《0°45°60°角的三角函数值》设计

30°，45°，60°角的三角函数值课题30°，45°，60°角的三角函数值授课人教学目标知识技能1.记住特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值；2.能由特殊角求三角函数值和由三角函数值求角度.3.了解互余两角的三角函数间的关系．数学思考在探究特殊角的三角函数值的基础上既要会由角度求三角函数值，又要会由三角函数值求角度，同时注意思考角的度数的变化引出的三角函数值的变化．问题解决通过观察、测量直角三角形的30°，45°，60°角的各边的长度，探究出特殊角的三角函数值，并能进行简单的应用．情感态度培养学生数形结合的能力和探究问题的能力，体验三角函数的应用价值．教学重点特殊角的三角函数值.教学难点准确计算由特殊角的三角函数组成的式子的值．授课类型新授课课时1课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.已知：如图23－1－62，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA＝__eq\f(a,c)__，cosA＝__eq\f(b,c)__，tanA＝__eq\f(a,b)__．图23－1－62图23－1－632.如图23－1－63，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝2，那么c＝__4__，b＝__2_eq\r(3)__.学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】1．设你手上的30°角的三角板的最短边长是1，则最长边长是__2__，第三边长是eq\r(3)，那么sin30°＝__eq\f(1,2)__，cos30°＝__eq\f(\r(3),2)__，tan30°＝__eq\f(\r(3),3)__；sin60°＝__eq\f(\r(3),2)__，cos60°＝__eq\f(1,2)__，tan60°＝__eq\r(3)__．2．设你手上的45°角的三角板的直角边长是1，则斜边长是__eq\r(2)__，那么sin45°＝__eq\f(\r(2),2)__，cos45°＝__eq\f(\r(2),2)__，tan45°＝__1__.鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受30°，45°，60°角的三角函数值，同时让学生根据三角板活记这些特殊角的三角函数值.活动二：实践探究交流新知【探究1】如图23－1－64，观察一副三角板：图23－1－64它们共有几个锐角？分别是多少度？(1)sin30°等于多少？(2)cos30°等于多少？(3)tan30°等于多少？与同伴交流你是怎么想的，又是怎么做的．α30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)(5)sin45°，sin60°等于多少？(6)cos45°，cos60°等于多少？(7)tan45°，tan60°等于多少？【活动总结】1.本探究的设计意图在于引导学生通过自主探究，合作交流，对具体问题从形象到抽象认识，训练学生从实际问题中抽象出数学知识．旨在培养学生的问题意识，提高学生的抽象思维能力．同时不妨设两个三角板的最短边长为单位1，推导出特殊角的三角函数值.2.对于特殊角的三角函数表，最好让学生自己填写，并记住.活动二：实践探究交流新知【探究2】已知锐角α，那么下列结论正确的个数是(A)(1)sinα的值比0大，但比1小；(2)tanα的值是正值；(3)0＜cosα＜1；(4)sin2α＋cos2α＝1.A．4B．3C．2D．1图23－1－65[解析]把锐角α放在Rt△ABC中，如图23－1－65，(1)∵sinα＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(BC,AB)＞0，BC＜AB，∴sinα＜1；(2)∵tanα＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(BC,AC)，∴tanα＞0；(3)∵cosα＝eq\f(AC,AB)＞0，AC＜AB，∴0＜cosα＜1；(4)∵sinα＝eq\f(BC,AB)，cosα＝eq\f(AC,AB)，BC2＋AC2＝AB2.∴sin2α＋cos2α＝eq\f(BC2,AB2)＋eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(BC2＋AC2,AB2)＝1.∴(1)(2)(3)(4)均正确，故选A.【活动总结】1．互余两角的三角函数间的关系：sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．2．同角的三角函数间的关系：sin2α＋cos2α＝1；tanα＝eq\f(sinα,cosα).教师深入到学生中对需要帮助的学生进行指导.3.同角的三角函数间的关系可针对学生的情况，酌情添加.活动三：开放训练体现应用【应用举例】1．利用特殊角的三角函数值计算例1计算：(1)2sin30°＋3cos60°＋tan45°＝__eq\f(7,2)__；(2)sin30°＋cos30°＝__eq\f(1＋\r(3),2)__；(3)eq\r(sin260°－2sin60°＋1)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－sin30°))＝__eq\f(3－\r(3),2)__．2．已知特殊角的三角函数值求锐角例2(1)已知sinA＝eq\f(1,2)，则∠A＝__30°__；(2)已知tanA＝1，则∠A＝__45°__；(3)已知cosB＝eq\f(1,2)，则∠B＝__60°__；(4)eq\f(\r(3),2)＝sin__60°__＝cos__30°__；1.熟记特殊角的三角函数值是解答此类题的关键，学会准确地计算此类问题，教学中要特别强调准确．(5)已知β为锐角且eq\r(3)sin(β－15°)＝eq\f(3,2)，则β＝__75°__；(6)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)sinA－1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tanB－\f(\r(3),3)))＝0，∠A，∠B为△ABC的内角且为锐角，则∠C＝__105°__；(7)已知α为锐角，且tan2α－(1＋eq\r(3))tanα＋eq\r(3)＝0，则α＝__45°或60°__．3．利用同角三角函数的关系求三角函数值例3已知sinA＝eq\f(3,5)，∠A是锐角，求：(1)cosA；(2)tanA.解：(1)因为sin2A＋cos2A＝1，所以cos2A＝1－sin2A.所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq\f(4,5).(2)因为tanA＝eq\f(sinA,cosA)，所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(3,4).2.可以安排学生做些前边的变式题，例3酌情讲解.【拓展提升】例4计算：eq\f(1,sin60°－cos45°)＋eq\f(1,sin45°＋cos30°).[答案]4eq\r(3)例5[湛江中考]阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，则sin230°＋cos230°＝__1__；①sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，则sin245°＋cos245°＝__1__；②sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，则sin260°＋cos260°＝__1__；③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．④(1)如图23－1－66，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；(2)已知∠A为锐角(cosA＞0)且sinA＝eq\f(3,5)，求cosA.图23－1－66图23－1－67[解析]先具体计算，从计算中归纳出规律，再进行证明，最后再加以运用．解：(1)如图23－1－67，过点B作BH⊥AC于点H，例4通过复杂三角函数值的计算，培养学生认真细致的计算能力．例5主要是借助特殊角的三角函数值培养学生的阅读能力和归纳探究能力.

(续表)活动三：开放训练体现应用则BH2＋AH2＝AB2，sinA＝eq\f(BH,AB)，cosA＝eq\f(AH,AB)，∴sin2A＋cos2A＝eq\f(BH2,AB2)＋eq\f(AH2,AB2)＝eq\f(BH2＋AH2,AB2)＝1.(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝eq\f(3,5)，∴cos2A＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,25).∵cosA>0，∴cosA＝eq\f(4,5).活动四：课堂总结反思【当堂训练】1.课本P118中的练习．2.课本P119中的练习．当堂检测，及时反馈学习效果.【课堂小结】特殊角的三角函数值表三角函数锐角αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)互余两角的三角函数间的关系：sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[