微积分-7.2多元函数基本概念

一、n维空间n维空间：表示为：一般地，设n为一个取定的正整数，n元有序实数组的全体所构成的集合.12:56:2417.2多元函数的基本概念n维空间中的点：n元有序数组其中，数称为该点的第i个坐标.n维空间中两点间的距离：

注：当n=1,2,3时，上式即是数轴、平面及空间

两点间的距离

.其中，点为和12:56:242一、n维空间

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密码：123456jx47.2多元函数的基本概念12:56:24曲面平面二次曲面一般方程空间直角坐标系空间解析几何复习12:56:24球面柱面椭球面旋转抛物面圆锥面双曲抛物面67.2多元函数的基本概念12:56:24

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7.2多元函数的基本概念12:56:247

一、多元函数的基本概念

二、多元函数的极限

三、多元函数的连续性目的要求

1.了解平面区域、点的邻域、开区域与闭区域等概念

2.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域重点1.二元函数的概念2.二元函数的连续性的概念

3.了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质7.2多元函数的基本概念12:56:248

在一元函数的微积分中，所讨论的对象都是一元函数y=f(x)，即函数只依赖于一个自变量。

在数学上，这种由多个因素才能确定的变量，就是多元函数。

但在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。12:56:2497.2多元函数的基本概念

一元函数的定义域是在数轴上讨论，一般是一个区间（开区间、闭区间、半开半闭区间）。平面上进行讨论，二元函数z=f(x,y)的定义域在几何上表示一个平面区域。量多了一个，它的定义域很自然地要扩充到但是对于二元函数而言，由于自变二、平面区域12:56:24107.2多元函数的基本概念(不包含圆周)，为半径的圆的内部d为一正数，d1、邻域（一）平面区域二、平面区域去心邻域,称为点邻域,(neighborhood)12:56:2411E的边界。2、区域(region)(boundary)12:56:2412例:2、区域(region)12:56:2413

如果点集E内任意两点都能用全属于E的折线或曲线连接起来，则称E为连通的.

连通的开集称为开区域，简称区域.(5)连通：(6)区域：例如，例如，区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.2、区域(region)12:56:2414例例为无界开区域.区域区域(7)有界与无界区域：否则称E为无界区域.为有界闭区域.2、区域(region)12:56:2415注：n维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：2、区域(region)12:56:2416

导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象.同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.三、多元函数的概念在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.这些内容作为一元函数12:56:24177.2

多元函数的基本概念矩形面积S与长x，宽y之间关系为其中长x和宽y是两个独立的变量,

例2著名的生产函数为，这里为常数，S=xy(x>0,y>0)例1矩形面积S

有惟一确定值对应.当x,y

的值取定后,内,在它们变化范围Q就

有惟一确定的值相对应.值取定后,当K,L的Q是一个依赖于K和L的变化而变化的量．Q表示产量，分别表示投入的劳动力数量和资本数量，在西方经济学中，三、多元函数的概念12:56:24187.2多元函数的基本概念其中称为自变量，设D为中的一个非空点集，zDyxzf记为实数z的取值范围称为值域，记为的变化范围D称为函数的定义域，量，z称为因变又记为记为f：D→R，二元函数，则称映射f为定义在D上的一确定的实数z与之对应，都有惟使得对于D中每一个有序实数对射f，若有一个映1.定义三.多元函数的概念12:56:2419类似地可定义三元及三元以上函数．定义域D(f)、对应法则f函数的表示法：（1）二元显函数z=f(x,y)（2）二元隐函数F(x,y,z)=0确定函数的两要素：多元函数．三.多元函数的概念12:56:2420

2.二元函数的定义域

当用某个解析式表达二元函数时，凡是使解析式有意义的自变量所组成的平面点集为该二元函数的定义域，例1解所以函数的定义域为xy二元函数的定义域通常为平面区域.要使函数有意义须满足有界闭区域三.多元函数的概念(自然定义域)12:56:2421例2解函数的定义域为要使函数有意义须满足无界开集

2.二元函数的定义域12:56:2422例3解要使函数有意义,必须故所求定义域为有界闭区域

2.二元函数的定义域12:56:2423Solution.Solution.例4例5换元法12:56:2424

3.二元函数的几何图形

设函数z=f(x,y)的定义域为D.平面上的投影.而定义域D正是这曲面在Oxy该几何图形通常是一张曲面.这个点集称为二元函数的图形.得到空间点集D上的一切点时,当(x,y)

取遍确定空间一点这样,就对应的函数值为点对于任意取定的D一元函数表示

x

y平面上的一条曲线y=f(x)12:56:2425例2例1

3.二元函数的几何图形12:56:2426例4图形如右图.例3如右图，为球面.单值分支:

3.二元函数的几何图形12:56:24274.多元函数的定义一个自变量.两个自变量.三个自变量.n个自变量.n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.三.多元函数的概念12:56:2428注意

(1)

多元函数也有单值函数和多值函数，如在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论.(2)

多元函数也有分段函数，如(3)点函数u=f(P)能表示所有的函数.(4)函数有加减乘除数乘及复合运算(略)三.多元函数的概念12:56:2429

(5)一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用.三.多元函数的概念12:56:2430(2)

多元函数也有分段函数，如(3)点函数u=f(P)能表示所有的函数.(4)函数有加减乘除数乘及复合运算(略)四.多元函数的极限

设函数z=f(x,y)在点的某一去心方式趋于定点

时,或记作的极限，则称A为函数z=f(x,y)常数

A,

函数值f(x,y)

趋于一个确定如果动点

P(x,y)

在该邻域内以任意邻域内有定义,1.定义（一）二元函数的极限(二重极限)12:56:2431指当P(x,y)以任意方式与方向趋于定点P0(x0,y0),二元函数极限的说明：

(2)对于二元函数极限的不存在,以不同路径趋于点时,

在某一路径上点P(x,y)

趋于点的极限不存在,则可以断定函数在点的极限不存在.特征.即极限趋近方式具有任意性于A.

函数都无限接近（1）对于二元函数极限的存在是或函数趋于不同的值;则有若当点P(x,y)（两种路径）四.多元函数的极限12:56:2432

例1考察函数在处的极限是否存在.

xy

-1.0-0.5-0.200.20.51.0-1.00.000.600.921.000.920.600.00-0.5-0.600.000.721.000.720.00-0.60-0.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.000.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920.5-0.600.000.721.000.720.00-0.601.00.000.600.921.000.920.600.00做出函数在点附近的函数值表，如下函数在处的极限不存在.四.多元函数的极限

12:56:2433

例1证明函数在处的极限不存在.让沿直线而趋于，它将随k的不同而具有不同的值.极限不存在.证则有因此，四.多元函数的极限12:56:2434例2讨论函数解

当P(x,y)沿x

轴趋于(0,0)时,

当P(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,当(x,y)→(0,0)时的极限。三.多元函数的极限12:56:2435当P(x,y)沿

y=kx()趋于(0,0)时,.当k取不同值时,取不同值，三.多元函数的极限12:56:2436确定极限不存在的方法：

（2）找两种不同趋近方式，此时也可断言),(yxf在点若极限存在,但两者不相等，例3证明不存在．处极限不存在．12:56:2437例3证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：12:56:2438不存在.观察播放确定极限不存在的方法：12:56:24392.二元函数极限的计算

对于未定型，不再有L`Hospital法则，须化成确定型.

二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质与运算法则.

计算二元函数的极限时，常把二元函数极限转化为一元函数极限问题，再利用四则运算法则、夹逼定理、作变量代换、两个重要极限、无穷小替换、对函数作恒等变换约去零因子、还可利用多元初等函数的连续性.

三.多元函数的极限12:56:2440解:例4

求2.二元