不等式的基本性质及解法

WordWord资料WordWord资料不等式的基本性质及解法适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点不等式的基本性质及定理、不等式的解法教学目标.理解证明不等式的逻辑推理方法..掌握各类不等式的解法.教学重点.掌握/、等式性质定理..一元二次不等式、分式不等式、高次不等式解法.教学难点.正确地对参数分区间讨论..灵活运用所学知识点解决问题.教学过程一、新课导入初中,我们学习了一元一次不等式（组）;已经掌握了不等式（组）的基本性质及解法.从本节开始，我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念，学习其他几种不等式的解法.二、复习预习.不等式的定义..不等式的基本性质..不等式的基本定理及推论.一元二次不等式解法..分式不等式解法..高次不等式解法..无理不等式解法..指对数不等式解法.三、知识讲解考点1不等式的定义及比较大小.不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式.说明：(1)不等号的种类：>、<、>(<)><(>)、丰.(2)解析式是指：代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等)(3)不等式研究的范围是实数集R.2,判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b,在a>b,a=b,a<b三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:TOC\o"1-5"\h\za b a b 0a b a b 0a b a b 0Word资料WordWord资料WordWord资料考点2不等式的基本性质定理1如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.（对称性）即：a>bb<a；b<aa>b定理2如果a>b,且b>c,那么a>c.（传递性）即a>b,b>ca>c定理3如果a>b,那么a+c>b+c.即a>ba+c>b+c推论如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.（相加法则）即a>b,c>da+c>b+d.定理4如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推论1如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.（相乘法则）推论2若ab0,则anbn（nN且n1）定理5若ab0,则夜顿n N且n1）WordWord资料考点3一元二次不等式ax2bxc>0(a#0)任何一个一元二次不等式，最后都可化为：ax2bxc>0或ax2bxc<0(a>0)的形式，一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关：⑴若判别式A=b2-4ac>0,设方程ax2bxc=0的二根为x1,x2(x1<x2)，则①a>0时，其解集为｛x|x<xi,或x>xz｝;②a<0时，其解集为｛x|xi<x<x2｝.(2)若右0,则有:①a>0时，其解集为｛x|3-b,x€R｝；a②a<0时，其解集为.(3)若右0,则有:①a>0时，其解集为R;②a<0时，其解集为.类似地，可以讨论ax2bxc<0(a*0)的解集.Word资料考点4绝对值不等式的解法不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解集1|x|<a(a>0)的解集为:{x|-a<x<a},几何表示为:.|x|>a(a>0)的解集为：{x|x>a或x<-a},几何表示为：考点考点5分式不等式解法WordWord资料考点考点5分式不等式解法WordWord资料⑴⑵⑶⑷曲>0 f(x)g(x)>0;g(x)0<0 f(x)g(x)<0;g(x)310 f(x)g(x)0；g(x) g(x)0f(x) f(x)g(x)0 捻0g(x) g(x)0考点考点6高次不等式WordWord资料考点考点6高次不等式WordWord资料根轴法：奇穿偶不穿考点考点7无理不等式WordWord资料考点考点7无理不等式WordWord资料f(x)f(x)0定义域f(x)g(x)0f(x)g(x)..f(x)g(x)型f(x)g(x)f(x)00或2[g(x)]2f(x)

g(x)，f(x)g(x)，f(x)g(x)型g(x)02f(x)[g(x)]2考点考点8指对数不等式WordWord资料考点考点8指对数不等式WordWord资料指数不等式:转化为代数不等式f(x)g(x)aa(a1)f(x)g(x);

af(x)b(a0,b0)f(x)1ga对数不等式：转化为代数不等式f(x)010gaf(x)1Ogag(x)(a1)g(x)0f(x)g(x)

f(x) g(x),aa(0a1)f(x)g(x)1gbf(x)010gaf(x)1Ogag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)WordWord资料【规范解答】【规范解答】WordWord资料四、例题精析考点1不等式的定义及比较大小例1已知XW0,比较（x2+1）2与X4+X2+1的大小.由题意可知：（X2+1）2—（X4+X2+1）=（X4+2X2+1）—（X4+X2+1）=x4+2x2+1—X4—X2—12二X.xW0「x2〉。（X2+1）2—（X4+X2+1）>0（x2+1）2>x4+x2+1*【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的X有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.例2比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)2 -b--(a-b) .3a—,32b- 0（当且仅当d=b时取等号）•.a4-b44a3(a-b)【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法【总结与反思】“变形”例3已知x>y,且yw0,比较x与1的大小..yx1x^yyyx>y,•.x-y>0当y<0时，y<0,即-<1y y当y>0时，二上>0,即x>1y y.【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论考点2不等式的基本性质例4已和a>b>c>d>0,且旦—,求证：a+d>b+cbd•acbd.abcdbd(a—b)d=(c—d)b*又<a>b>c>d>0..a-b>0,c—d>0,b>d>0且^>1d.•.3jcdd..a—b>c—d即a+d>b+c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速 ,这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧 ^例5已知函数f(x)ax2c,-4&f(1产-1,-1&f(2尸5,求f(3)的取值范围.acf(1)4acf(2)8 5 ...••f(3)9acf(2)f(1)3 3Vacf(1)4acf(2)8 5 ...••f(3)9acf(2)f(1)3 3V-4<f(1)<1,故(1)(5)3又-1&f(2)<5,故88f(2)33解得1. .-[f(2)f(1)]f(2)43f(1)5 5.(”1)(4)(-)3 3403把⑴和(2)的各边分别相加,得:, 8 5-K8f(2)5f(1)0203 3所以，-1<f(3)<20*【总结与反思】利用f(1)与f(2)设法表示a、c,然后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1)与f(2)来表示f(3),最后运用已知条件确定f(3)的取值范围.考点考点3 一元二次不等式不等式的解法WordWord资料考点考点3 一元二次不等式不等式的解法WordWord资料例6解关于x的不等式x2 xa(a1)0.考点考点4绝对值不等式的解法WordWord资料【规范解答】【规范解答】WordWord资料原不等式可以化为：(xa1)(xa)01一右a(a1)即a-则xa或x1a211 1右a(a1)即a-则(x-) 0即x-,xR2 2 2右a(a1)即a-则xa或x1a.【总结与反思】结合二次函数图象求解，注意分类讨论例7解不等式|2x+1|+|x-2|>41|2x+1|+|x-2|>4x2(2x1)(x2)42x1(x2)x<-1或1<x02或x>2x<-1,或x>1.故原不等式组的解集是{x|x<-1或x>1}.【总结与反思】解含多个绝对值符号不等式的方法之一是：分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果.WordWord资料WordWord资料例8解不等式|x25x5|<1考点考点5分式及高次不等式的解法WordWord资料【规范解答】【规范解答】WordWord资料原不等式可转化为-1<原不等式可转化为-1<x25x5<1即x25x51dx25x5 1②解不等式①，得解集为{x[1<x<4};解不等式②，得解集为{x|x<2,或x>3}.原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即{x|1<x<4}n{x|x<2,或x>3}={x|1<x<2,或3<x<4}.故原不等式的解集是：{x|1<x<2,或3Vx<4}.【总结与反思】解不等式时，一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系 •在本例中，不等式①和不等式②是“交”的关系，必要时可借助数轴的直观作用.特别要注意不等式是否带“=”号，只有这样，才能更准确无误地写出不等式的解集.例9解不等式x23x2<0x22x3根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为(x2—3x+2)(x2—2x—3)<0即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0令(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0可得零点x=—1或1,或2或3,将数轴分成五部分(如图)由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|—1<x<1或2<x<3}.【总结与反思】注意根轴法--奇穿偶不穿.考点考点6无理不等式的解法WordWord资料考点考点6无理不等式的解法WordWord资料例10解不等式，3x4Jx30.WordWord资料【规范解答】【规范解答】WordWord资料:根式有意义・•・必须有：3xx又丁原不等式可化为J3x4』x3两边平方得：3x4x3解之：x-2一 1、・・{x|x3}{x|x}{x|x3}.2【总结与反思】对于无理不等式，注意根式有意义的条件，然后平方再求解考点7指对数不等式的解法例11解不等式3x1183x29.原不等式可化为：332x293x180即(3x9)(33x2)02解之3x9或3x2.32x>2或xlog3一32・..不等式的解集为{x|x>2或xlog3-}3【总结与反思】解指数不等式，要结合指数函数的图像与性质综合处理例12解关于x的不等式：loga(43xx2)loga(2x1)loga2,(a0,a1)原不等式可化为lOga原不等式可化为lOga(43xx2)loga2(2x1)当a>1时有:2x10243xx2043xx22(2x1)当0<a<1时有:12x1022x10243xx202 __43xx 2(2x1)21x4 2x4*x3或x2・•・当a>1时不等式的解集为1x2；2当0<a<1时不等式的解集为2x4.【总结与反思】因为底数的不确定，所以要注意分类讨论课程小结.研究了如何比较两个实数的大小，在某些特殊情况下（如两数均为正，且作商后易于化简）还可考虑运用作商法比较大小，作商法是判断商值与1的大小关系..不等式的性质定理及其推论：理解不等式性质的反对称性（a>bb<a=、传递性（a>b,b>ca>c）、可加性（a>ba+c>b+c）、加法法则（a>b,c>da+c>b+d）,并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法 ..掌握不等式性质的应用