《整数指数幂及其运算》案例

《整数指数幂及其运算》教学案例教学目标：理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的意义与运算性质，能运用性质与意义进行简单代数式运算和变换。通过设置问题情景发现正整数指数幂的的局限性，经历幂指数的扩充过程，体验数学研究逐步完备的科学过程；通过类比迁移正整数指数幂的运算性质，初步体会类比思想研究数学问题的方法，培养思维的深刻性；教学重难点：重点：负整数指数幂的意义；整数指数幂的运算难点：运用负指数幂的意义进行代数式变换四、教学过程：（一）课题引入、激发兴趣师：出示实际问题：某一个小区规划在小区中心建造绿地和活动场所，准备建造成一个长方形形状，长是27米，宽是25米，问：（1）面积是多少？（2）长是宽的几倍？（3）宽是长的几分之几？(同学们在课堂练习本上完成，老师巡视，注意每个同学的答案，同时加以适当的提示。)（二）类比联想、形成概念生：（1）S=27×25=27+5=212(米2)依据：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（2）27÷25=27-5=22依据：同底数幂相除，底数不变，指数相减。（3）25÷27=？（黑板上老师边提问，边板书。）生：第一种结果25÷27=2-2依据：同底数幂相除，底数不变，指数相减。第二种结果：25÷27==依据：分数与除法的关系师：第二种答案是运用了分数与除法的关系计算，而第一种答案,在我们第一节课学习时不含有负指数，那么，为了使同底数幂除法法则在m、n是正整数，m<n时同样成立，所以，我们认为这两种结果应该相等：即2-2=例如：33=3或3=练习：（口答）下列等式是否成立？如果不成立，如何改正？（学生做在预先发下去的练习纸上，老师边提问边板书，学生口答）（1）（）=2（2）（）=3（3）（）=（4）（）=思考1：请同学们观察以上几题，你可以发现什么规律了？生：（观察讨论，发现规律）当底数是分数、指数是负数时，可以先把底数倒数，化为正指数幂，然后计算乘方。师：回答了很对，我们从意义上来推导证明一下：a=(a)=()生：自己举例（在课堂练习本上），同桌之间互相加以验证。老师提问，板书。说明：这里我根据教材上的引入，加入实际问题，引发学生思考。让学生在思考中发现规律。然后老师提供口答题，让学生进一步发现强化这个规律。为了严密性，让学生同桌之间互相举例再一次进行验证这个规律。从而推导出整数指数幂的意义。*引出负整数指数幂并规定它的意义：*规定：a-p=(a≠0,p是正整数)这样，到现在为止，在a≠0时，a中指数可以是正整数，零和负整数，这就是说扩充为整数指数幂。说明：负整数指数幂的意义是一种规定。引入时以复习同底数幂乘除法为基础，充分展示知识发生的过程，让学生亲身经历探究从正整数指数幂扩充到整数指数幂的过程，这样有利于学生深入理解引入负整数指数幂的必要性和合理性，并把握住新旧知识之间的实质性联系。例题1：将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：说明1：我设计安排时觉得在讲解好意义后，先把教材上的例题2作成第一道例题，让学生对意义有一个简单的运用巩固。教材上原来的例题1我觉得把它放到后面，起到对整数指数幂性质的巩固作用。由于第一课时内容比较多，所以把教材上的例题3放到第二课时去，这样比较好。说明2：这个例题是在上面口答题——数字运算的基础上，让学生尝试对含有字母的代数式进行变形，增强学生对字母的变换能力。第一小题我排了简单的只含有一个字母；第二小题含有两个字母的乘积，其中一个字母的指数是负指数，另一个字母的指数是正指数；第三小题是一个多项式的负指数。这样三种不同类型题的运算，更有利于学生充分理解掌握整数指数幂的意义。（三）猜想探索、推导性质（整数指数幂的性质运用）师：前面学过的幂的运算性质对整数指数幂仍就适用。例如：a•a=a(m、n是整数，a≠0)aa=a(m、n是整数，a≠0)(a)=a（m、n是整数，a≠0）(ab)=ab（m、n是整数，a≠0）师：边讲解边板书例如：33=3=3其他性质也照样适用。师：也就是说，前面学过的正整数幂的运算性质对整数指数幂仍然成立。（四）巩固练习、应用性质例题2：计算说明：本道例题是对性质的简单运用。第一题是简单的数字运算；第二题出现了底数不同的情况，这就要求学生对性质很熟悉，充分理解“只有同底数幂才能运用性质”；第三题是运算后出现零指数幂。通过这三道题，对性质作一个简单巩固，让学生对性质有一个理解和运用。说明：本道例题是在前一题的基础上，进行一些较复杂含有字母的性质运用。第一题是幂的乘积；第二题是积的乘方；第三题是不同底数的运算。通过这三道题，对性质作进一步的巩固，让学生对性质的运用有一个延伸和拓展。（五）小结作业、拓展训练小结（1）每位同学先用2分钟时间仔细回忆本节课所学知识，后同桌之间互相交流。（2）把刚才交流的知识点在教科书上勾画出来，并且记忆。（3）再自我反思一下：还有哪些问题没有理解，把它记在问题本上？说明：我认为小结不应该仅仅停留在表面形式上，而是应该让学生做到真正的对本节课有一个认真的回顾、反思。而且应该从预备班就开始慢慢培养学生的问题意识。因此去年我们整个备课组就开始要求学生每天每周对所学知识作一个回顾，然后把所有问题都记录在问题本上，老师定期给予解答。尽管一年下来，学生的问题并不多，但和刚开学相比，学生提问题的水平和数量已经有了明显提高。相信四年后学生会学会到底该怎样学习？这对于将来他们进入高中学习有很大帮助。我觉得我们教师的任务应该是教会学生学习方法、学习态度，而不仅仅只有知识。2、作业：（1）练习册：习题（2）拓展训练练习1：计算：2-2（x+y）-(x-y)练习2：已知x+x=3,求x+x的值说明：这两题我把前一章所学知识（公式）和本节课知识点相联系在一起，考察学生的综合应用能力。这两个练习可以根据具体上课时间来决定，有时间可以在上课时集体讨论一下，如果时间仓促的话可以作为课后思考题。教学设计说明与反思：本节课的情景设计从具体的几何题目出发，通过提出问题，引起同学们的思考，引发同学们的兴趣，由学生自主展开探索思考活动，教师组织交流、引导和归纳总结的形式来开展教学活动。学生活动具有高度的自主性，让学生从数学知识的迁移、扩充上渐渐培养探究能力、主动求知能力。本节课从学生的反馈上来看基本达到了预期的教学目标。在学生探究过程中，在新的数学知识产生的中，教师勇于花大量的时间，让学生自主探索、思考、推导，这样有利于学生深入探究，展现知识产生的过程，有利于学生探索能力的培养。本节课在设计问题时，提问的艺术性、技巧性还需进