有限元法基础董纪伟有限元第十章

第10章平板弯曲问题的有限单元法（简介）主要内容

10.1引言10.2基于薄板理论的非协调板单元10.3基于薄板理论的协调板单元10.4Mindlin板单元（位移和转动各自独立插值的板单元）10.5基于离散Kirchhoff理论(DKT)的板单元10.6应力杂交板单元10.5小结10.1引言一、平板问题的特点中面(xy面)xyz1.几何特点——薄板hb2.载荷——厚板——薄膜——垂直于板面作用3.截面上的内力——弯矩；——扭矩；——剪力；——薄膜力(当板面内不受力时，=0)(相对弯矩、扭矩很小)xyz4.截面上的应力——弯曲应力；——扭转剪应力；——剪力引起的剪应力——垂直于板面方向的正应力5.变形描述与结点位移——垂直于板面方向（z方向）的位移挠度（w）:板截面转角（x、y）1234结点位移：二、弹性薄板弯曲变形的基本假定——G.Kirchhoff假定1.垂直于中面方向的线应变z忽略不计，即取：2.应力分量：远小于应力分量：即：薄板的物理方程：或：3.薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即1234xyz由得：中面(xy面)——中性平面变形前后，平面在压xy面上的投影形状不变。将：对变量z积分，有结论：平板的全部应力、应变都可用板平面内的挠度w(x,y)表示三、弹性薄板的基本方程1.几何方程其中：板弯曲的曲率矩阵2.物理方程中面(xy面)xyzhb板的广义力：由板内应力沿z方向线性分布的性质，有：中面(xy面)hbxyz其中：——称为板的弯曲刚度（抗弯刚度）——板的物理方程将Mx、My、Mxy代入，得3.平衡微分方程中面(xy面)xyzhb4.边界条件（1）在边界S1上，给定位移:对固支边界有:（2）在边界S2上，给定位移和力矩，即（n为边界的外法线方向）4.边界条件（1）在边界S1上，给定位移:对固支边界有:（2）在边界S2上，给定位移和力矩，即（n为边界的外法线方向）对简支边界有:（3）在边界S3上，给定力矩和横向载荷，即其中：S为边界的切线方向；Qn为边界截面上单位长度的横向剪力。（3）在边界S3上，给定力矩和横向载荷，即其中：S为边界的切线方向；Qn为边界截面上单位长度的横向剪力。对自由边界有:四、弹性薄板的位能泛函P说明:P中w导数的最高次数为2。五、板壳有限单元法的步骤（1）划分单元；（2）构造单元位移模式（插值函数）；（3）单元分析；（4）整体分析；引入位移边界条件（5）求解方程，结果处理。说明：（1）P中w导数的最高次数为2，由收敛性准则，在单元交界上，必须保证w及其一阶导数的连续性。即，保证w具有C1类连续性。（2）二维、三维问题的C1类连续函数构造非常困难。（3）三类平板单元：（a）基于经典薄板理论的板单元—。——非协调元（b）基于Kirchhoff假设和广义变分原理的板单元如：Hellinger-Reissner广义变分原理——混合板单元；修正的Hellinger-Reissner变分（余能）原理——应力杂交元；离散Kirchhoff假设板单元（c）基于考虑横向剪切变形的Mindlin平板理论的板单元Mindlin平板理论——厚板理论10.2基于薄板理论的非协调板单元10.2.1矩形单元1234xyz1.结点位移每个结点三个自由度：单元结点位移列阵：（10.2.1)（10.2.2)2a2b2.单元位移模式（10.2.3)1234xyz2a2b刚体位移常应变线性应变不完全的四次项为确定待定系数：将4个结点的坐标代入w及导数的表达式，得到方程组：（10.2.4)将上述方程组表示成矩阵形式：（10.2.5)C——为12×12阶系数矩阵；1234xyz2a2b（10.2.3)（10.2.5)由此可解出：（10.2.6)将其代入式（10.2.3）,并用知阵表示：（10.2.7）式中：（10.2.8）其中：——单元中心的坐标3.应变矩阵（广义）广义应变（板的曲率）矩阵：（10.2.9）广义内力（板的弯矩、扭矩）列阵：——广义应变矩阵——广义应力矩阵（10.2.10）——板的弹性矩阵4.单元特性矩阵单元刚度矩阵：（10.2.11）单元等效结点载荷列阵：——板面内的分布面力引起的（10.2.12）自然坐标形式：对于板面内的均匀分布面力（q=常数）：例：四边支承的方形薄板（包括四边固支和四边简支两种情况），受有均布载荷作用。考虑到对称性，取1/4区域用不同网格进行计算，其结果如图：几点说明：（1）收敛性（10.2.3)刚体位移常应变（常曲率和常扭率）常曲率：w(x,y)——满足完备性要求。1234xyz2a2b完备性：协调性：w(x,y)的连续性：当x=常数（或y=常数）时，w为三次变化曲线，可须由两个端点的4个参数才能完全确定。以边界1、2为例，w可由唯一确定。1234xyz2a2b协调性：w(x,y)的连续性：当x=常数（或y=常数）时，w为三次变化曲线，可须由两个端点的4个参数才能完全确定。以边界1、2为例，w可由唯一确定。可见，相邻单元边界w(x,y)的连续性满足。w(x,y)在单元边界法向导数的连续性：考察w(x,y)在单元边界上法向导数，也为三次变化函数，也须由两个端点的4个参数才能完全确定。仍以边界1、2为例，只存在2个参数：因而，不能唯一确定一个三次函数，即，相邻单元边界上法向导数的连续性不能满足，或不协调。结论：基于薄板理论的板单元——非协调单元对这种单元，当单元尺寸不断缩小时，不能保证其解收敛于精确解。其收敛性需通过分片试验。（2）能通过分片试验的单元形状：（a）矩形单元；（b）平行四边形单元。（∵两者的Jacobi行列式为常数）对一般四边形单元，不能通过分片试验，不能收敛于精确解。10.2.2三角形单元123xyzw3结点三角形板单元1.单元结点位移列阵每个结点三个自由度：分析：2.单元位移模式——9个结点位移参数若取完全的三次多项式，则需10个结点参数，但单元仅有9个结点参数。其解决途径：（1）在三次项中删去一项，取8=9，但不能保证其关于x，y对称性；（2）经研究，它对二个边界分别平行于x，y轴的等腰三角形单元，无法建立挠度w(x,y)与结点位移参数的关系。分析：2.单元位移模式若取完全的三次多项式，则需10个结点参数，但单元仅有9个结点参数。其解决途径：（1）在三次项中删去一项，取8=9，但不能保证其关于x，y对称性；（2）经研究，它对二个边界分别平行于x，y轴的等腰三角形单元，无法建立挠度w(x,y)与结点位移参数的关系。123xyzw（3）给单元增加一自由度，如：单元中点的挠度参数w，经分片试验，解不收敛。（4）引入面积：123xyzw面积坐标下三角形板单元的位移函数构造面积坐标的一次、二次、三次式分别有一次式：二次式：三次式：——3项——6项——10项——代表x，y的完全一次多项式，可描述刚体位移；——代表x，y的完全二次多项式，可描述常应变；——代表x，y的三次多项式；123xyzw——代表x，y的三次多项式①考察：在单元上分布，代表绕单元1、3边作刚性转动，由此可得L1，L2，L3可表示单元的任意给定的刚体位移。②考察：沿单元1、2边和1、3边，有：w=0,由此可知w

在所有结点上的值均为零,即：可见：在单元1、3边上，有而在结点2边上，有同理，可得有与相同的性质，即与②考察：沿单元1、2边和1、3边，有：w=0,由此可知w

在所有结点上的值均为零,即：的线性组合，可给出的任意指定值。③考察：w在所有结点上的值均为零,即：不能由结点参数决定，因而，不能单独作为插值函数项，只能与其它项结合使用。如：说明，对于：3结点三角形板单元的位移模式可取为：（10.2.19)其中：为待定系数。且在形式上，w关于面积坐标对称的。需要指出的是：式（10.2.19）并不能保证为完全的三次多项式，因而不能保证在单元尺寸趋于零时，单元的应变为常应变。经证明，当常数C=1/2时，上述常应变要求可得满足。于是，最终的位移模式可取为：3结点三角形板单元的位移模式可取为：将单元的结点坐标代入w及其一阶导数，有得9个方程，由此解出9个系数：，再代回式（10.2.19）得（10.2.20）或：其中：——结点位移其中：3结点三角形板单元的位移模式可取为：（10.2.20）或：——结点位移而可通过轮换下标：1——2——3得到。3.单元特性矩阵（1）单元应变矩阵——广义应变矩阵其中：（2）单元刚度矩阵（3）单元等效结点载荷列阵：注：需将上述转化为面积坐标下的积分。4.单元的收敛性（1）完备性由位移模式的构造过程可知，上述位移函数w能描述刚体位移、常应变，所以，满足完备性要求。（2）协调性相邻单元挠度w的连续性123xyzw单元边界上，w为三次变化函数，需由4个参数确定。而单元每个结点存在：（2）协调性相邻单元挠度w的连续性123xyzw单元边界上，w为三次变化函数，需由4个参数确定。而单元每个结点存在：每边2个结点，具有4个上述参数，可唯一确定w的函数，即w满足连续性要求。相邻单元法向导数

的连续性因为，w为三次变化函数，所以为二次变化函数，需由3个参数才能唯一确定。而单元边界上，只存在2个法向导数量，如：1、2边界上，只存在法向导数：即单元边界上，法向导数不协调。123xyzw结论：3结点三角形板单元——非协调单元对这种单元，当单元尺寸不断缩小时，不能保证其解收敛于精确解。其收敛性需通过分片试验。单元形状对收敛性的影响：Irons等证明，若单元网格是由三组等间距直线产生的，如4×4,4×4A可通过单元的分片试验，因而解收敛。对网格4×4B虽然也收敛，但位移值误差达1.5%。而不规则网格误差更大一些。例：不同支承条件的方板承受分布载荷或集中载荷。结果：（1）沿板中心线的挠度；（2）沿板中心线的Mx。10.7小结一、薄板弯曲问题的特点几何特点、载荷特点、变形描述、截面内力与应力特点。三个基本假定（Kirchhoff假定）。基本方程：几何方程物理方程平衡方程三类边界条件：（1）在边界S1上，给定位移:（2）在边界S2上，给定位移和力矩，即（3）在边界S3上，给定力矩和横向载荷，即二、薄板弯曲问题的非协调板单元二、薄板弯曲问题