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文档简介
1-1PartialDifferentialEquations(PDE)
1-1-1PartialDifferentialEquationsandTheirOrders
Introduction
Ordinarydifferentialequation(theODEforshort)isadifferentialequationthatcontainsoneormorederivativesofthedependentvariable(inadditiontothedependentvariableandtheindependentvariable).含自变量,未知函数及其导数应变量dependentvariable
自变量independentvariableTheorder(阶)ofanordinarydifferentialequationistheorderofthehighest-orderedderivativeappearingintheequation.Adifferentialequationthatcontains,inadditiontothedependentvariableandtheindependentvariables,oneormorepartialderivativesofthedependentvariableiscalledapartialdifferentialequation,thePDEforshort(偏微分方程)Theorderofthehighest-orderedpartialderivativeappearingintheequationiscalledtheorderofthePDEIndependentanddependentvariablesmaynotappearinaPDE.APDEmustcontain,however,atleastonepartialderivativeofthedependentvariable.Foranunknownfunctionoftwoindependentvariables,arethefirst-order,thesecond-orderandthethird-orderPDE,respectively.
Thek-thorderPDEofanunknownfunctionofindependentvariablescanbewritteninageneralform
Three-dimensionalwaveequation:two-dimensionalheat-conductionequation:
two-dimensionalandthethree-dimensionalLaplaceequations:two-dimensionalandthethree-dimensionalPoissonequationsthedual-phase-laggingheat-conductionequation:双相滞热传导方程
1-1-2Linear,NonlinearandQuasi-Linear
(拟线性)Equations
AnODEcanbelinear,nonlinearAPDEcanbelinear,nonlinear,quasi-linear.APDEissaidtobelinearifitislinearintheunknownfunctionandallitsderivatives;
nonlinearequation;Anonlinearequationissaidtobequasi-linearifitislinearinallhighest-orderedderivativesoftheunknownfunction.
LinearPDE:
NonlinearPDE:Quasi-linearPDE:Quasi-linearPDEisnonlinearequation.PDEwithconstantcoefficients
PDEwithvariablecoefficients
Thegeneralsecond-orderlinearPDEinnindependentvariableshastheform:
Homogeneous(齐次的)PDE
Else,Nonhomogeneous(非齐次的)PDE
NotethatthedefinitionofhomogeneityisonlyforthelinearODE,PDE1-1-3SolutionsofPartialDifferentialEquations
AfunctioniscalledaclassicalsolutionofthePDE,asolutionforshort,ifithascontinuouspartialderivativesofallordersappearinginaPDEandsatisfiestheequation.此处要注意常微分方程和偏微分方程的解中常数的含义。ODE:常数是数,
PDE:常数是任意函数。已知:求解:此处注意复合函数求导;该方程有无数个解,求解PDE的特解,不像ODE那样先求通解,再求特解。而是直接从方程和物理条件出发求特解。已知:求解:变换:
1-1-4ClassificationofLinearSecond-Order
Equation
elliptic,parabolic,orhyperbolic
elliptic,parabolic,orhyperbolic
elliptic,parabolic,orhyperbolic
Tricomiequation:从另一角度(二次型)看方程的分类:characteristicequation:
elliptic,parabolic,orhyperbolic
两个特征根同号;有0特征根;异号Example1:Example2:Solution:Example3:Solution:Solution:thesecond-orderlinearpartialdifferentialequationinindependentvariablesiselliptic,parabolic,orhyperbolicatapointaccordinglyas1.allncharacteristicrootsarewiththesamesign,2.thereisavanishedcharacteristicroot,3.orncharacteristicrootshavedifferentsignsbut(n-1)characteristicrootsarewiththesamesign
1-1-5CanonicalForms(见另一课件)withasthecoefficientsofsecond-orderderivatives
运用复合函数求导算一下上面两式有相同的形式:c
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