2020年《高校自主招生考试》数学真题分类解析8平面几何

高考精选专题之8、平面几何一、选择题。1．(2009

年复旦大学

)一个菱形边长与其内切圆的直径之比为

k∶1(k>1),则这个菱形的一个等于A.arctan(k)

B.arctan

C.arctan

D.arctan2．(2009

年复旦大学

)用相同大小的一种正多边形平铺整个平面

(没有重叠

),有几种正多边形能够铺满整个平面而不留空隙

?A.2

种

B.3

种

C.4种

D.5

种3．(2012

年复旦大学

)设

S是平面上的一个六边形

,不是凸的

,且它的随意

3个极点都不共线

,称一个以

S的某些极点为极点的多边形为一个

S多边形

,则下边的结果必定不对的是A.每个

S四边形都是凸四边形

B.存在

S五边形为凸五边形C.每个S五边形都不是凸五边形D.起码有两个S四边形是凸四边形4．(2011年同济大学等九校联考)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为5．(2010年清华大学等五校联考)如图,△ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF订交于G,则△OFG与△GHA面积之比为高考精选A.1∶4B.1∶3C.2∶5D.1∶26．(2012年清华大学等七校联考)已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,连结DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF的长为A.8B.9C.10D.11二、解答题。7．(2009年光中科技大学)由图1,得4(ab)+c2=(a+b)2,①可推得勾股定理a2+b2=c2.则由图2,高考精选可得一个近似于①的等式:.进而推得一个重要的三角公式:.8．(2009年中国科技大学)如下图,已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三平分点,而且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.9．(2012年同济大学等九校联考)如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.高考精选求GH;连结FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.10．(2009年北京大学)如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.11．(2010年北京大学等三校联考)A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为.12．(2011年北京大学等十三校联考)在△ABC中,a+b≥2c,求证:∠C≤60°.13．(2011年北京大学等十三校联考)已知平行四边形的此中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.14．(2012年北京大学等十一校联考)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.高考精选A1A4A5A6都是凸四边形,应选项D正确;如图③,选项C正确.4.B【分析】因为

AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又

PA

是☉O

的切线

,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因为∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因为

PE=3,ED=2,BE=AE,

所以高考精选BE=AE=,再由订交弦定理可得GE·EF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割线定理可得PA2=PG·PF,知

PA=.应选

B.5.A【分析】察看到△OFG

与△GHA

相像,只需找到这两个三角形的边长之比

,就能够求出其面积之比

.因为

O点为△ABC

的外心,OF⊥BC,所以

F是

BC

边的中点

,故

AF是

BC

边上的中线

,由欧拉定理可知

OH和

AF的交点

G为△ABC

的重心,所以

FG∶GA=1∶2,又△OFG∽△

HAG,故两三角形面积之比为

1∶4.选A.6.B【分析】方法一如图,高考精选7.用面积切割的方法考虑各部分面积之和等于整个图形的面积.四个三角形的面积的和为2×[(nsinβ)(ncosβ)]+2×[(msinα)(mcosα)],中间平行四边形的面积为mnsin[π-(α+β)]=mnsin(α而+β整),个图形的面积为(nsinβ+msin)(ncosβ+mcosα),2×[(nsinβ)(ncosβ)]+2×[(msinα)(mcosα)]+mnsin(α+β)=(nsinβ+msinα)(ncosβ+mcosα),整理上式有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.8.过E作BC的平行线,交AD于S.高考精选10.11.以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,成立如下图的平面直角坐标高考精选系.如图1,当A,B中有一点位于P点时,知另一点位于R1或许R2时有最大值|PR1|;当有一点位于O点时,|AB|max=|OP|<|PR1|.(2)如图2,当A,B均不在y轴上时,知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值(不然取A点关于y轴的对称点A',有|A'B|>|AB|).不如设A位于线段OR2上(由正五边形的中心对称性,知这样的假定是合理的),则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上,且当B从P向Q挪动时,|AB|先减小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.关于线段PQ上随意一点B,都有|BR2|≥|BA|于.是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.由(1)(2)知|AB|max=|R2P|.下边研究正五边形对角线的长.如图3,高考精选12.【分析】论证角的范围常常是经过先论证该角的某个三角函数值的范围后,再联合相应函数的单一性进行的.此题是在三角形中解决问题,而且已知了三角形的三条边之间的关系,所以可考虑利用余弦定理先确立cosC的范围,再依据余弦函数的单一性证得结论.13.因为平行四边形中的各边长度是已知的,所以可考虑利用三角形的余弦定理进行求解.如图,不如设AB=5,AD=3,BD=6.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD;在△ABC,AC222-2BA·BCcos∠ABC,因为AD=BC,AB=BA,中由余弦定理得=BA+BCABC+∠DAB=π,故两式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2),于是62+AC2=2×(52+32),解得AC=4,即另一条对角线长为4.14.方法一如图1所示,高考精选五边形ABCDE为☉O内接五边形,延伸AE,CD,DC,AB,有两交点G,H,连结AC.因为∠AED=∠EDC,所以∠GED=∠GDE,所以GE=GD.因为A,C,D,E在☉O上,所以∠CAG=∠