工程数学-复变函数与积分变换总复习

FunctionofComplexVariable

andIntegralTransform

复变函数与积分变换工程数学（复变函数与积分变换）

复数与复变函数复数的概念表示方法复数的运算代数运算共轭运算乘幂与方根平面表示三角表示球面表示指数表示向量表示曲线与区域复变函数及其极限与连续性第一章复数与复变函数第一章复数与复变函数工程数学（复变函数与积分变换）

例求解具体为：例求解方程解具体为：工程数学（复变函数与积分变换）

第二章解析函数解析函数连续性初等函数判别方法C-R方程可导解析指数函数对数函数（反）三角函数（反）双曲函数幂函数第二章解析函数一.点可导的充要条件且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann

)方程：和在点处可微，(简称

方程)函数在点处可导定理的充要条件是：

P41

定理一§2.2解析函数的充要条件§解析函数的充要条件第二章解析函数二.区域解析的充要条件和

在区域D

内可微，且函数在区域

D

内解析的定理充要条件是：满足

C

-

R

方程。推论在区域

D

内存在且连续，并满足

C

-

R

方程，在区域D

内解析。和

的四个偏导数若函数则函数§2.2解析函数的充要条件§解析函数的充要条件

P42

定理二工程数学（复变函数与积分变换）

第二章解析函数解

可见，是正实数，它的主值是例求的值。求的值。例解

可见，不要想当然地认为工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分复变函数的积分积分存在的条件及计算积分的性质Cauchy积分定理原函数与不定积分复合闭路定理Cauchy积分公式高阶导数公式Newton-Leibniz公式调和函数及其计算闭路变形原理第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理D一、柯西-古萨基本定理定理设函数

f(z)

在单连通域

D

内解析，G

为D

内的任意一条简单闭曲线，则有GG第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理

在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。二、闭路变形原理

闭路变形原理如图，设在

D

内解析，在边界上连续，G为

D

内的一条“闭曲线”，则D第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理三、复合闭路定理

将柯西积分定理推广到多连域函数在

D

内解析，或设多连域

D

的边界为

(如图)，定理在C

上连续，则DC1C2C0C3Cn第三章复变函数的积分§3.3柯西积分公式在边界

C

上连续，

则四、柯西积分公式定理如果函数在区域D

内解析，DdGC意义将换成，积分变量换成，

解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。

换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。则上式变为

P85定理第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数五、高阶导数定理定理如果函数在区域D

内解析，在上连续，则的各阶导数均在

D

上解析，且1.定理的描述其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条简单闭曲线，且它的内部全含于D。

P87定理

定理如果函数在区域D

内解析，在上连续，则的各阶导数均在

D

上解析，且同理证明由解析，有(?)(?)(?)

P91定理第三章复变函数的积分§3.5解析函数与调和函数的关系一、调和函数二、共轭调和函数设函数及均为区域

D

内的调和函数，定义函数

在区域

D

内解析的充要性质条件是：在区域D

内，v

是

u

的共轭调和函数。则称

v

是

u

的共轭调和函数。且满足

C

-

R

方程：

P91第三章复变函数的积分§3.5解析函数与调和函数的关系

P91三、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v

(或者已知虚部v，求实部u

)，使解析，且满足指定的条件。注意

必须首先检验

u

或

v

是否为调和函数。方法

偏积分法

全微分法构造解析函数的依据：依据

(1)u

和

v

本身必须都是调和函数；

(2)u

和

v

之间必须满足

C

-

R

方程。第三章复变函数的积分§3.5解析函数与调和函数的关系方法

偏积分法(

不妨仅考虑已知实部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程(2)将

(A)

式的两边对变量y

进行(偏)积分得：其中，已知，而待定。(3)将

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函数得到待定函数

v的两个偏导数：(A)(B

)(C

)第三章复变函数的积分§3.5解析函数与调和函数的关系三、构造解析函数

P92方法三、构造解析函数

全微分法(

不妨仅考虑已知实部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函数

v

的全微分：(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)

得到原函数：其中，或CC0C1C2第三章复变函数的积分§3.5解析函数与调和函数的关系

P98工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分19解例工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分

解法一利用柯西-古萨基本定理及重要公式由柯西-古萨基本定理，有工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分因此工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分

解法二利用柯西积分公式工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分23工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分因此由柯西积分公式得工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分故是调和函数。由解(1)验证为调和函数验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分由由解(2)求虚部。

偏积分法验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分解(3)求确定常数

c根据条件将代入得即得验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分故是调和函数。由解(1)验证为调和函数P92例1修改

工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分解由由(2)求虚部。

偏积分法工程数学（复变函数与积分变换）

第三章复变函数的积分解(3)求确定常数

c根据条件将代入得即得工程数学（复变函数与积分变换）

第四章级数复数项级数函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径R复变函数绝对收敛运算与性质收敛条件条件收敛复数列收敛半径的计算Taylor级数Laurent级数圆环域解析R2z0R1D洛朗(Laurent)定理设函数在圆环域定理C

为在圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。解析,在此圆环域中展开为则

一定能其中，zC上述幂级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗Laurent级数工程数学（复变函数与积分变换）

第四章级数12函数有两个奇点：以展开点为中心，将复平面分为三个解析环：解(1)将复平面分为若干个解析环①②③(2)将函数进行部分分式分解工程数学（复变函数与积分变换）

第四章级数解12①当时，(3)将函数在每个解析环内分别展开工程数学（复变函数与积分变换）

第四章级数解12②当时，(3)将函数在每个解析环内分别展开工程数学（复变函数与积分变换）

第四章级数解12③当时，(3)将函数在每个解析环内分别展开工程数学（复变函数与积分变换）

第四章级数解在内展开成洛朗级数。例把函数解在内展开成洛朗级数。例把函数工程数学（复变函数与积分变换）

第五章留数留数留数定理可去奇点孤立奇点m级极点本性奇点函数的零点与极点的关系计算方法留数在定积分计算中的应用零点的分布孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为没有负幂次项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为孤立奇点的分类留数的概念将在的去心邻域设为函数的孤立奇点，定义称为在处的留数(Residu)

，记作：内展开成洛朗级数：其中，C

是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。DC…留数定理处处解析，在边界

C

上连续，定理设在区域D内除有限个孤立奇点外注意留数定理将沿着封闭曲线C的积分，转化为求被积函数在C内各个孤立奇点处的留数，或者说只需要计算积分曲线

C

所围成的有限区域内各孤立奇点的留数。则1

若z0为函数f(z)的可去奇点(负幂项的项数为零个)，则它在点z0的留数为零，即留数的计算2

若z0为f(z)的一级极点，则有3

若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数n≥m有

工程数学（复变函数与积分变换）

第五章留数是的本性奇点，解将在的去心邻域内洛朗展开，有工程数学（复变函数与积分变换）

第五章留数是一阶极点，解(1)是的本性奇点，(2)工程数学（复变函数与积分变换）

第五章留数解方法一

利用极点的留数计算法则求解为被积函数的二阶极点，方法二利用高阶导数公式求解工程数学（复变函数与积分变换）

第五章留数方法三

利用洛朗展式求解解将被积函数在的去心邻域展开，工程数学（复变函数与积分变换）

第六章共形映射共形映射分式线性映射一一对应保角性保圆性

几何意义几个初等函数构成的映射分式线性映射的确定对确定区域的映射保对称性

工程数学（复变函数与积分变换）

第六章共形映射(旋转)(相似)由解(1)求通式

求一共形映射将区域映射为例且满足工程数学（复变函数与积分变换）

第六章共形映射求一共形映射将区域映射为例解(1)求通式

且满足(2)代入条件

由有故由有即得工程数学（复变函数与积分变换）

第一章Fourier变换第一章Fourier

变换§1.2Fourier变换§1.1Fourier

积分§1.3Fourier

变换的性质§1.4卷积与相关函数§1.6Fourier

变换的应用(2)Fourier逆变换称为傅氏变换对，记为与-1(1)Fourier变换(傅氏变换)定义其中，称为象原函数称为象函数，Fourier

变换的定义线性性质位移性质(时移性质)(频移性质)微分性质Fourier

变换的性质积分性质工程数学（复变函数与积分变换）

第一章Fourier变换解(1)a-a1Ot工程数学（复变函数与积分变换）

第一章Fourier