，而是实际的7％，问1年后面值为1050的零息票债券的价格？981.31元[1050/(1+0.07)]。这就是说，投资者1年后出售债券时，只能得到本息981.31元，实际只得到了利息19.77元(981.31-961.54)，折合成年利率仅为2.06％(19.77/961.54)，而不是期望的4％。15什么时候愿意持有期限更长的债券？分析：当未来利率不确定时，投资者只愿意进行1年期的投资而不愿意选择两年期的债券(因为有未来利率不确定的风险)在什么情况下投资者才愿意投资于更长的债券呢?只有让投资者获得一个风险溢价，投资者才会愿意进行这种方式的投资。投资者在进行投资决策时会进行期望的未来短期利率与远期利率的比较，远期利率大于未来期望的短期利率的溢价也称作流动溢价(Liquiditypremium)。16有风险补偿情况下的收益率计算当如果投资者购买2年期债券的价格不是961．54元，而是943．40元，投资者愿意投资于这种2年期的零息票债券吗？一年后到期价格为1000元，则收益率为6%。（风险溢价为2%）第二年的预期利率为E（r2）5%，f2为7%17利率不确定与远期利率投资者偏好短期投资：E（r2）<f2投资者偏好长期投资：E（r2）>f2远期利率是否等于未来期望的短期利率取决于投资者对利率风险的承受情况，也取决于他们对债券期限长短的偏好。1815.4期限结构理论未来的短期利率在当前时刻是不可知道的，所以以短期利率的期望值E(ri)作为未来短期利率的无偏估计（假设条件）。短期利率的期望值可以通过远期利率基于三种不同的理论来估计。期望假说（市场期望理论）流动性偏好理论市场分割理论19当前零息债券的价格当前不同期限债券的到期收益率远期利率未来短期利率的期望值三种不同的假定：（1）市场期望理论（2）流动性偏好理论（3）市场分割理论未来不同期限债券的到期收益率未来利率期限结构当前利率期限结构未来利率期限结构20市场期望理论（themarketexpectationstheory）未来短期利率期望值＝远期利率流动性偏好理论（theliquidityperferencetheory)长期债券必须有流动性溢价（liquiditypremium）市场分割理论（themarketsegmentationtheory)长期债券和短期债券分别适应于不同的投资者21

预期理论假设条件：投资者风险中性仅仅考虑（到期）收益率而不管风险。所有市场参与者都有相同的预期，金融市场是完全竞争的；在投资人的资产组合中，期限不同的债券是完全替代的。22在上述的假定下，投资于两年到期的债券的总报酬率，应等于首先投资于1年到期的债券，随后再转投资于另一个1年到期的债券所获得的总报酬率，即第1年投资（已知）第2年投资（预期）23利率期望理论的结论若远期利率（f2,f3,….,fn）上升，则长期债券的到期收益率yn上升，即上升式利率期限结构，反之则反。有没有可能是水平式的结构？有没有可能是驼峰式？长期投资与短期投资完全可替代：投资于长期债券的报酬率也可由重复转投资（roll-over)于短期债券获得。24nynnynnynnyn市场期望理论理论下的利率期限结构（曲线）25流动性偏好理论短期债券相对于长期债券的利率风险要小。对持有长期债券需要风险溢价。收益曲线一般表现为基于远期利率的正向偏离。E（r2）<f226流动性报酬为由于投资者不愿意投资长期债券，因此为了吸引投资者，投资两年期债券的收益，应高于先投资1年期债券后，再在下1年再投资1年期债券的收益，即27例子：比较两个理论注意：不变的流动性溢价使收益率上升的更上升。由期望理论得到28由上面的例子推广流动性溢价使得市场期望理论下的利率期限结构（1）上升的更上升（2）下垂的可能上升可能下降29

1.不变的流动性溢价（l1=l2=,…ln)，预期短期利率不变（上升）：上升式YieldsMaturity远期利率收益率曲线预期的短期利率30YieldsMaturity远期利率收益率曲线预期的短期利率

2.不变的流动性溢价（l1=l2=,…ln)，预期短期利率下降：驼峰式313.上升的流动性溢价（l1<l2<,…<ln)，预期短期利率下降：上升式YieldsMaturity远期利率收益率曲线预期的短期利率324.上升的流动性溢价（l1<l2<,…<ln)，预期短期利率上升：急剧上升YieldsMaturity远期利率收益率曲线预期的短期利率33小结：流动性偏好的收益率曲线若收益率曲线是上升的，并不一定是预期短期利率曲线上升引起的。若收益率曲线下降或者驼峰式，则预期短期利率一定下降。思考：短期投资者有没有可能投资长期债券？长期投资者有没有可能投资短期债券？34市场分割理论

前两个理论都暗含着一个假定：不同到期债券之间相互可以替代的。长短期利率由同一个市场共同决定。市场分割理论认为长短期债券基本上是再分割的市场上，各自有自己独立的均衡价格（利率）投资者对不同期限的债券有不同的偏好，因此只关心他所偏好的那种期限的债券的预期收益水平。35按照市场分离假说的解释，收益率曲线形式之所以不同，是由于对不同期限债券的供给和需求不同。数量利率短期债券市场数量利率长期债券市场36对市场分割理论的评述与事实不符合，不符合无套利原则，只有市场无效率，长短期投资者互不知道对方信息，从而一方未能抓住另一方的获利机会类比：投资者与投机者角色转换资金的流动受到阻碍所以，不同到期日的债券是相互竞争的，即所谓的“优先置产理论”（preferredhabittheory)。市场分割理论已基本上被抛弃！3715.5对期限结构的说明

与的关系远期利率与预期即期利率的关系38第16章债券资产组合的管理主要内容16.1利率风险16.2凸性16.3消极债券管理16.4积极债券管理16.5金融工程与利率衍生小结40背景知识：债券属性与价值分析

到期时间若其他条件不变，则债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大。息票率的影响若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。平价发行，则：到期收益率＝当期收益率＝票面利率折价发行，则：到期收益率>当期收益率>票面利率溢价发行，则：到期收益率<当期收益率<票面利率413.可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内在价值。当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。市场利率高时，赎回风险可忽略不计，两种债券的价差可以忽略。42税收待遇：享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券,故其价格较高流动性:债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。债券的流动性越大，价格越高违约风险越高，投资收益率也越高违约风险高，则信用等级低，价格低

4316.1利率风险16.1.1利率敏感性我们已经知道：债券价格与市场收益率之间呈反向关系

市场利率是债券投资的机会成本当债券的到期收益率为5％，而市场利率是6％的时候，人们不会用面值购买这种债券，此时，这种债券的价格一定会下跌，直到该债券的到期收益率上升到具有竞争力的6％的水平为止；相反的过程也具有一样的机制。我们还需要了解-债券价格对市场利率变化的敏感性44马儿凯尔（Malkeil）定理由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，若市场是有效的（无套利条件），则内在价值＝价格。在市场有效的前提下，Malkeil的5个定理总结了债券价格（现值）与这些因素的关系。45

债券价格与到期收益率

46债券-定价关系（法则）

BurtonG.Malkiel（1962)，Homerliebowitz(1972)1)债券价格与收益率的变动呈反向关系：当收益率增加时，债券价格下降；当收益率下降时，债券价格上升。A\B\C\D2)债券到期收益率上升导致价格下降的幅度低于与收益率的等程度下降导致价格上升的幅度。A\B\C\D3)长期债券价格比短期债券价格对利率更敏感，换句话说，长期债券价格有更大的利率风险。A\B47债券-定价关系（法则）

BurtonG.Malkiel（1962)，Homerliebowitz(1972)4)随着期限的增加，债券价格对收益率的敏感性以一个下降的速率增加。B\A（虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，但增加的速度递减。）5)利率风险与债券的息票率呈反向关系，高息票率的债券价格与低息票率的债券价格相比，前者对利率变化的敏感性较低。B\C6)债券价格对收益率的敏感性与出售时的初始到期收益率呈反向关系。C\D

了解债券价格与息票利率、到期收益率、到期期限之间的关系十分重要。4849定理1：债券价格与市场利率具有反向相关关系。定理3：若利率不变，则债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正相关关系。

原因：长期债券由于期限长，利率对其价格的作用大。5051定理2：对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价格下降的幅度。证明：任取t时刻现金流Ct的折现值，只要证明每个时刻的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。52定理4：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加，但增加的速度递减。n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之间的差异证明：分别观察n年期、n+1年期和n＋2年期债券投资者最后1年、2年和3年现金流的现值53由于则有原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增速递减。54定理5：除折现债券和永久债券外，息票率越低的债券受市场利率的影响越大。息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。本金是现金流最主要的组成部分，其现值（绝对数）受利率的影响最大。由1、2即有定理5。5556表16-1,2息票率为8%和零息债券价格57Table16.2PricesofZero-CouponBond(CouponsPaidSemiannually)到期日越短，则价格变化越小。息票率越大，则价格变化越小。提前支付的利息具有更短的到期日。我们要寻找一个债券的平均到期日，以评价其价格敏感性。58久期是1938年由弗雷德里克•麦考里（F.R.Macaulay）提出的，用来衡量债券现金流支付的平均到期时间，可以对债券的有效期限进行正确的概括。

其中:t为第t次现金流，Wt为t次现金流占整个现金流的比重，CFt为第t次现金流,y为债券的到期收益率，P债券的价格。

16.1.2久期（Duration）久期：现金流现值翘翘板的支点时间现值久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！5960例子

例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，收益率为10%，息票率为8%，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。练习：计算久期找出6％息票债券的久期，每年支付息票，离到期还有3年，且到期收益为6％。如果到期收益为10％，久期是多少?61(1)(2)(3)(4)(5)偿还年限现金流现金流现值

(6%)权重(1)(4)1 $60.00 $56.600.05660.05662 $60.00 $53.400.05340.10683$1,060.00 $890.000.89002.6700ColumnSums$1,000.001.00002.8334(1)(2)(3)(4)(5)偿还年限现金流现金流现值

(=10%)权重(1)(4)1 $60.00 $54.550.06060.06062 $60.00 $49.590.05510.11023$1,060.00 $796.390.88442.6532ColumnSums $900.531.00002.824062在上题中，如果每半年支付息票，找出债券的久期。(1)(2)(3)(4)(5)TimeuntilPayment(years)CashFlowPVofCF(Discountrate=3%)WeightColumn(1)Column(4)1 $3.00 $2.9130.029130.029132 $3.00 $2.8280.028280.056563 $3.00 $2.7450.027450.082364 $3.00 $2.6650.026650.106625 $3.00 $2.5880.025880.129396 $103.00 $86.2610.862615.17565ColumnSums $100.0001.000005.5797163久期的意义久期是固定收益证券组合管理的一个重要概念，原因在于:-是资产组合有效平均期限的一个简单测度指标。-可以测度债券组合的利率敏感性。-是资产组合管理中利率免疫（immunization)策略的一个重要工具。64久期是资产组合利率敏感性的一种测度具体地说，当利率变化时，债券价格变化的比率与到期收益率的变化相关债券价格变化的百分比等于修正久期与债券到期收益率的变化之积。修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险暴露程度。65666768债券久期:期限、息票利率、到期收益率

16.2.1什么决定久期69-附息债券久期小于其到期时间；-零息票债券的久期等于本身的期限；-票面利率越低，久期就越长；-债券期限越长，久期也越长；-到期收益率越高，久期越短；-每年付息次数越多，久期越短；

久期（Duration）特点久期法则：久期法则1：零息票债券的久期等于它的到期时间。久期法则2：到期日不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。久期法则3：当息票利率不变时，债券的久期通常随着债券到期时间的增长而增长。久期法则4：在其他因素都不变的情况下，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较长。久期法则5：无限期限债券的久期为(1+y)／y70如果在价格与收益率之间存在着线性关系，那么，可以预期，两年期债券价格的百分比变化应该正好是1年期债券价格变化的两倍。但事实并非如此。同样地，3年期债券价格变化的百分比也并不是1年期债券的3倍，而是4．97％。711年期债券的价格变化是1.82％，2年期债券的价格变化了3.47％16.2凸性凸性、债券价格变化与收益率变化7272

到期收益率的变动(%)债券价格变动幅度(%)020-20-5-4-3-2-10123456604080100-40-60-80-100久期近似值实际价格波动息票利率为8%的30年期债券的价格变化与收益率变化之间的关系

近似久期（直线）总是低于债券的价值。当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度；当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。由此可以得出三个结论：利率上升会导致债券价格下跌；到期期限越长，债券的价值变化就越大；较长期债券的价值增加比例会越来越小，也就是说，存在着定价曲率或称凸性现象。73练习：假设一债券的面值为1000美元，每年支付5％的固定利息，正好4年到期，当前同类债券的收益率是每年5％。如果预期利率上涨200个基点，请分别用久期和债券定价模型估计债券价格。74基于久期，价格为1000-70.92=929.08美元。可见，久期高估了债券价格的下跌幅度，由此可得出结论：·如果利率上升，存续期会高估价格变化·如果利率下跌，存续期则会低估价格变化。7516.2凸性凸性、债券价格变化与收益率变化考虑到凸性，债券价格可以修正为：

∆P/P=-D*∆y+(1/2)*凸性*(∆y)2

76提前偿还债券的久期和凸性7716.3消极债券管理16.3.2免疫用不同到期日的债券组合的方法，可以使债券组合在未来的某一确定时间的总价值不随市场利率的变化而变化，这就是债券的利率免疫。构造这样一种投资组合，以至于任何由利率变化引起的资本损失(或利得)都能被再投资的回报(或损失)所弥补。原理在于一只给定久期的附息债券可以精确地近似于一只久期相同的零息债券。7879Question：

如果投资人用来投资的资金是借来的，则他应该如何进行固定收益证券组合投资以使他从投资中他所收到的现金流必须能够偿还各个期限上的债务？使他投资形成的资产的久期等于负债的久期。这就是所谓的免疫策略。目标期免疫8081免疫练习题假设某债券资产管理人收到的债券投资额为8820262元，承诺给债券投资人的年利率为12．5％，期限为5．5年。这意味着5．5年后，该资产管理人必须向债券投资人一次性支付本息17183033元。如果这位管理人在市场上购买了一种5．5年到期、息票利率为12.5％、按面值出售的面额为8820262元的债券，并持有到期，那么，5.5年后，该管理人能实现17183033元的目标价值吗?82免疫练习题假设该管理人按8820262元的票面价值购买期限为15年、票面利率为12．5％、到期收益率也为12．5％的债券，他能否实现目标价值呢?再假设管理人投资于一种到期收益为12．5％、1年到期、息票利率为12．5％、以面值出售的面额为8820262元的债券。这时，债券到期的本息立刻再投资债券，到5．5年时可再获得一份利息收入。假设该管理人投资于一种期限为8年、到期收益率为12．5％、息票利率为10．1