数字信号处理-

第4章.数字滤波器

4.1概述

●数字信号处理中的两类重要系统：*频谱分析器:提供频域内信号表示(DFS、DTFT、DFT)；*数字滤波器:完成时域内信号滤波，让信号能量集中的频带内频率成分通过，而阻止其他成分（主要是噪声）；

●数字滤波器的分类：*经典滤波器：一般滤波器，基于信号的频域分析，如信号与噪声可在FT域分离；*现代滤波器：基于随机分析，应用于信号与噪声不可在FT域分离的情况，如从众人的说话声音中分离出一个人的声音。维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等；*按实现的网络结构或单位冲激响应，经典数字滤波器分类如下：数字滤波器的类型即IIR

或FIR

；●FIR

数字滤波器用有限长冲激响应表征。冲激响应h(n)的非零值持续有限长。●IIR数字滤波器用无限长冲激响应表征。冲激响应h(n)的非零值持续无限长，容易与模拟滤波器匹配。●经典数字滤波器按选频功能分类：低通、高通、带通、带阻、全通例如：一因果IIR滤波器冲激响应

例如：一因果FIR滤波器冲激响应低通高通带通带阻0-2-20-2-20-2-20-2-2例：低通滤波有用信号频谱干扰或噪声的频谱有用信号的频谱与噪声或干扰的频谱明显分离低通滤波器H(z)H(ejω)h(n)系统函数系统频率响应函数系统冲激响应系统差分方程逆Z变换Z变换两边Z变换,求Y(z)/X(z)两边DTFT,求Y(ejω)/X(ejω)z=ejωDTFT逆DTFT注:只有在系统稳定时红箭头才成立逆Z变换●关于离散系统（滤波器）各种表示之间的关系:

4.2理想滤波器和非理想滤波器1.理想滤波器在没有干扰的情况下，信号通过理想滤波器后不会产生失真，即输入信号x(t)=s(t)，则输出信号y(t)

y(t)=As(t-T)其中，A是非零常数，T是时延。理想滤波器

根据上式，两边求FT,可得理想滤波器的频率响应为

其中，通带指信号占据的频率范围。在通带内，信号通过，有时延T；在通带外，滤波器的频率响应为零，它将抑制干扰。因此，理想滤波器的幅度和相位频率响应如下图：相位呈线性性线性相位

离散理想滤波器的定义与上面类似。能否设计一个因果冲激响应如下图的理想滤波器？不能！佩利—维纳定理（Paley-Wiener）:如果h(n)是因果序列，在n<0时h(n)=0，如上图，其能量是有限的，则其中，根据佩利—维纳定理，理想滤波器不可能是因果的，因为理想滤波器的频率响应在频率ω1和ω2范围内为0，如下图。那么，上式的积分结果将会是无限的，不满足上述定理。实际应用中，用因果滤波器来逼近理想滤波器的特性。例：带宽为ωc的理想低通滤波器，如下图。其冲激响应为-∞<n<∞,无限长！

因此，理想滤波器的冲激响应是非因果的，在时间轴上是无限长的。2.非理想滤波器的特征一个典型的非理想低通滤波器的幅度响应分成三个区域，如下图。通带阻带过渡带片段频率特性△通带，0→ωp:理想低通滤波器的在通带内幅度响应为常数，如1。而非理想低通滤波器在通带内会有一定的波动，起范围为1±δ，其中，δ为常数。用δp=1/(1-δ)来定义通带波纹，一般用dB表示。△阻带，ωs→π:理想低通滤波器的在阻带内幅度响应为0。而非理想低通滤波器在阻带内会限制在一个很小的范围。该范围为阻带波纹或衰减δs,一般用dB表示。△过渡带，ωp→ωs

:理想低通滤波器会由通带锐变到阻带。而非理想低通滤波器在通带和阻带之间会有一个明显的过渡带。其中ωc定义为截止频率或半功率频率（或3db频率），满足由于是以2π为周期的,只需要给出[-π,π]区间上的设计指标描述,满足要求：通带、过滤带、阻带均满足要求。

例：模拟低通滤波器的指标如下：通带频率：4kHz，波纹为1dB;

阻带频率：4.5KHz，衰减50dB;

采样频率：22KHz。将它们转换为数字频率：通带频率：ωp=2π(4/22)=1.14rad;

阻带频率：ωs=2π(4.5/22)=1.28rad;

通带波纹：20log10[1/(1-δ)]=1dB，则δ=0.11。阻带衰减：20log10δs=-50dB，则δs=3.2X10-3。

4.3有限长冲激响应滤波器设计（FIR）1.基于窗口的滤波器设计

先根据设计指标给出理想数字滤波器频率响应为Hd(ejω)，然后再设计一FIR滤波器，用其频率响应来逼近Hd(ejω)

逼近方法:

Hd(ejω)是矩形频率特性无限长的而

h(n)有限长的.不同的w(n)及N，H(ejω)对Hd(ejω)的逼近精度不同，效果也不同。例：Hd(ejω)为截止频率为ωc

的线性相位理想数字低通滤波器：最简单有效的方法是:

用窗口w(n)(有限长)截短hd(n)(无限长)为h(n)(有限长)：线性相位上式的hd(n)(无限长),以中心对称。若以中心=(N-1)/2的对称窗口截取hd(n)

从而获得h(n),则h(n)也是对称的、有限的、因果的(0nN-1)（线性相位FIR滤波器的条件，以后将证明）

。IDTFTSinc函数无限长窗口有限长要获得有限长N的因果线性相位FIR滤波器，可用中心在=（N-1）/2，宽度为N的矩形窗wR（n）截取hd（n）窗口函数的离散时间傅立叶变换DTFT：类似于Sinc函数因此，FIR滤波器的幅度函数H（ω）连续卷积矩形窗对Hd（ejω）的影响

Hd（ejω）在截止频率ωc

处间断点变成连续曲线，从而H(ejω

)表现了过渡带，其宽度等于矩形窗主辨宽度；由于旁辨的作用，通带和阻带出现波动，旁辨的面积（能量）越大，通带波动大，阻带衰减小。应选能量集中在主辨内的窗函数。肩峰主峰0.0895

10.0468当N很大，（主辨宽度）很小，此时改变(当N已很大)N

相对形状几乎不发生变化，只能改变主辨宽度。（矩形窗只改变过度带，不能改变波动）主峰1，肩峰0.0895

8.95%

截短窗口的选择原则：主辨带宽要尽可能小，以获得较陡的过渡带与主辨的幅度相比，旁辨应尽可能地小，以减少通带内、阻带内波动的最大振幅。Sinc函数•几种常用窗口函数

矩形窗(Rectangle)：

主辨宽度：对称三角形窗或巴特利特(Bartlett)窗：主辨宽度：

升余弦窗或汉宁窗（Hanning)：三部分之和使旁辨相互抵消，较前面的窗口来说能量更集中在主辨，使主辨宽度增加到。旁瓣抵消过程

改进升余弦窗或哈明(Hamming)窗：与汉宁窗相比，主辨宽度一样，但主辨能量相对较高，旁辨峰值不到主辨峰值的1%，低于主瓣超过43dB。

二阶升余弦窗或布莱克曼(Blackman)窗：主辨宽度：五部分之和使旁辨相互抵消，能量更集中在主辨，旁辨峰值更低，使主辨宽度增加到。•几种时域窗的比较常用窗函数的幅度特性(a).矩形窗(b).三角形窗(c).汉宁窗(d).哈明窗(e).布莱克曼窗滤波器频率响应与阶数(长度)N

的关系理想滤波器加窗后的冲激响应理想滤波器加窗后的频率响应利用窗口函数设计FIR滤波器的步骤（1）根据性能要求确定理想滤波器的冲激响应hd(n)。

如果根据通带阻带衰减和边界频率要求，可选用理想滤波器作为逼近函数，以理想低通滤波器为例：

从而用理想滤波器的频率响应Hd(ejω)的IDTFT求出hd(n)。其中，截止频率根据边界频率确定，一般取（2）根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗口函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用表示，它近似于窗口函数频谱的主瓣宽度。因此，过渡带近似与窗口函数长度N成反比，NC/，C取决于窗口函数的形式。如矩形窗C=4；哈明窗C=8等。按过渡带及阻带衰减情况选择窗口函数的形式。原则是满足阻带衰减的前提下尽量选择主瓣窄的窗口函数。（3）计算滤波器的冲激响应h

(n)。（4）验证技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式表示：计算上式时可用FFT算法。如果不满足要求，重复（2）——（4）。

例：设计一个低通数字滤波器，其技术指标为：通带：4kHz;

阻带：5kHz,至少需要40dB的衰减；采样频率：20kHz。那么，数字通带频率ωp和阻带频率ωs分别为：

因此，过渡带：

根据阻带衰减指标，可选择汉明窗来获得至少40dB的衰减。过渡带的宽度决定了滤波器的长度N:如果选择N=81，需要的时移L=40，则滤波器的冲激响应为其中ωc=(ωp+ωs)/2=9π/20。过渡带中心频率作为截止频率。将理想滤波器的冲激响应hd(n)与汉明窗相乘的滤波器的冲激响应和频率响应如下图。过渡带的宽度近似为主瓣宽度○为何IIR数字滤波器不适合设计成线性相位的?滤波器的传输函数:２.对称性和线性相位的特点滤波器的线性相位特性:只有当：是线性相位的。但当时,例：一IIR滤波器的系统函数为意味着极点存在于单位圆上，系统是不稳定的，所以这是不可能采用的。结论:用IIR数字滤波器很难实现线性相位特性。

令h(n),n=0,1,…,N-1

为长度为

N的滤波器冲激响应。

系统函数为第一类线性相位FIR

滤波器（对称）为z-1的（N-1）阶多项式，在原点有(N-1)个极点，在有限Z平面的其他地方有N-1

个零点。频率响应函数为〇线性相位FIR

滤波器线性相位FIRFIR

线性相位约束条件：若

FIR

滤波器的相位函数为这里为固定相位延迟系数。需要：即h(n)

是关于n=

（中心点）对称(或偶对称)的。证明过程如下：后一个等式两边实部相等、虚部也相等，同样的实部虚部相比值也应相：利用三角函数的恒等关系，有满足上式的条件是：对称对称NN(N-1)/2N-1N-1N/2+1N/2•第二类线性相位FIR

滤波器（反对称）

相位响应满足条件：为不过原点的直线.此时相位不是固定延迟，但为常数，群延迟。因此为一个固定群延迟。

对于这样的滤波器，类似于对称情况可以证明：即h(n)

是关于=(N-1)/2(中心)反对称(或奇对称)的。反对称反对称NN(N-1)/2N-1N-1N/2+1N/2•滤波器是线性相位的充分条件：设h(n)

是FIR滤波器的单位函数响应，则如果h(n)为实数时，且满足下列任一条件偶对称h（n）=h（N-1-n）h（n）=-h（N-1-n）奇对称对称中心：=（N-1）/2则该滤波器为线性相位滤波器。•线性相位的优点：设计问题只用到实代数。对N

阶线性相位FIR滤波器，其运算为N/2阶。线性相位滤波器相位只有固定量延迟，而不会产生相位延迟畸变；如果要求信号通过数字滤波器之后不产生畸变，即要求H(z)具有线性相位。

x(n)=[Asin(n)]u(n)y(n)=AH()sin[(n

-)]线性相位数字滤波器H（z）得:这时滤波器的输出除了幅度波形被整形外，输出信号相对于输入信号延迟了

个采样点。当一个具有任意形式的信号通过线性相位滤波器时，由于其各次谐波的延迟均为个采样点，使整个波形产生了一个固定的个采样点的延迟，保持了波形的相对不变。信号中各频率成分幅度保持不变,通过线性相位与非线性相位系统的情况。Signal通过线性相位滤波器(全通)通过非线性相位滤波器(全通)●类型-1线性相位FIR滤波器：对称、N为奇数此时，=0,=(N-1)/2

为整数,且h(n)=h(N-1-n),n=0,1,…,N-1DTFT因此这类滤波器用作低通器、高通、带通、带阻滤波器。整数22-(N-1)()滤波器用作低通器的情况。N为奇数，对称低通高通带通带阻0-2-20-2-20-2-20-2-2●类型-2线性相位FIR滤波器：对称、N为偶数此时，=0,h(n)=h(N-1-n),0<=n<=N-1,=(N-1)/2

不为整数,

非整数低通0-2-2低通0-2-2带通0-2-2带通0-2-22N为偶数，对称22-(N-1)()Hg()=0,不能将这类滤波器用作高通器的情况。●类型-3线性相位FIR滤波器：反对称、N为奇数此时，=-π/2,=(N-1)/2

为整数,且h(n)=-h(N-1-n),n=0,1,…,N-1.N为奇数，反对称22-/2

-(N-1/)2()-/2适合将这类滤波器用作带通滤波器的情况。带通0-2-2带通0-2-2●类型-4线性相位FIR

滤波器：反对称、N为偶数此时，=-π/2,=N/2

为整数,且h(n)=-h(N-1-n),n=0,1,…,N-1.N为偶数，反对称2

带通或高通的情况。2-/2

-(N-1/2)()-/2带通0-2-2带通0-2-2高通0-2-2高通0-2-2固定相位延迟相位群延迟练习题：设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)，如下图所示：求该系统的频率响应H(ejω),练习题：已知一线性相位FIR滤波器的频率响应为判断该线性相位系统是何种类型的数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）？说明你的判断依据。解：线性相位FIR滤波器的幅频率响应为●线性相位FIR

滤波器零点分布:+:对称;-:反对称.所有极点在原点，特性依赖于零点位置对于对称或反对称h(n),

零点呈镜像：若z=zi是零点，则z=1/zi也是零点；如果zk

是零点，则满足多项式：h0+h1zk-1+h2zk-2+..+hN-2zk-N+2+hN-1zk-N+1=0

由对称关系，有hN-1=h0,

hN-2=h1,…那么rk=zk

–1

满足同样的方程

h0+h1rk+h2rk2+…+h1rkN-2+h0rkN-1=h0zkN-1+h1zkN-2+…+h2zk2+h1zk+h0==zkN-1(h0+h1zk-1+…+h1zk-N+2+h0zk–N+1)=0镜像零点验证对于实h(n),

零点呈共轭，所以z=zi*

，z=1/zi*也必是零点。确定了一个，其余三个就确定了。-2-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5RealPartImaginaryPartzizi*1/zi1/zi*四种不同的零点结构一般情况(四阶子网络)单位圆上(二阶子网络)实数(一阶子网络)单位圆上实数(一阶子网络)Z平面线性相位FIR滤波器可由一系列的一阶子网络、二阶子网络、四阶子网络级联构成N=11零极分布N-1个零点例：x(n)和y(n)分别是下面滤波器的输入和输出

（1）为使这个滤波器对通带内输入信号只产生延迟而不产生信号畸变，a

的取值应为多少？并写出系统冲激响应h(n)

的表达式；（2）写出系统的相频函数，并画出该滤波器节省乘法运算的结构流图。３.使用凯塞

(Kaiser)窗设计:

凯塞

(Kaiser)窗其阻带衰减和过渡带宽度的变化范围很大，通过调整参数可以达到希望的指标。假设低通滤波器的通带和阻带波纹相同，都为δ，即

凯塞窗定义为:两个参数I0(x)为零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面的级数表示：一般I0(x)取15~20

项便可满足精度要求。参数

和窗口长度N可控制窗口形状，加大

主瓣加宽，旁瓣幅度减小。典型数据凯塞窗的幅度函数为：凯塞窗设计经验公式：N=128

例：用凯塞窗设计一个低通数字滤波器，其技术指标为：通带边界频率：4kHz;

阻带边界频率：5kHz,至少需要40dB的衰减；采样频率：20kHz。那么，数字通带频率ωp

和阻带频率ωs分别为：

因此，过渡带△ω和衰减A凯塞窗的长度N及参数β将理想低通滤波器的冲激响应hd(n)与凯塞窗相乘，得到滤波器设计。滤波器的冲激响应和频率响应如下图。

4.频率采样法设计

•窗口法：从时域的观点h(n)=hd(n)·w(n)•频域法的基本思想：利用单位园上（

ω：0~2

）的N

个等间隙采样点可恢复原有序列(IDFT)，即对理想的或结构复杂的数字滤波器等间隙采样：然后令待设计的有限长滤波器h（n）的频域特性N

个采样值H（k）：待设计滤波器理想滤波器那么，hd(n)与h(n)是否相等？Hd(ej)

与H

(ej)是否相等？

结论：不一定！

●频率域采样〇时域采样定理揭示:在一定条件(满足耐奎斯特采样定理)下，可以由时域离散采样信号恢复出原来的连续时间信号。

〇DTFT能全面反映频率特性，但本身不可计算。为了便于计算机计算，可采取在频率域采样的方法来逼近，计算有限长序列的傅立叶变换DFT。那么，是否任何一个频率特性都能用频率抽样的方法去逼近呢？其限制条件是什么？DTFT

0

设任意（有限或无限长）序列x(n)

存在Z变换DTFT以2π为周期函数，只需考虑一个周期且X(z)的收敛域包括单位圆，如果对X(z)在单位圆上N个均分点采样，则得到

问题在于这样采样以后是否能恢复出原序列x(n)？可认为X(k)是xN(n)的DFTx(n)=xN(n)?有限或无限长有限长仅当x(n)为有限长，上式可能相等，但须具备一定条件！0Re[z]jIm[z]x(n)的DTFTxN(n)的DFTIDFTDFTDTFT的等间隔采样m=n+rN,N

〇

X(z)

在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的

IDFT

为：原序列x(n)以频域等间隔采样点数N为周期周期延拓序列的主值序。

〇

频域抽样造成时域信号的周期延拓，其延拓周期为采样点数N。

〇若x(n)不是有限长的，则延拓后必然造成混迭现象；若x(n)

是有限长的，长度为M，当采样点数不够密时(N<M)，也会造成混迭现象。●频域抽样定理：

如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域抽样点数

N

满足

即可由X(k)恢复出原序列x(n)。才有xN(n)x

(n)r=0r=1r=2r=-1●时域抽样与频域抽样的比较：时域抽样频域函数的周期延拓，周期为频域抽样时域函数的周期延拓，周期为例：已知x(n)=R28（n）（M=28）的DTFT为X(e

jω)。X(e

jω)在0~2π一个周期内等间隔N=32点抽样，并计算这些抽样点的32点IDFT，所获得的序列仍为R28（n）。●用有限长序列的X(k)表示X(z)：当频率采样条件满足，由IDFT可得长度为N的有限长序列

上式适合于FIR直接型结构(以后将介绍)。

由X（k）也可直接求出系统函数X（z）和频域的响应：先由X(k)求x(n)，再求X(z)IDFT直接由X(k)求X(z)，不必先求x(n)第一章两个有用的求和公式之一

上式适合于FIR频率采样结构(以后将介绍)

。

●用有限长序列的X(k)表示X(ejω)

当频率采样条件满足，抽样点间的的值，则由各个内插函数迭加而成。0x(n)的DTFTxN(n)的DFT•频率采样法的误差:

H(ej)在采样点H（k）等于Hd（k），

H(ej)

对Hd(ej)的逼近误差为零。而采样点之间的值，由有限项的采样值H(k)内插而成，H(ej)逼近与期望的Hd(ej)变化特性有关，如果Hd(ej)由有限长度hd(n)对应，取满足频率采样定理，此时Hd(ej)变化趋于平缓，逼近误差越小或为零。如果Hd(ej)变化陡峭（如理想低通滤波器），hd(n)无限长，而h(n)有限长，不满足频率采样条。在带边缘(如间断点)误差较大，在带内误差较小。0Hd(ej)H(ej)•从频域分析消除误差的方法:增加采样点数，即增加N。增加N的大小，可以减小逼近误差，但间断点附近的误差仍然较大，N太大也会增加滤波器的体积和成本。2.去除频域中的突变点：在频率响应间断点附近内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡，虽然过渡带增大，但明显增加阻带衰减。结论：频率采样法更适合平缓变化特性滤波器的设计。H(ej)0对于理想频率特性（如矩形）对应于时域无限长序列，频率采样定理不满足！1.理想滤波器抽样会产生过渡带;2.增加过渡点也增加过渡带宽度,增大阻带衰减;3.过渡点的位置也会影响阻带衰减.N=65,有两个过渡点的情况5．FIR滤波器的最优化设计窗口法和频率采样法的不足：窗口法是一种时域逼近法,其频域必然带来误差:

如果E(ejω)表示Hd(ejω)和所设计滤波器H(ejω)之间的频率响应误差其均方误差为在设计过程中不能精确的说明

ωp

和ωs

；不能独立说明

δ1

和δ

2

；理想响应和实际响应的近似误差在各带内不是均匀分布的。可以证明当采用矩形窗时e2是最小的，即最小均方误差设计。采用其他窗口，虽然可以通过增加过渡带宽度来换取阻带衰减和通带平稳性，然而这些窗的使用已不再是最小均方误差意义上的设计。

对于线性相位FIR滤波器，可以出推导一组约束条件使得设计的滤波器的解在最小化最大近似误差（有时称为切比雪夫误差）意义上是最优的，即最佳切比雪夫一致逼近准则。最佳切比雪夫一致逼近准则:对于线性相位FIR滤波器，四种类型滤波器频率响应函数可写成：而Hg(ω)(如对称且N为奇数的情况)可写成：为了公式化切比雪夫优化问题，定义理想滤波器的幅度函数Hd

(ω),加权函数W(ω)。加权误差函数定义为通带阻带确定一组系数[a(n)或b(n)或c(n)或d(n)]

以便在通带和阻带上最小化E(ω)

的最大绝对值。

例：对于对称且N为奇数的情况，E(ω)为

最佳逼近问题是选择（N-1)/2+1个系数a(n)，使加权误差E(ω)的最大绝对值最小。切比雪夫理论指出其充要条件是E(ω)在S上至少存在（N-1)/2+2个“交错”使得

E(ωi)

=

—E(ωi+1)按该准则设计的滤波器通带或阻带具有等波纹性质。这样，便可精确说明ωp,ωs,δ1,δ

2，此外在通带和阻带内的近似误差也是均匀分布的。最小化过程通过程序完成。用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器的程序框图可参见教材和其他书籍。

通带过滤带 阻带

以数字低通滤波器为例：一.设计指标数字滤波器的技术指标:

•

选频滤波器，频率响应4.4.无限长冲激响应（IIR）数字滤波器的设计•边界频率：

●数字滤波器设计的基本思想设计数字，其指标通常在频域内给出。数字滤波器的频率响应一般为复数，即其中,为幅频特性函数;为相频特性函数。由于是以2π为周期的，只需要给出[-π,π]区间上的设计指标描述，需要满足：通带、过滤带、阻带指标要求。

IIR滤波器和FIR滤波器设计方法完全不同：

○IIR滤波器，一般用幅频特性来描述设计指标，当要设计具有线性相位

IIR时，应采用全通滤波器对其相位进行校正；有直接法和间接方法。

○

FIR滤波器，不仅用幅频特性来描述设计指标，一般还要考察其相位特性滤波器，满足一定条件可做到严格线性特性，有窗口法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。

对于IIR滤波器，其系统函数为z-1

的有理分式：寻找滤波器的各系数ai，bi,或ci，di

使其系统特性逼近一个要求的频率特性。IIR数字滤波器设计方法

模拟滤波器转换成数字滤波器的方法（利用复数映射，最常用）

○冲激响应不变法○阶跃响应不变法○匹配Z变换法

○微分映射法（欧拉逼近）

○双线性变换法

直接法：直接在时域或频域设计IIR滤波器（利用计算机的最优化设计）

○零极点累试法

○频域逼近法

○时域逼近法

模拟——数字转换法的主要步骤:

先设计一模拟滤波器（参考模拟滤波器），使其平方幅度函数满足要求的特性（平方幅度特性要求），由此得到参考模拟滤波器的传输函数Ha（s)

；

找出一种能按Ha(s)

确定待设计数字滤波器系统函数H(z）各系数的方法(模拟─数字转换方法)；3）此数字滤波器频率函数的平方幅度特性|H（ejω）|2

应与参考模拟滤波器的平方幅度特性足够近似。再检验所设计的|H（ejω）|2

是否满足要求，若不能，则重来（重复1）~3））。

△模拟滤波器的理论与设计方法已很成熟：常用的参考模拟滤波器（如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器）不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已经表格化了，设计起来非常方便、很准确；

△各种复数映射方法也非常成熟：设计一参考模拟滤波器，其平方幅度函数满足要求的特性，由此得到其传输函数Ha（s)

检验所设计的|H（ejω）|2

是否满足要求复数映射：将传输函数Ha(s)

转换成待设计数字滤波器系统函数H(z）结束是否Ha(s)H(z)S平面映射到Z平面传输函数系统函数复数变换需具备两个基本条件：〇因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)〇数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响最常用的变换方法：Re[s]<0|z|<1S平面虚轴Z平面单位圆上脉冲响应不变法双线性变换法左半平面的极点单位圆内的极点jΩejω二.模拟低通滤波器的设计●模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟滤波器按幅度特性分成低通、高通、带通和带阻滤波器等：各种频率选择模拟滤波器的设计总是先设计模拟低通滤波器，再通过

频率变换成希望的频率选择模拟滤波器滤波器。频率变换SS模拟低通滤波器设计滤波器变换SZ各种频率选择模拟滤波器可通过滤波器变换（间接方法）转换成各种频率选择数字滤波器。模拟低通滤波器设计是基础！巴特沃兹低通滤波器切比雪夫低通滤波器(I和II型)椭圆低通滤波器贝塞尔滤波器低通转换成高通低通转换成带通低通转换成带阻脉冲响应不变法双线性变换法。。。模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法：

△假定总是可以获得模拟低通滤波器特性要求（依赖于频率变换）：

p,

s,Rp

和

As,如下图所示。△由幅度平方函数确定模拟低通滤波器传输函数：Ha(-s)=Ha*(s)

模拟低通滤波器的特性要求给定后，需要设计一个传输函数为Ha(s)的模拟低通滤波器，希望其频率响应平方幅度函数|H(jΩ)|2满足给定的指标Rp

和

As。由于一般滤波器的单位冲激响应ha(t)

为实数，有ha(t)

为实数

△传输函数的零极点分布特点（象限对称）：Ha(S)的极点（零点）Ha(-S)的极点（零点）

传输函数的零、极点实部、虚部都要改变符号（象限对称）！●几种常用模拟低通滤波器IIR数字滤波器的设计依赖于模拟低通滤波器，这些模拟滤波器称为原型滤波器.广泛使用的原型低通滤波器有三种：巴特沃兹（

Butterworth

）低通滤波器切比雪夫（

Chebyshev

）低通滤波器(I和II型)椭圆（EllipticFunction）低通滤波器巴特沃兹（Butterworth

）低通滤波器巴特沃兹低通滤波器的频率响应（幅度平方）为巴特沃兹低通滤波器的频率响应通带和阻带内都是平坦的(单调的)这里N

为低通滤波器的阶数；为截止频率。0.5巴特沃兹低通滤波器的特性

|Ha(jΩ)|2

随Ω单调减；

|Ha(0)|2=1,|Ha(jΩc)|2=0.5,所有的N,(|Ha(jΩc)|=0.707,

-20(|Ha(jΩc)|=3dB，在Ωc处3dB衰减)N越大，幅度下降越快，过渡带越窄，当N→∞时，滤波器趋近于理想低通滤波器。如何确定巴特沃兹低通滤波器的的传输函数Ha(s)：

由于

以s代换jΩ（或Ω=s/j）,

将幅度平方函数写成

s的函数

|Ha(jΩ)|2Ω=s/j=Ha(s)Ha(-s)的极点：

2N个极点等角度(π/Nrad)分布在S平面半径为Ωc

圆上；极点分布相对于虚轴对称；极点绝不会分布于虚轴上，但当N为奇数时在实轴上有极点；一个稳定的因果巴特沃兹低通滤波器，其N个极点在左半平面。

例如，一个稳定的3阶巴特沃兹低通滤波器为使设计公式和图表统一，需将频率用Ωc归一化。归一化后巴特沃兹滤波器的传输函数为：令p=η+jλ=s/Ωc，λ=Ω/Ωc，λ为归一化频率，p=s/Ωc为归一化复变量，pk=sk/Ωc为归一化极点，归一化传输函数：其中，归一化极点：已有现成的巴特沃兹归一化低通滤波器设计参数表。如求出阶数N，便可得到极点pk

，或系数

bk

，或Ga(p)。

只要根据技术指标求出阶数

N

后,便可求出N个归一化极点pk，以及归一化传输函数Ga(p)。如果给定Ωc，再去归一化，即用p=s/Ωc

带入Ga(p)（或由sk

=pkΩc

），便得到期望设计的传输函数Ha(s)

。因此巴特沃兹低通滤波器的设计公式

模拟低通滤波器的特性要求为Ωp，

Rp，Ωs，

As，则设计巴特沃兹低通滤波器就是要确定阶数N和截止频率Ωc两个参数变量性能指标Ωp，

Rp，Ωs，

As，由下边公式约束：两个等式，求解两个参数变量先确定阶数

N

，再由上式的任何一式确定Ωc。

通带过滤带 阻带阻带指标有富裕量通带指标有富裕量括号内可能有小数，N取大于或等于括号内的最小整数令巴特沃兹低通滤波器的设计步骤

1.确定模拟低通滤波器的特性要求：Ωp，

Rp，Ωs，

As；

2.

根据性能指标要求确定阶数N：

3.确定截止频率Ωc

：有时Ωc在性能要求中给出，不用再求；

两式等价4.确定传输函数的归一化极点pk

或极点sk

：

5.确定归一化系统传输函数Ga(p)或传输函数Ha(s)

：例:已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大波纹Rp=2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减As=30dB,设计一巴特沃兹模拟低通滤波器。

切比雪夫（Chebyshev

）低通滤波器切比雪夫-I型低通滤波器的频率响应其通带内是等波纹的切比雪夫-II型低通滤波器的频率响应其阻带内是等波纹的

(巴特沃兹低通滤波器的频率响应在通带和阻带内都是单调的)对相同的频带要求，切比雪夫低通滤波器比巴特沃兹低通滤波器需要更低的阶数（牺牲单调性）相同的阶数情况下，同样的边界频率获得更好的幅度指标N为滤波器的阶数,

为通带内波纹因子Ωc截止频率•切比雪夫（

Chebyshev

）

-I型低通滤波器切比雪夫-I型低通滤波器的频率响应（幅度平方）为:N

阶切比雪夫多项式巴特沃玆对0<x<1,TN(x)在–1

和1之间振荡；对1<x<,TN(x)单调增当x=0(或Ω=0):|Ha(j0)|2=1;对N

奇数;

=1/(1+2);

对N

偶数当x=1(或Ω=Ωc):

|Ha(j1)|2=1/(1+2)

对所有的N.对0<=x<=1(或0<=Ω<=Ωc):

|Ha(jx)|2

在

1

和

1/(1+2)

之间振荡。对

x>1(或Ω>Ωc):|Ha(jx)|2

单调减至0.当x=Ωr:|Ha(jx)|2=1/(A2).如何确定切比雪夫-I型低通滤波器的传输函数Ha(s)

：为了确定一个稳定因果的Ha(s)，必须求出Ha(s)Ha(-s)的极点并选择左半平面的极点作为Ha(s)的极点。

求Ha(s)Ha(-s)的极点可以通过求的根得到。选择上述多项式在左半平面的根作为Ha(s)的极点。Ha(s)Ha(-s)的极点分布:极点落在主轴为

bΩc、虚轴为

aΩc

的椭圆上，此时的系统函数为K为归一化因子3

阶切比雪夫滤波器的极点分布切比雪夫-I型低通滤波器的设计公式:

低通滤波器的特性要求为Ωp，

Rp，Ωs，

As，则设计切比雪夫-I型低通滤波器需要确定三个参数：切比雪夫（

Chebyshev

）

-II型低通滤波器切比雪夫-I型低通滤波器的频率响应（幅度平方）为切比雪夫-II型低通滤波器是切比雪夫-I型低通滤波器的简单变换。切比雪夫-II型低通滤波器的频率响应其阻带内是等波纹的、通带内是单调减；

切比雪夫-II型低通滤波器比切比雪夫-I型低通滤波器在通带内有更好的线性相位特性。椭圆（EllipticFunction）低通滤波器椭圆（EllipticFunction）低通滤波器的频率响应其通带、阻带内都是等波纹的对相同的频带要求，椭圆低通滤波器比巴特沃兹、切比雪夫低通滤波器需要更低的阶数（牺牲单调性）N为阶数;

通带波纹系数;

UN()为N阶Jacobian

椭圆函数。

—阶数N的计算设计与分析比较困难，其设计通常利用程序或表格。椭圆低通滤波器的频率响应（幅度平方）为几种原型滤波器的相位响应椭圆低通滤波器提供了最优的平方幅度响应，但在通带内具有严重的非线性，这在许多应用场合是不希望的。巴特沃兹低通滤波器有最平坦的幅度特性，为获得阻带指标需要较高的阶数因而有较多的极点。但在通带内有较好的线性相位特性。切比雪夫低通滤波器(I和

II型)的相位特性界于巴特沃兹和椭圆低通滤波器之间。尽管相位特性在设计中不太过关心，但在整个系统中仍然是需要考虑的一个重要问题。三种滤波器的选择依赖于滤波器的阶数（影响处理速度和实现复杂性）和要求的相位特性（控制信号畸变）。●模拟滤波器的频率变换(SS)—模拟高通、带通和带阻滤波器的设计

•频率选择模拟滤波器可通过模拟低通滤波器频率变换得到：频率变换SS模拟低通滤波器设计滤波器变换SZ巴特沃兹低通滤波器切比雪夫低通滤波器(I和II型)椭圆低通滤波器贝塞尔滤波器低通转换成高通低通转换成带通低通转换成带阻脉冲响应不变法双线性变换法。。。

•设模拟低通滤波器的传输函数为G(s)，s=j，归一化频率用表示，p=j为归一化拉氏复变量。所需类型的滤波器（如高通）的传输函数为H(s)，s=j，归一化频率用表示，q=j为归一化拉氏复变量，H(q)为归一化传输函数。

•频率变换用截止频率Ωc归一化q=j，=/cs=jq=s/c注意两个幅度特性的变化趋势阻带过渡带通带阻带过渡带通带幅度变化趋势相同如原型滤波器的设计q=j，=/cs=jq=s/c例:设计高通模拟滤波器，要求fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性单调变化，fp处的最大波纹3dB，阻带衰减大于15dB。

模拟带通滤波器的通带上限和下限频率为Ωu和Ωl,通带宽度B=Ωu-Ωl,Ωs1和Ωs2分别为下阻带上限频率和上阻带下限频率,定义通带中心频率Ω02=ΩuΩl,归一化边界频率为:幅度变化趋势相同

模拟带阻滤波器的下通带截止频率和上通带截止频率为Ωl和Ωu,阻带宽度B=Ωu-Ωl,Ωs1和Ωs2分别为阻带下限频率和上限频率,阻带中心频率Ω02=ΩuΩl,归一化边界频率为:

•频率选择模拟滤波器设计步骤：给定所需类型(如高通)模拟滤波器的技术指标，转化成归一化指标转换成模拟低通滤波器的归一化技术指标（频率变换）设计归一化模拟低通滤波器（原型低通滤波器模拟低通滤波器转换成所需类型(如高通)模拟滤波器（频率变换）要求的频率选择(如高通)模拟滤波器不同的频率选择模拟滤波器归一化方式不同不同的频率选择模拟滤波器频率变换方式不同不同的归一化原型低通模拟滤波器不同的频率选择模拟滤波器频率变换和去归一化方式不同

IIR

滤波器设计的间接方法：三.冲激响应不变法设计IIR设计一参考模拟滤波器，其平方幅度函数满足要求的特性，由此得到其传输函数Ha（s)

检验所设计的|H（ejω）|2

是否满足要求复数映射：将传输函数Ha(s)

转换成待设计数字滤波器系统函数H(z）结束是否●脉冲响应不变法●双线性变换法。。。●模拟低通●模拟高通●模拟带通●模拟带阻●数字低通●数字高通●数字带通●数字带阻

冲激响应不变法

方法：使待设计的数字滤波器的冲激响应h（n）为参考模拟滤波器冲激响应ha（t）的等间隔采样序列

如果稳定因果模拟滤波器的传输函数为Ha（s），则所求数字滤波器系统函数H（z）与h（n）：如果H（z）的各极点是单极点，则H（z）可划分为部分式之和ha（t）其中Ak为H（z）在极点pk处的留数，因此因果Ha（s）与ha（t）：其中Ak’为Ha（s）在极点sk处的留数，则信号与系统有关知识因果由于h（n）=ha（nTs），则待定系数法得：

Ak=Ak’，

pk=eSkTsS平面的极点sk

映射到Z平面后即为极点pk=eSkTs，且Ha（s）与H（z）的部分分式系数(留数)相等。Z变换与拉氏变换的关系：设ha(t)

的理想采样信号为的拉式变换z变量与s变量的关系数字频率与模拟频率的关系:由h（n）=ha（nTs），故设则0j3/Ts/Ts-/Ts-3/TsS平面Re[z]jIm[z]01-1S平面复数映射多值映射特性:关于s变量：如果s变量的实部小于0，映射为|z|〈1（单位圆内）；如果s变量的实部等于0，映射为|z|=1

（单位圆）；如果s变量的实部大于0，映射为|z|〉1

（单位圆外）。

结论：如果模拟滤波器是稳定的(sk在S平面左半部)值小于1，位于单位圆以内，也是稳定的。虚部相差的带状区映射成整个Z平面。S平面中每一带状区的左半边映射为Z平面单位圆内，右半区映射为单圆外

(多对一映射)。

结论：如果模拟滤波器不是带限的，映射后频谱混叠出现。冲激响应不变法中频率呈线性关系，即结论：频率模仿呈线性关系。

如果是带限且当那么此时，变换不会改变原来的相位特性。否则频谱会出现交叠（S平面到Z平面的多值映射造成的

），引起频率响应失真此方法只适合于带限滤波器的设计。数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，根据抽样定理只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时不产生混迭失真。采样及其频谱例：利用冲激响应不变法（这里Ts为实系数且Ts>0）可将模拟参考滤波器转换函数Ha(s)

映射为数字滤波器系统函数H(z)。试证明：若模拟参考滤波器是稳定的，映射后的数字滤波器也是稳定的。思路：若模拟参考滤波器是稳定的，则其任意极点sk在左半平面，即Re{sk}<0；只要能证明映射到Z平面的极点pk的模小于1，即|pk|<1，结论便得证。•用冲激响应不变法设计一个低通数字滤波器给定低通数字滤波器的特性要求为ωp,ωs,Rp

和

As,首先设计一个参考模拟滤波器，然后将其映射为数字滤波器，其步骤为1.选择

Ts

并确定模拟滤波器性能指标:

Ωp=ωp/Ts,Ωs=ωs/Ts,Rp

和As指标不作变化.2.用几种原型低通滤波器（巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器）之一设计满足性能指标的参考模拟低通滤波器

Ha(s).3.用部分分式和表示Ha(s)

为4.变换模拟极点

{sk}为数字极点{eskTs}

，从而获得数字滤波器5.验证数字滤波器的性能指标是否满足要求。假定模拟滤波器Ha(s)的截止频率为fo，则Ts≤1/(2fo)。例：设计数字低通滤波器，要求通带、阻带具有单调下降特性。通带内频率低于0.2rad时，容许的幅度误差在1dB以内；频率在0.35到之间的阻带衰减大于10dB。采用冲激响应不变法设计。确定数字低通滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标设计巴特沃兹模拟低通滤波器冲激响应不变法转换成数字低通滤波器验证所设计的数字低通滤波器是否满足要求Ts的取值对数字滤波器的频谱影响不大，但在折叠频率ω=π处有频率混叠。阶跃响应不变法

方法:使数字滤波器的阶跃响应hs(n)为模拟滤波器的阶跃响应hsa(t)的等间隔采样序列.模拟滤波器的阶跃响应及拉氏变换为

对应数字滤波器阶跃响应Z变换:由于求数字滤波器系统函数的步骤:把Hsa(s)=Ha(s)/s展开为部分分式(Ak’,sk)把Hs(z)表示为部分分式(Ak,pk)利用Ak=Ak’,pk=eSkTs,用待定系数法求Hs(z)将Hs(z)乘(z-1)/z得到H(z).•匹配Z变换法方法:将S

平面的极点和零点直接映射到Z平面的极点和零点,即S平面上形如(s-sk)的点,映射到Z平面上的点为(1-eskTsz-1).即把S平面上s=sk的极点和零点，映射为Z平面上的极点和零点zk=eskTs.Ts为采样周期。形如(s+a-jb)(s+a+jb)的共轭极点和零点映射到Z平面后的极点和零点为(1-2e-aTscosbT+e-2aTsz-2)假如给定模拟滤波器的传输函数为则转移成的数字滤波器系统函数为(直接映射)或

微分映射法

方法：把模拟系统的微分方程用数字系统的差分方程代替：即反向差分：用[y(nTs)-y(nTs-Ts)]/Ts代替的变换，相当于如果Ha(s)是稳定的H(z)稳定。只有在低频部分，模拟频率和数字频率才近似相等。ImRe●冲激响应不变法的缺陷：

四.双线性变换法设计IIR冲激响应不变法得到的数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应以2π/Ts

的周期延拓，当模拟滤波器的频率响应不是限带于折叠频率±π/Ts

，产生频谱混叠混迭失真。数字滤波器的频谱偏离模拟滤波器的频谱。如果能将模拟频率轴压缩到±π/Ts

之间，再用z=esTs

转换到Z平面上，就不会产生频谱混叠混迭失真。●方法:

将模拟频率轴压缩到±π/Ts

之间，可用正切变换实现频率压缩：

Ω1从-π/Ts经过0

变换到+π/Ts

，Ω则由-∞经过0变换到∞，实现了S平面整个虚轴到S1平面上虚轴的±π/Ts

之间的转换。由上式可得上式将S平面变量s映射到Z平面变量z，称为双线性变换。虽然映射一次完成，但可理解为经过两次变换：●模拟频率Ω与数字频率ω的关系:

令s=jΩ,z=ejω,带入双线性变换，可得：模拟频率Ω与数字频率ω形成正切关系，如图所示。在

ω=0

附近，接近线性关系。当ω增加时，Ω的增加越来越快，当ω趋于π时，Ω趋于∞，正是这种非线性关系，消除了频谱混叠现象。这种正切频率变换使得数字频率响应不能保真地模仿模拟滤波器的频率响应。即Ω在-∞

至∞的频谱,压缩成ω在-π至π的范围内的频谱。低频展宽高频压缩●双线性变换法的优缺点：优点：整S左平面一一对应映射到Z平面单位圆内，是一种稳定映射且无频域混叠：对模拟滤波器类型无限制。缺点：频率之间的关系非线性（正切变换），线性相位的滤波器经双线性变换后，得到非线性相位的数字滤波器。若设计指标中的边界频率是以数字频率给出的，则必须按正切关系求出模拟滤波器的设计的边界频率，即“预畸变校正”，只有这样，才能保证设计的Ha(s)用双线性变换法转换成的数字滤波器H(z)的频率响应满足设计指标例：利用双线性变换（这里为实系数且

>0）可将模拟参考滤波器转换函数Ha(s)

映射为数字滤波器系统函数H(z)。试证明：若模拟参考滤波器是稳定的，映射后的数字滤波器也是稳定的。证明：因，有假定模拟参考滤波器Ha(s)是稳定的，那么其所有极点在S平面左半面，即由于为实系数且

>0，借助下面的矢量图，有

|Re{τ+s}|=|τ-|a||<|Re{τ-s}|=τ+|a||Im{τ+s}|=|b|=|Im{τ-s}|=|b|故根据勾股定理，有数字滤波器系统函数H(z)的极点z的模说明数字滤波器极点在单位圆内，故数字系统稳定。（获证）例：假设Ha(s)为模拟低通滤波器，又知，则H(z)为哪种频率选择数字滤波器?

解:如果将模拟低通滤波器Ha(s)转换为