专题讲座《高三数学圆锥曲线综合题解题障碍及策略研究》

专题讲座《高三数学圆锥曲线综合题解题障碍及策略研究》

“取势、明道、优术”——高三数学圆锥曲线综合题解题障碍及策略研究（2020年6月12日）数学教学中的“取势、明道、优术”，意指教师要顺应数学教改的潮流；懂得数学育人的原则，掌握提高数学教学质量的规律；提高教育教学能力，优化数学教学方法。只有这样，才能使自己的教师专业化发展不断取得进步。一年一度的高考过后的热门话题是成绩，社会关注，媒体最爱，学校和教师心中总是百般滋味、爱恨交织。“以考为镜，可以明得失”，高考可以反馈、诊断和评价高三复习的成效与得失，作为一线教师更多地会从教学实践中反思自己的教学行为和复习得失。一、“成也基础，败也基础”是高考成败的不二定律“成也基础，败也基础”是每年高考过后最常听到的一句话，虽然每年高考数学的主基调基本稳定，不少考题类型见过、讲过、做过，可是考试结果还是伤痕累累，花了大工夫但收效不尽如人意。以圆锥曲线综合题为例，教学成效总是长期徘徊在较低水平上，成为高考数学丢分的大户，其中的酸甜苦辣只有亲历者才深有体会。解析几何涉及的基础面大、技巧多、运算繁、交汇多，一个问题的理解与解决，往往生发于简单，却纷繁于变化，“一千个观众就有一千个哈姆雷特”，作图、设点、列式求值、检验、作答，每一步看似都是“规定动作”，演变却各有巧妙，得分也是天差地别。

例如（2018年高考全国卷理19）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程。分析：第（1）问第（2）问，在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切。该题第(1)问考查了直线与抛物线的位置关系和抛物线定义，第(2)问重点考查圆的几何性质和方程的思想。就试题难度而言，只能属中低档题，但是考后调查发现，考生普遍得分在5分到7分之间，可见得分并不高。失分原因何在?一是求直线斜率用的是弦长公式而不是抛物线定义，运算量增大导致结果错误，二是缺乏整体消元意识，导致二元二次方程组不会解或错解。本质上，失分的主要原因是抛物线的定义没用上，以及运算能力不强。当下“基础”问题常见的有以下病症和纠结:(1)任务焦虑症(2)盲目追高症(3)低质重复症（4）目标窄化症(5)教学浅表化，等等。抓好基础难就难在教学中各种因素和关系的平衡与理顺。基础与提高、讲评与练习、时间与空间、教材与教辅、培优与补差等要素之间相互均衡与辩证转化。二、“考什么，学什么，怎么学”是备考的关键命题“考什么，学什么，怎么学”是高考备考的最大命题，高三教学成效如何的一个重要因素在于是否能够做到靶向考点、精准复习、科学备考。2020年1月，教育部考试中心发布《中国高考评价体系》和《中国高考评价体系说明》。如果不了解“一核四层四翼”的高考评价体系(一核:立德树人、服务选才、引导教学;四层:核心价值、学科素养、关键能力和必备知识;四翼:基础性、综合性、应用性、创新性)，教学便难以立于高处，高瞻远瞩;如果没有仔细阅读课程标准、考纲等微小变化，便难以精准定位复习要求;如果没有仔细研究近年的全国卷，便难以了解全国卷较之往年对阅读能力、应用能力和创新能力考査有新的视角，难以发现全国卷在解析几何中很重视考査几何作图和几何知识应用的能力，很重视圆在研究直线与圆锥曲线位置关系中的“搭台”作用，等等。3、“停下来，等一等灵魂”是治疗教学病症的良方益药应试教学拼的是经验的多寡和解法的“花拳绣腿”，解题虽是考试王道，但思想才是数学正道。没有思想的深刻锤炼，缺乏数学理解，难有考试时的自如应用和随机应变。“教育是一棵树摇动着一棵树，一朵云推动着一朵云，一个灵魂唤起一个灵魂”，数学教学理当要用理性精神和独立思考的品质去滋养和推动学生核心素养的提升，要用数学的本质内涵和扎实的基础知识为学生的未来发展做坚实的准备。2017年8月至2018年8月本人主持泉州市小课题《高三文科数学圆锥曲线综合题解题障碍及策略研究》，课题经过一年多时间的研究与实践，获得初步成效。实践成果方面有：（1）提高了学生学习的主动性、积极性。学生在这道圆锥曲线综合题得分有所提高，重点提升了学生直观想象、数学运算、逻辑推理素养。（2）促进了课题组教师的专业成长。泉州市小课题《高三文科数学圆锥曲线综合题解题障碍及策略研究》主持人：毓英中学曾庆国研究时间：2017年8月至2018年8月成果形式（17年至今）具体成果教学论文（8篇）论文《解析几何点的坐标问题的处理策略》荣获泉州市高中数学高效教学微策略论文评选三等奖。论文《常见临界值问题归类》发表于福建中学数学；《椭圆中一类最大角问题的剖析》发表于福建中学数学；《例谈圆锥曲线中直线过定点问题的处理策略》福建中学数学；《圆锥曲线综合题中“三角形面积问题”的破解策略》发表于考试周刊；《运用对称思想破解圆锥曲线综合题》发表于教学研究与探索（金井片区论文汇编）；《巧用一元二次方程破解圆锥曲线综合题》发表于教学研究与探索（金井片区论文汇编）；《2014年高考福建卷理科第19题的改编与推广》教学研究与探索（金井片区论文汇编）优课《圆锥曲线中的三角形面积问题》获2019年晋江市级优课微课微课《圆锥曲线中的三角形面积问题》获2018年晋江市高中毕业班教学关键问题“微课”评选二等奖作业设计评选《圆锥曲线与方程》获2020年晋江市中学作业设计评选高中作品一等奖命题比赛获2019—2020学年高中数学学科命题、析题竞赛评选三等奖（3）高三数学圆锥曲线综合题的解题障碍及策略研究解题策略就是解题过程的优化，即策略优化。1.策略优化，意义何在所谓解题策略，就是解决数学问题的思想方法，是为了实现解题目标而采取的方针，同时也是增强效果、提高效率的艺术。首先，解题策略的层次比较高，适用面比较广，它以其全局性的指导意义而区别于具体的解题技巧;它是解题思想转化为解题操作的桥梁，是求解具体问题的方针、策略。其次，良好的解题策略可优化解题过程、节省探索时间、减少失败次数，体现了选择的机智和组合的艺术。再次，从学生解答高考圆锥曲线综合题的情况看，相当多的毛病出现在运算上，究其原因，往往由于或方法选择不当或运算不合理(策略意识差)，造成中途搁浅或结果出错。老师在教学中也有这样的感觉，学生解题很少讲究策略，拿到题目就瞎撞乱碰，而运算时也是毫无目标意识，不讲究运算是否合理，盲目性较大。因此，研究如何增强圆锥曲线综合题的解题策略意识，提高运算的速度和准确度，就显得很有必要和非常迫切。第四，对解题策略的掌握和运用，直接影响着一个人能力的提高与素质的发展。所以这些年高考数学明确指出重点考查数学思想与方法(即解题策略)，这也是素质教育的必然走向。2.解几学习，障碍分析解析几何是中学数学的重要内容，它涉及的知识深广，方法灵活多变，是学习的重点和难点，也是历年高考的热点。学生普遍认为，解析几何难，难在方法多样，运算复杂，见了生畏。原因何在?(1)缺乏对向量语言的翻译能力和应用能力平面向量具有代数与几何形式的“双重身份”，并融数、形于一体，成为中学数学知识的一个重要交汇点，而以向量为背景的解析几何题自然贴切，在近几年高考中成为一个重要热点。常见的命题形式有两种，其一，解析几何题题设条件通过向量的语言来描述，体现出向量知识在解析几何中的渗透，在知识交汇点处命题;其二，向量作为一种工具，可以用向量方法来解决解析几何问题，从高考答题情况来看，一部分学生不能从众多的数学符号和式子中理出个头绪来，无力解答问题。还有一部分学生过早地把向量符号坐标化，由于设“元”太多，而陷入复杂的运算，从而迷失了方向。如果解析几何题的叙述方式以向量语言为主，这就要求解答者首先要把向量语言转化为图形语言，再对几何图形作出整体的分析，然后通过坐标思想求解。(2)没有掌握基本的运算方法，没有形成基本的运算能力由于解析几何题综合性强、运算繁杂，学生极易产生畏惧心理，考试时采取放弃的策略，从而平时也不重视解析几何的复习，导致放弃了一些在能力范围内的题，实在可惜。做不下去的关键原因是没有抓住要领，死记硬背公式，不能灵活应用知识解决实际问题。运算烦琐也是因为不知道每个公式的适用场合，乱用公式人为导致运算复杂，最终不得不放弃。其实解析几何中的公式并不多，只是必须记住该记的。主要公式如两点之间的距离公式，弦长公式等等。(3)不会选择合理的运算途径，走不出运算量大的魔圈平几渗透，数形结合。解析几何首先是几何问题，一味强调解析几何中的代数运算有时会导致烦琐的运算过程，必要时要综合考虑几何因素，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，常可得到简捷而优美的解法。注意转化条件，优化解题方法。解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明（向量、斜率）、求弦的中点（点差法）、弦长的计算等等，这些问题的处理方法是熟知的。但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到已经熟悉的轨道。巧设方程，方便计算。方程形式对运算也起着很重要的作用，如在解决直线与圆锥曲线位置关系时，过定点(b，0)的直线可设为x=my+b，这样不仅可回避对直线斜率是否存在的分类讨论，而且可以简化运算、优化解题过程、提高解题速度。另外，当遇到多条直线时，应抓住具有共同特征的直线，根据其共同特征设直线方程，才能使运算简单，问题得以解决。克服思维定势，提高解题能力。思维的定势在运算中有积极的一面，也有消极的影响，当学生掌握了某一种知识(方法)往往习惯用这种知识(方法)去思考问题，可以使思维容易集中，使思维很快进入到问题的关键，但是，思维的定势也会出现思维的情性和失去灵活性，会影响运算的速度，使运算过程繁冗不堪，并且更容易进入思维的死胡同。3.解除障碍，树立信心为切实解除学习解析几何的障碍。（1）狠抓审题能力的培养在遇到新颖的题型或条件时，学生往往被表象所迷惑，感到无从下手或不能找到恰当的切入点，导致思维短路、运算错误，而不能正确解答。在讲解例题时教师不应在例题出示以后急于给学生提示或点拨，应给出充分的时间让学生积极思考，让学生在充分思考、互动交流的基础上自我发现恰当的解题思路。（2）培养解析几何运算的信心，养成良好的运算习惯。解析几何的运算量大，有的学生对提高运算能力缺乏足够的重视，他们总是觉得懂就行，只要我考试时认真算就行;也有老师只着重解题方法和思路的引导，而忽视对运算过程的合理性、简捷性的必要指导。这样不仅影响了学生思维能力的发展，也必然影响教学质量的提高。所以教学时要狠抓运算功，确立以解题训练为中心的课堂教学模式。引导学生在确立解题思路后踏踏实实地按步骤把题做出来。只有做出来才能发现自己的问题，也只有做出来才能树立解题信心。（3）理性认识解题过程，让教学赋有逻辑普通高中数学课程标准（2017年版）第45页指出：[学业要求]能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。平面解析几何研究的对象是几何图形，研究方法是在平面直角坐标系的平台上，用代数的知识和方法。例设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为（1）

求椭圆的方程；（2）设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内。解：（1）依题意可得，且到

右焦点距离的最小值为可解得：椭圆方程为解：由（1）可得，设直线的斜率分别为，，则联立与椭圆方程可得：

，消去可得：，即设，因为在直线上，所以，即为锐角，

为钝角

在以为直径的圆内对几何对象的几何特征的分析可以结合它们的图形，对几何图形研究的深度决定了代数化过程中运算量的大小。在圆锥曲线综合性问题的教学中，要突出解析几何的研究问题的一般方法，要能够明确用代数方法解决几何问题的几个关键的步骤:要能够根据问题的条件，读出几何对象的几何特征。从两个方面去分析:对于单个的几何对象，要研究它的几何性质，对于不同的几何对象，要关注它们之间的位置关系。在此基础上作出图形，直观地表达出所分析出来的几何对象的几何特征。在明确了几何对象的几何特征的基础上，要进行有效的、合理的代数化。包括几何元素的代数化、位置关系的代数化、所要研究问题的目标的代数化等。进行代数运算。包括解所联立的方程组、消去所引进的参数、运用函数的研究方法解决有关的最值问题，等等。根据经过代数运算得到的代数结果，分析得出几何的结论。例已知椭圆的离心率为，短轴长为。过点的直线与椭圆交于两点，当直线的斜率为时，求的面积。当面积取得最大值时，求直线的方程。解：第一步，作图，根据条件，读出几何对象的几何特征。本问题中，由椭圆的几何特征，先求出椭圆方程。直线与椭圆相交相交于。第二步，进行代数化。元素代数化：由已知得解得所以椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为。位置关系代数化：由，消去得关于的方程：由直线与椭圆相交于两点。问题目标代数化：第三步，代数运算。由韦达定理得

原点到直线的距离解法一：第一步，作图，根据条件，读出几何对象的几何特征。本问题中，由椭圆的几何特征，先求出椭圆方程。直线与椭圆相交相交于。第二步，进行代数化。元素代数化：由已知得解得所以椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为.位置关系代数化：由，消去得关于的方程：。由直线与椭圆相交于两点，解得问题目标代数化：第三步，代数运算。由韦达定理得

原点到直线的距离设，则当且仅当即时，此时所以，所求直线方程为解法二：第一步，作图，根据条件，读出几何对象的几何特征。本问题中，直线与椭圆相交相交于。第二步，进行代数化。元素代数化：由已知得解得所以椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在且不为零.设直线的方程为，则直线与轴的交点位置关系代数化：由，消去得关于的方程：.由直线与椭圆相交于两点，解得问题目标代数化：方法方法第三步，代数运算。设，则当且仅当即时，此时所以，所求直线方程为如图，已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若抛物线上一动点从到运动时，求面积的最大值．解：方法一第一步，作图，根据条件，读出几何对象的几何特征。直线与抛物线相交于两点，抛物线上动点从到运动。第二步，进行代数化。元素代数化：设位置关系代数化：由，得问题目标代数化：第三步，代数运算。为定值。当点到直线的距离最大时，的面积最大．而又∴当时，当点坐标为时，面积的最大值为方法二第一步，作图，根据条件，读出几何对象的几何特征。

直线与抛物线相交于两点，抛物线上动点从到运动。第二步，进行代数化。元素代数化：设依题意，知当抛物线在点处的切线与平行时，的面积最大。位置代数化：由，得问题目标代数化：第三步，代数运算。此时点到直线的距离为，故面积的最大值为小结：圆锥曲线中三角形面积表示的方法有（弦长公式求，点到直线距离求）；利用共同的底边，拆分三角形为面积和（或差），常化为，“联立方程韦达定理”是前提，最值问题常化为函数、不等式最值等。（4）通过变式教学，提高学生数学核心素养例（2017年高考全国1卷理科20题）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.考生典型错误有以下几个方面：(1)粗心审题：在第(1)问中，将四点都代入椭圆方程，并正确求出a,b,没对P1的位置作出说明；(2)运算能力不过关：第(1)问解方程出错；第(2)问中，直线与椭圆联立方程出错。(3)逻辑思维不严密：在第(2)问中，未讨论直线l与x轴垂直的情形缺少分类讨论的思想，只考虑用韦达定理，没有考虑到判别式是否大于0这个前提。探究是数学教学的生命线，定点定值问题是揭示几何运动变化中的不变量问题，展示了数学的美。下面进行变式探究。变式探究：已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）已知点,若直线不经过点且与相交于两点，以为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。（1）（2）解法一:①当直线斜率不存在时：若直线在轴右侧，，不满足相乘为-1，不合题意；若直线在轴左侧，，也不满足相乘为-1，不合题意。

②当直线斜率存在时，可设（）将代入得由题设可知，即设，，则,由于以为直径的圆经过点，所以，,则，，即，将分别换成展开化简得：.又将上面韦达定理所得的两根和，积代入得：，，即将上式化简整理得，满足，则直线，所以过定点（2）解法二:①当直线与轴垂直时，不妨设，此时,则，由于以为直径的圆经过点，所以，,则，，，即...，又点在椭圆上，可得...，联立可得,故.再结合对称性可知，如果不经过点的直线有过定点，那么定点一定在轴上，即只能是.②当直线不与轴垂直时，可设将代入得由题设可知，即,（*）设，，则,.由于以为直径的圆经过点，所以，,则，，即，将分别换成展开化简得：.又将上面韦达定理所得的两根和，积代入得：，即将上式化简整理得，所以，代入（*）式检验均满足，其中(不合题意，舍去)，所以直线的方程为，则直线过定点（2）解法三:①当直线与轴垂直时，可知直线关于轴对称，有，又由于以为直径的圆经过点，所以，于是可求出两斜率为-1和1，不妨设，此时,让它和椭圆方程联立，求出,故.再结合对称性可知，如果不经过点的直线有过定点，那么定点一定在轴上，即只能是.②当直线不与轴垂直时，可设下面同解法二。

例(2014年高考福建卷理19)已知双曲线的两条渐近线分别.（1）