高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1.命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.要点2.四种命题:(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用「 p和「q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p,则q；逆命题：若q,则p;否命题：若「p,则「q；逆否命题：若「q,则「p.要点3.四种命题的关系:互为逆否的两个命题同真假.考点1.命题及其真假判断：例1、判断下列语句是否是命题？若是，判断其真假并说明理由。1)x>1或x=1; 2)如果x=1,那么x=33)x2-5x+6=0; 4)当x=4时,2x<0;5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 ？6)矩形难道不是平行四边形吗？ 7) 矩形是平行四边形吗？；8)求证：若xCR,方程x2-x+1=0无实根.解析：1)不是，x值不确定。2)是，假命题)不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假.同样如“2x>0”也不是命题.是命题.它是作出判断的语言，它是一个假命题.不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断 ，疑问句不是命题.是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了判断 ，它是真命题.不是.不是陈述句不是命题.它是祈使句，没有作出判断.如“把门关上”是祈使句，也不是命题.练一练：1.判断下列语句是不是命题。2+2J2是有理数；1+1>2;2100是个大数；986能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的?(6)(6)xW3。.判断下列语句是不是命题。(1)矩形难道不是平行四边形吗？(2)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？3)一个数不是合数就是质数。(4)大角所对的边大于小角所对的边；(5)y+x是有理数，则x、y也是有理数。(6)求证：xCR,方程x2+x+1=0无实根。总结：判断一个语句是否是命题，根据有两条：①是否是陈述句，②是否可以判断真假参考答案：1. (1)(2)(4)(6)均是命题提示：(3)中“大数”是一个模糊的概念，故无法判断真假，不是命题；(5)不是陈述句，故不是命题。 2. (1)(3)(4)(5)是命题提不：(1)是通过反问表态对矩形是平行四边形的判断，是命题； (2)是疑问句，没有作出判断，不是命题； (6)是祈使句，不是命题。考点2.有关命题的结构例2、把下列命题改写成若P,则q的形式，(1)负数的立方是负数；(2)相切两圆的连心线经过切点；(3)全等三角形一定是相似三角形；(4)有三边对应相等的两个三角形全等练一练：1、把下列命题改写成“若p,则q”的形式。(1)末位是0的整数，可以被5整除；(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(3)等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式；(4)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线。2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断命题的真假。(1)负数的平方是正数； (2)平行于同一平面的两条直线平行。3、把下列命题写成“若p,则q”的形式，并判断真假。(1)ac>bc?a>b;(2)已知x、y为正整数，当y=1+x时，y=3,x=2;(3)当m>l时，mlx+1=0无实根；4(4)当abc=0时，a=0或b=0或c=0。参考答案：2、(1)若一实数是负数，则它的平方是正数，真命题；(2)若两直线平行于同一平面，则它们互相平行，假命题。提示：因为还有可能相交或异面。3、(1)假命题； (2)假命题；(3)真命题； (4)真命题考点三、四种命题及其关系题型一：四种命题的概念及表示形式一般的，用p和q分别表示原命题的条件和结论， 用［p和［q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式是:原命题：若p,则q(p?q); 逆命题：若q,则p(q?p);否命题：若［p,则［q(1p?nq)； 逆否命题：若［q,则］p(nq?np)。.命题“若AUB=B,则A?B”的否命题是,逆否命题是.下列说法中，不正确的是“若p,则q”与“若q,则p”是互逆的命题“若非p,则非q”与“若q,则p”是互否的命题“若非p,则非q”与“若p,则q”是互否的命题“若非p,则非q”与“若q,则p”是互为逆否的命题3.命题“若a>0,则3a=3”的相关命题如下，在题后括号内注明它是这一命题的什么命题。4a43a3(1)若aE0,则3a=3；()4a4(2)若—=—则a>0；()4a4..3a3⑶若3a#'则a<0。()4a4题型二：四种命题的相互转化.命题“a,b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是a,b都不是偶数，则a+b不是偶数a,b不都是偶数,则a+b不是偶数a+b不是偶数，则a,b都不是偶数a+b不是偶数，则a,b不都是偶数.命题“若a>0,则a2a0”的否命题是A.若a2>0,则a>0 B.若a父0,则a2<0C.若aE0,则a2<0 D.若aE0,则a2>0.命题“若aAb,则ac2abc2”的逆命题是A.若ac2 abc2,则a>b B. 若ac2>bc2,则 a至bC.若ac2 <bc2,则acb D. 若a<b,则ac2 <bc2.分别写出命题“若x2+y2=0,则x、y全为零”的逆命题、否命题与逆否命题。.命题“若AuB=A,则AcB=B”的否命题是A.若A一B=A,则A一B=BB.若AcB=B,则AuB#AC.若AcB=B,则A=B#AD.若A=B#A,则ACB=B命题“若a>1,则a>0”的逆命题是,逆否命题是。命题“若a>b,则2aa2b-1”的否命题为。给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若awb且cwd,则a+cwc+d."对原命题、逆命题、逆否命题而言,其中的真命题有( )个A、0B、1C、2D、4题型三、互为逆否命题的等价性的应用(假、真)n例1、判断命题“若a"一,则tana01”的真假4练一练：1、判断命题“若a>0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假.2 、判断命题“已知a,x为实数，若关于x的不等式x2十(2a+1)x+a2+2W0的解集非空，则a>1”的逆否命题的真假。

参考答案：题型一：1.若A=B¥B,则A0B;若A辽B,则A，jB=B。 2.B（1）否命题（2）逆命题（3）逆否命题题型二：1.D 2.C 3.A逆命题：若x、y全为零，则x2+y2=0；否命题：若x2+y2#0,则x、y不全为零；逆否命题：若x、y不全为零，则x2+y2#0。A6.若a>0,则a>1；若a£0,则a417.若aEb,则2aM2b—18.A二、充要条件：①从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件p与结论q之间的关系.若pnq,则p是q的充分条件，q是p必要条件；若p=q且q^p,则p是q成立的充分不必要条件；若qnp且p令q,则p是q成立的必要不充分条件；若p=q且q=p,即puq,则p是q成立的充要条件；若p叁^q且q分p,则p是q成立的既不充分也不必要条件.②从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p、q相应的集合关系.建立与p、q相应的集合，即p:A="p（x）成立｝,q:B=｛xq（x）成立｝.若AJB,则p是q的充分条件，若A宰B,则p是q成立的充分不必要条件；若B3A,则p是q的必要条件，若B宰A,则p是q成立的必要不充分条件；若人=8,则p是q成立的充要条件；若AqB且B与A,则p是q成立的既不充分也不必要条件.考点一、充要条件的判定1、充分条件、必要条件的判定例1、若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的（ ）A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要条件D、既不充分也不必要条件例2、m=1是直线（m+2x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2y-3=0相互垂直的（ ）2A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件例3、已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的条件。练一练：1、“xv5”是“-2vx<4"条件。2、已知条件p：a>1且b>1,q:a+b>1,则p是q的。2 23、已知aCR,则“a>2”是“a2>2a”的。二 1—=-｝,是“sin“=1”的条件。5、数列｛an｝是等比数列是数列｛an2｝是等比数列的条件。6、“x>2”是“x>2”的条件.条件.条件7、已知命题A,B,如果？A是？B的充分而不必要条件，那么B是A的条件.条件8、已知p：x2-x〈0,那么命题p的一个必要不充分条件是( )A.0<x<1B.-1vxv1C.—vxv—D.—<x<29、已知9、已知a、b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么？a是？b的TOC\o"1-5"\h\z10、已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么？A是？8的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件11、已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么「A是「B的（ ）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12、设xCR,贝U“x=1”是“x3=x”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件13、“a+c>b+d"是"a>b且c>d”的（ ）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件14、"k=1"是"直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件15、设集合M={x|0<x<3},N={x|0vxW2},那么"aCMT是“aCN’的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件16、已知命题p：|2x-3|>1,命题q：10gl（x2+x-5）<0,则p是q的条件.217、函数f（x）=x2-2ax-3在区间［1,2］上为单调函数的充分条件是。18、已知p：{x|x+2>0且x-10w。},q：{x|-m<x<1+m,m>0},若q是p的必要非充分条件，则实数m的取值范围是°. 2 .219、设a,bCR已知命题p：a=b；命题q：（- ）2<a ,则p是q成立的条件。2 220、Y已知p：|1-―—11<2,q：x2-2x+1-m2<0（m>0）.若"非p"是"非q"的必要而不充分条件，求实数m3的取值范围.m的取值范围.21、已知p：-2WxW10；q：x2-2x+1-m2<0（m>0）,若p是qm的取值范围.12、A13、A14、A15、B16、必要不充分17、a<1或a>2.18、［9,+8）19、充分不必要20、m>921、0vmc3三、简单的逻辑联结词.简单的逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫逻辑联结词.①，记作pvq,含义是：p、q两个命题中至少有一个成立；②p且q,记作pAq,含义是：p、q两个命题同时成立；③非p,记作「p,含义是：对命题p的否定.(注：命题的否定与否命题是两个不同概念 ).真值表：pqpvqp^q「p真真真真假真假真假假真真假真假假假假考点一：含有逻辑联结词的命题的构成形式及真假判断例：1、4或3是15的约数；2、10W10；3、矩形的对角线互相垂直平分；4、有两个角为450的三角形是等腰直角三角形;5、平行线不相交；6、方程x2-6x+1=0没有实数根考点二：利用逻辑连接词构造新命题例：分别写出由下列构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假。p：冗是有理数，q：n是无理数；P：方程x2+x-1=0的两实根符号相同，q：方程x2+x-1=0的两实根绝对值相等;2、用“或”“且”“非”非填空，使命题成为真命题(1)xWAuB,则xeA _xeB;(2)xwAcb，则xwA —xwB;(3)若ab=0,贝Ua=0 b=0(4)a、bwR,a>0 b>0,则ab>0.考点三、命题的否定与否命题“命题的否定”与“否命题”的区别：命题的否定，一般只否定结论否命题：既否定条件又否定结论例：写出下列命题的否定和否命题：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)若a2+b2=0,则a=0,b=0；(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角。

考点四、“p或q”“p且q”的否定提示：求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语，下面把常用的一些词语和它的否定词语对照如下：原同诺等于《=>大于。>小子tg是春定同瑞不等于《中)不大于不必蛾词语都是里零打4个至少我一个否定涮诵不事延至津有雨个至少有用+x个_11个由拉方住总的It语出M证|臬中不储。从41 -5例：(1)xu(0,2),函数y=x2—x—1的最小值是——且最大值是1;4(2)相似三角形的三个内角对应相等或三条对应边相等；100是10或20的倍数；(4)任何集合都是空集的子集。考点五、利用复合命题的真假求参数的范围2 2 .例：已知P：万程x+mx+1=0有两个不等的负实根；q：万程4x+4(m—2)x+1=0无实根，右p或q为真,p且q为假，求m的取值范围。练一练：1.命题"12既是4的倍数，又是3的倍数”的形式是( )2.ApVq B“a2+b2w0”的含义为(pAq)pD简单命题A1♦a和b都不为0Ba和b至少有,个为0C1♦a和b至少有,个不为0Da不为0且b为0,或b不为0且a为03.命题“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用逻辑词的情况是( )A1♦没有使用逻辑连接词B使用了逻辑连接词“或”C使用了逻辑连接词“且”D使用了逻辑连接词“或”与“且”

I♦ ♦4.设命题p：x>2是x2>4的充要条件，命题q：若a>b,则ac2>bc；则（ ）ApVq为真BpAq为真CpVq为假D?pAq为真5.命题：“方程X2-2=0的解是X=±J2”中使用逻辑联系词的情况是（ ）A1♦没有使用逻辑连接词B使用了逻辑连接词“且”C1♦使用了逻辑连接词“或”D使用了逻辑连接词“非”6.如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（ ）A命题p一定是真命题B命题q一定是真命题C命题q可以是真命题也可以是假命题D命题q一定是假命题I♦7.已知命题p：xCAUB,则非p是（ ）A1♦x不属于AnBBx不属于A或x不属于BC1♦x不属于A且x不属于BDxCAnB8.分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空：①“菱形的对角线互相垂直平分”是形式;②“负数没有平方根”是形式；③“3>3”是 形式:④“△ABC是等腰直角三角形"是 形式.在p”，"pAq”，“pV q”形式的命题中,一；pV q”为真，“pAq”为假，p”为真，那么p,q的真假为p,q•.已知集合A={x|x2-4x+3v0},集合B={x|x2-ax+a-1<0},p：xCA,q：XCB,若「q是「p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.11.已知Pi(11.已知Pi(k+2>0|x-10<0q：1-m<xW1+m,若非P是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.参考答案：1-5、BCBCC6-7、CC8、①p且q②非p③p或q④p且q9、p假，q真.10、（2,当11、实数m的取值范围是{m|m>9}.四、全称量词与存在量词题型一、全称命题与特称命题真假的判断1、下列全称命题中真命题的个数是（ ）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相

TOC\o"1-5"\h\z2、下列特称命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形3、下列特称命题中真命题的个数是（ ）①NwR,xM0②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③ 三xw{xIx是无理数},x2是无理数4、下列全称命题中假命题的个数是（ ）①2x+1是整数（xCR）②对所有的xCR,x>3③对任意一个xCz,2x2+1为奇数A0B1C2D35、下列命题为特称命题的是（ ）正四棱柱都是平行六面体存在实数大于等于 3A偶函数的图象关于y正四棱柱都是平行六面体存在实数大于等于 3C 不相交的两条直线是平行直线 D题型二、命题的否定6、命题“原函数与反函数的图象关于 y=x对称”的否定是（）A原函数与反函数的图象关于 y=-x对称B原函数不与反函数的图象关于 y=x对称C存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x对称D存在原函数与反函数的图象关于 y=x对称7、命题“yxWR,x2-x+3:>0"的否定是8、命题“a三R,x2十1<0"的否定是9、命题“VxwN,x3>x2”的否定是10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是13、写出下列命题的否定：（1）所有自然数的平方是正数 （2）任何实数x都是方程5x-12=0的根（3）对于任意实数x,存在实数y,使x+y>0（4）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等参考答案：2 21-6、CADCDC7 、sxuR,x-x+3W0 8、Vx=R,x+1203 29、二x^N,xEx10 、任意一个三角形都有外接圆13、（1）有些自然数的平方不是正数（3）至少存在一个实数x,对于任意实数y,使x+y<0题型三、利用命题求参数的取值范围.若命题“？xCR,x2+ax+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是.写出下列命题的否定，并判断其真假：p：?xCR方程x2+x-m=0必有实根；q：?xCR使得x2+x+1W0.3.命题“存在xCR,x2+2x+2W0”的否定是.4.知集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|m+1WxW2m-1},且Bw(1)若“命题p：?xCB,xeA”是真命题，求m的取值范围.

（2）“命题q：?xCA,xCB”是真命题，求m的取值范围.5.已知命题“？xC[1,2],使x2+2x+a>0”为真命题，求a的取值范围.6.命题“？xCR,2x2-3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为av-2或a>2(1)?p：?mCR.方程x2+x-m=0无实数根；真命题(2)?q：?xCR,使得x2+x+1>0; 真命题3.任意x€R,x2+2x+2>0 4.(1)2WmC3(2)2WmC45 .[-8,+8) 6.[-2V2,2&]常用逻辑用语综合练习：一、选择题常用逻辑用语综合练习：一、选择题1.下列语句中是命题的是（A.周期函数的和是周期函数吗？2_ 一C.x2x-10 D）B.sin450=1.梯形是不是平面图形呢?2.在命题“若抛物线2.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则｛x|ax2+bx+c<01"的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（A.逆否命题中结论成立的是（A.者B真 B.者碓iC）.否命题真 D.逆否命题真.有下述说法:TOC\o"1-5"\h\z1 1①a>bA0是a〉b的充要条件.②a>bA0是一<一的充要条件.ab③a>bA0是a3〉b3的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个.下列说法中正确的是（ ）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真“a>b”与“a+ob+c”不等价“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2=0D.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.若A:awR,a<1,B:x的二次方程x2+（a+1）x+a—2=0的一个根大于零另一根小于零，则A是8的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.已知条件p:x+1>2,条件q:5x—6>x2,则~p是「q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题.命题：“若ab不为零，则a,b都不为零”的逆否命题是。2 □、巾 2 , - b.A:Xi,X2是万程ax+bx+c=0(a#0)的两实数根；B:x〔+x2=——,a则A是B的条件。.用“充分、必要、充要”填空：①p^q为真命题是p^q为真命题的条件；②「p为假命题是pvq为真命题的条件；③A:x—2<3,B：x2-4x-15<0,则A是B的条件。.命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是。.“a七Z”是“x2+ax+b=0有且仅有整数解”的条件。三、解答题.对于下述命题p,写出“「p”形式的命题，并判断“p”与“「p”的真假：p:91w(AP|B)(其中全集U=N*,A={x|x是质数},B={x|x是正奇数})p:有一个素数是偶数；.