2019年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略专题限时集训第1部分专题3突破点9随机变量及其分布

专题限时集训(九)随机变量及其散布[建议A、B组各用时：45分钟][A

组高考达标

]一、选择题1．已知变量X听从正态散布A．P(X≥2)C．P(0≤X≤4)

N(2,4)，以下概率与P(X≤0)相等的是B．P(X≥4)D．1－P(X≥4)

(

)B[由变量X听从正态散布N(2,4)可知，x＝2为其密度曲线的对称轴，所以P(X0)＝P(X≥4)．应选B.]2．(2019·厦门模拟)某种子每粒抽芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有抽芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学希望为()A．100B．200C．300D．400[将“没有抽芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，，1000，由题意可知ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，应选B.]33．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为4；向乙靶射2击两次，每次命中的概率为3.该射手每次射击的结果互相独立．假定该射手达成以上三次射击，该射手恰巧命中一次的概率为()529A.36B.3671C.36D.3C[3×1－2×1－2＋1×2×1－2＋1×1－2×2＝7，应选C.]433433433364．(2019·合肥二模)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采纳抽签法决定演讲次序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为()11A.3B.513C.9D.20A[“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的安排方法中，此外31人中任何一个人第一个出场的概率都相等，故“C第一个出场”的概率是3.]5．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小同样的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，假如两球号码之积是4的倍数，则获奖．此刻4人参加摸奖，恰巧有3人获奖的概率是()1696A.625B.6256244C.625D.625B[若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情况；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情况共6种，获奖的概率为62人参加摸奖，恰有3人获2＝.现有4C65323396奖的概率是C45·＝.]5625二、填空题．随机变量ξ的取值为若P(ξ＝0)＝1，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.60,1,2.52[由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的散布列以下：ξ012P1p45－p5由E(ξ)＝1，可得

3p＝5，所以

2123212D(ξ)＝1×5＋0×5＋1×5＝5.]7．某学校一年级共有学生100名，此中男生60人，女生40人．来自北京的有20人，此中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是________．15[设事件

A为“任选一人是女生”，B为“任选一人来自北京”，依题意知，来自北京的女生有

8人，这是一个条件概率，问题即计算

P(B|A)．因为

408P(A)＝100，P(AB)＝100，8PAB1001则P(B|A)＝PA＝40＝5.]1008．(2019·黄冈一模)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，并且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图9-6所示，假定此刻青蛙在A叶上，则跳三次后仍停在A叶上的概率是________．图9-61[设顺时针跳的概率为p，则逆时针跳的概率为2p，则p＋2p＝1，即p＝133，由题意可知，青蛙三次跳跃的方向应同样，即要么全为顺时针方向，要么全为逆2313811时针方向，故所求概率P＝3＋3＝27＋27＝3.]三、解答题9．(2019·烟台二模)甲、乙两人进行象棋比赛，商定每局胜者得1分，负者得0分．在此中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛．设甲在每局中获胜的2概率为3，乙在每局中获胜的概率为

13，且各局输赢互相独立．(1)求没下满5局甲即获胜的概率；(2)设比赛停止时已下局数为ξ，求ξ的散布列和数学希望E(ξ)．[解](1)没下满5局甲获胜有两种状况：224①是两局后甲获胜，此时P1＝3×3＝9，2分1212216②是四局后甲获胜，此时P2＝C23×3×3×3＝81，4分41652所以甲获胜的概率P＝P1＋P2＝9＋81＝81.5分(2)依题意知，ξ的全部可能值为2,4,5.6分设前4局每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为：221253＋3＝9.7分若该轮结束时比赛还将持续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛能否停止没有影响，进而有：545204216P(ξ＝2)＝9，P(ξ＝4)＝99＝81，P(ξ＝5)＝9＝81.10分所以ξ的散布列为：ξ245P520169818152016250故E(ξ)＝2×9＋4×81＋5×81＝81.12分10．甲、乙两班进行消防安全知识比赛，每班出3人构成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分．已知甲队3人每人答对的概率分别为32124，3，2，乙队每人答对的概率都是3.设每人回答正确与否互相之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．(1)求随机变量ξ的散布列及其数学希望E(ξ)；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．[解](1)ξ的可能取值为0,1,2,3.1111P(ξ＝0)＝4×3×2＝24；1分3111211111P(ξ＝1)＝4×3×2＋4×3×2＋4×3×2＝4；2分32112131111P(ξ＝2)＝4×3×2＋4×3×2＋4×3×2＝24；3分3211P(ξ＝3)＝4×3×2＝4.4分所以ξ的散布列为ξ0123P111112442446分1111123所以E(ξ)＝0×24＋1×4＋2×24＋3×4＝12.8分(2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，13231122211121121则P(A)＝4×C33＋24×C33×3＋4×C33×3＝3.10分1121121P(AB)＝4×C33×3＝18.11分1PAB181P(B|A)＝PA＝1＝6.12分3[B组名校冲刺]一、选择题1．(2019·河北第二次联考

)已知袋子中装有大小同样的

6个小球，此中有

2个红球、4个白球．现从中随机摸出

3个小球，则起码有

2个白球的概率为

(

)3

3A.4

B.547C.5D.101234424＝5.]C[所求问题有两种状况：1红2白或3白，则所求概率P＝C632．如图9-7，△ABC和△DEF是同一个圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆－)子落在△DEF内”，则P(N|M)＝(图9-733A.4πB.2π12C.3D.3C[如图，作三条协助线，依据已知条件知这些小三角形都－个小三全等，△ABC包括9个小三角形，知足事件NM的有3－－31nNM角形，所以P(N|M)＝nM＝9＝3，应选C.]3．设随机变量X听从正态散布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c＝()A．1B．2C．3D．4B[∵X～N(2,9)，正态密度曲线对于x＝2对称，又概率表示它与x轴所围成的面积．∴c＋1＋c－1＝2，∴c＝2.]24．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程同样的门数为X，则E(X)为()A．1B．1.5C．2D．2.53112299C6C6C5C3B[X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝C63C63＝20，P(X＝1)＝C63C62＝20，P(X＝2)＝20，31P(X＝3)＝C6，33＝20C6C61991故E(X)＝0×20＋1×20＋2×20＋3×20＝1.5.]二、填空题5．现有10道题，此中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任选3道题作答．已知所选的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都3是5，答对每道乙类题的概率都是

45，且各题答对与否互相独立，则张同学恰巧答对2道题的概率为

________．57125[设张同学答对甲类题的数量为x，答对乙类题的数量为y，答对题的总数为，则＝＋y.所以22×32×1－4XXxP(X＝2)＝P(x＝2，y＝0)＋P(x＝1，y＝1)＝C55133457＋C2×5×1－5×5＝125.]6．某商场在少儿节举行回馈顾客活动，凡在商场花费满100元者即可参加射击赢玩具活动，详细规则以下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再持续射击，不然向来射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次7数为η，若η的数学希望E(η)>4，则p的取值范围是________.0，1由已知得η＝＝，η＝＝－，η＝＝－2，则η2[P(1)pP(2)(1p)pP(3)(1p)E()751＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>4，解得p>2或p<2，又p∈(0,1)，所以p∈10，2.]三、解答题7．(2019·郑州模拟)已知从A地到B地共有两条路径L1和L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频次散布直方图分别如图9-8(1)和图(2)．(1)(2)图9-8现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．(1)为了尽最大可能在各自同意的时间内赶到B地，甲和乙应怎样选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在同意的时间内能赶到B地的人数，针对(1)的选择方案，求X的散布列和数学希望．[解](1)用Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到B地”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到B地”，i＝1,2.1分由频次散布直方图及频次预计相应的概率可得P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5.∵P(A1)>P(A2)，故甲应选择L1.3分P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9.∵P(B2)>P(B1)，故乙应选择L2.5分(2)用M，N分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自同意的时间内赶到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，又由题意知，M，N互相独立，7分－－－－∴P(X＝0)＝P(MN)＝P(M)P(N)＝0.4×0.1＝0.04；－－－－P(X＝1)＝P(MN＋MN)＝P(M)P(N)＋P(M)P(N)0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42；P(X＝2)＝P(MN)＝P(M)P(N)＝0.6×0.9＝分∴X的散布列为X0120.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝分8．气象部门供给了某地域今年六月份(30天)的日最高气温的统计表以下：日最高气温t/℃t≤2222<t≤2828<t≤32t>32天数612YZ因为工作大意，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门供给的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频次为0.9.某水果商依据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响以下表：日最高气温t/℃t≤2222<t≤2828<t≤32t>32日销售额X/千元2568(1)求Y，Z的值；(2)若视频次为概率，求六月份西瓜日销售额X的希望和方差；(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．[解](1)由已知得P(t≤32)＝0.9，所以P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，所以Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.3分(2)由题意，知X的全部可能取值为2,5,6,8.612易知P(X＝2)＝P(t≤22)＝30＝0.2，P(X＝5)＝P(22<t≤28)＝30＝0.4，93P(X＝6)＝P(28<t≤32)