回归方程及回归系数的显著性检验

§3回归方程及回归系数的显着性检验1、回归方程的显着性检验（1）回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后，回归效果如何呢因变量了与自变量办孙…，%是否确实存在线性关系呢这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定，为此，我们要进一步研究因变量了取值的变化规律。『的每次取值及世=12…府是有波动的，这种波动常称为变差，每次观测值内的变差大小，常用该次观侧值也与足次观测值的平均值丁的差器寸（称为离差）来表示，而全部门次观测值的总变差可由总的离差平方和§用三二⑪上一行二苫⑪工一涯产十£如一用"=旦十订仁匕1I,其中:空LT=V0ijt-J）2皿称为回归平方和，是回归值还与均值下之差的平方和，它反映了自变量鹏称…的变化所引起的下的波动，其自由度力=陋（阳为自变量的个数）。0=2=做一无产口称为剩余平方和（或称残差平方和），是实测值了土与回归值也之差的平方和，它是由试验误差及其它因素引起的，其自由度用="巾一1。总的离差平方和切的自由度为11。如果观测值给定，则总的离差平方和如是确定的，即是确定的，因此仃大则小，反之，仃小则电大，所以与都可用来衡量回归效果，且回归平方和越大则线性回归效果越显着，或者说剩余平方和◎越小回归效果越显着，如果=0,则回归超平面过所有观测点；如果◎大，则线性回归效果不好。复相关系数为检验总的回归效果,人们也常引用无量纲指标金¥%,或V士用，正称为复相关系数。因为回归平方和仃实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”，因此M就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例，因此於表示全部自变量与因变量了的相关程度。显然川应wi。复相关系数越接近1,回归效果就越好，因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。但应注意，立与回归方程中自变量的个数网及观测组数有关，当足相对于并不很大时，常有较大的於值，因此实际计算中应注意与的适当比例，一般认为应取门至少为的5到10倍为宜。⑶F检验要检验了与曰5…"朋是否存在线性关系，就是要检验假设Hq：A=饱='"=/m=°,当假设死成立时，则『与鬼电…无线性关系，否则认为线性关系显着。检验假设应用统计量-m-1）这是两个方差之比，它服从自由度为巾及”如T的F分布，即用此统计量产可检验回归的总体效果。如果假设为成立，则当给定检验水平a下，统计量F应有对于给定的置信度a,由F分布表可查得电融”mT的值，如果根据统计量算得的值为八及（明”融一1）,则拒绝假设，即不能认为全部"为0,即加个自变量的总体回归效果是显着的,否则认为回归效果不显着。利用尸检验对回归方程进行显着性检验的方法称为方差分析。上面对回归效果的讨论可归结于一个方差分析表中,如表。表方差分析表平方和自由度方差方差比平方和自由度方差方差比根据五与的定义，可以导出与的以下关系:F=—_,及=I诃y（v一战一1）■!■制乒利用这两个关系式可以解决£值多大时回归效果才算是显着的问题。因为对给定的检验水平。，由F分布表可查出的临界值F*然后由即可求出的临界值：艮=]哂,当R、吃时，则认为回归效果显着。例利用方差分析对例的回归方程进行显着性检验。方差分析结果见表。表来源平方和自由度方差方差比剩余总计取检验水平。=,查F分布表得月⑵1”三非，而，所以例的回归方程回归效果是显着的。2、回归系数的显着性检验前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果,但总体回归效果显着并不说明每个自变量％电…/她对因变量了都是重要的，即可能有某个自变量对并不起作用或者能被其它的心的作用所代替，因此对这种自变量我们希望从回归方程中剔除，这样可以建立更简单的回归方程。显然某个自变量如果对J作用不显着，则它的系数"就应取值为0,因此检验每个自变量々是否显着，就要检验假设：比)：禺=口，i=L2…"，⑴f检验：在图二口假设下，可应用f检验：I_国J而T-w-1)i=L2…中其中气为矩阵丁』初尸的对角线上第1个元素。对给定的检验水平a,从f分布表中可查出与a对应的临界值必，如果有党则拒绝假设飞，即认为用与0有显着差异，这说明方对了有重要作用不应剔除；如果有则接受假设瓦，即认为成立，这说明々对了不起作用，应予剔除。F检验：检验假设比的=分亦可用服从自由度分别为1与"%T的F分布的统计量瓦肛*吁0-1),其中先为矩阵(陶尸的主对角线上第工个元素。对于给定的检验水平a,从尸分布表中可查得临界及如果有，则拒绝假设，认为方对了有重要作用。如果耳工及(1，”*叭则接受假设，即认为自变量叼对了不起重要作用，可以剔除。一般一次尸检验只剔除一个自变量，且这个自变量是所有不显着自变量中值最小者，然后再建立回归方程,并继续进行检验,直到建立的回归方程及各个自变量均显着为止。最后指出，上述对各自变量进行显着性检验采用的两种统计量舄与“实际上是等价的,因为由式及式知,有用7n例对例的回归方程各系数进行显着性检验。经计算:<5251.73499.9?=1^3499.925如%

于是『陪=5-1=C0.002223-0.00305^于是『陪=5-1=C0.002223-0.00305^-0.003050.004577;其中口1=,=。由式知0.475/^004577=4012用,"L4-2-口查f分布表得，①蚣—m—D咦口网"1.冽g,因为=4.口12咕心(11)=广侬，所以两个自变量勺及都是显着的。又由"注，说明体长比胸围打对体重了的影响更大。如果应用尸检验，查分布表有^^中『北』，又由媾%]一"3加.电第一位]0(14—2—1)33.7/11',0.47^/0.004577_^09◎也4-2-1)33.7/11',因为耳=叩.口1>%如1)=4巴，因此鼻及都是显着的，均为重要变量,应保留在回归方程中。偏回归平方和检验某一自变量是否显着,还可应用偏回归平方和进行检验。巾个自变量办%…,/的回归平方和为仃-白如果自阳个自变量中去掉”，则剩下的个自变量的回归平方和设为，并设则屿就表示变量归在回归平方和中的贡献，称为的偏回归平方和或贡献。可以证明偏回归平方和％越大，说明灯在回归方程中越重要，对下的作用和影响越大，或者说对回归方程的贡献越大。因此偏回归平方和也是用来衡量每个自变量在回归方程中作用大小（贡献大小）的一个指标。例如在例中，勺和的偏回归平方和分别为无、的,说明在回归方程中勺的作用比大。又如在例中巩犯啊及的偏回归平方和分别为:里c22(-1.6