初三锐角三角函数知识点与典型例题

..锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：锐角三角函数定义：在Rt△ABC中,∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA=,∠A的余弦可表示为cosA=∠A的正切：tanA=,它们弦称为∠A的锐角三角函数[特别提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA<cosA<tanA>]例1．如图所示,在Rt△ABC中,∠C＝90°．第1题图①＝______, ＝______；②＝______, ＝______；③＝______, ＝______．例2.锐角三角函数求值：在Rt△ABC中,∠C＝90°,若a＝9,b＝12,则c＝______,sinA＝______,cosA＝______,tanA＝______,sinB＝______,cosB＝______,tanB＝______．例3．已知：如图,Rt△TNM中,∠TMN＝90°,MR⊥TN于R点,TN＝4,MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt△ABC中,求AC、AB和cosB．2．已知：如图,⊙O的半径OA＝16cm,OC⊥AB于C点,求：AB及OC的长．3．已知：⊙O中,OC⊥AB于C点,AB＝16cm,<1>求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；<2>求cos∠AOC及tan∠AOC．已知是锐角,,求,的值对应训练：〔西城北3．在Rt△ABC中,∠C＝90°,若BC＝1,AB=,则tanA的值为A．B．C．D．2<房山>5．在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于〔.A．B.C.D.类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC边上一点,DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如图,直径为10的⊙A经过点和点,与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为〔A．B．C．D．3.〔2009·XX中考如图,角的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P〔3,4,则．4.〔2009·庆阳中考如图,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB,,则这个菱形的面积=cm2．5.〔2009·XX中考如图,是的外接圆,是的直径,若的半径为,,则的值是〔A．B．C．D．6.如图4,沿折叠矩形纸片,使点落在边的点处．已知,,AB=8,则的值为<>Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7.如图6,在等腰直角三角形中,,,为上一点,若,则的长为<>A．B．C．D．8.如图6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=求∠B的度数及边BC、AB的长.图6类型三.化斜三角形为直角三角形例1〔2012•XX如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的长．例2．已知：如图,△ABC中,AC＝12cm,AB＝16cm,<1>求AB边上的高CD；<2>求△ABC的面积S；<3>求tanB．例3．已知：如图,在△ABC中,∠BAC＝120°,AB＝10,AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．〔2012•XX如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．〔结果保留根号2．已知：如图,△ABC中,AB＝9,BC＝6,△ABC的面积等于9,求sinB．3.ABC中,∠A=60°,AB=6cm,AC=4cm,则△ABC的面积是A.2cm2 B.4cm2C.6cm2 D.12cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1〔2012•内江如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为〔A．B．C．D．对应练习：1．如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_______.2．如图,A、B、C三点在正方形网络线的交点处,若将绕着点A逆时针旋转得到,则的值为A.B.C. D.3．正方形网格中,如图放置,则tan的值是〔A．EQ\F<EQ\R<,5>,5> B.EQ\F<2EQ\R<,5>,5>C.EQ\F<1,2>D.2特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．〔昌平1.计算：．〔XX2计算：.〔2009·XX中考计算：3－1+<2π－1>0－tan30°－tan45°<石景山>4．计算：．<通县>5．计算：；例2．求适合下列条件的锐角．<1> <2><3> <4>〔5已知为锐角,且,求的值〔6在中,若,都是锐角,求的度数.例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角,且sinA<,那么∠A的取值范围是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°已知A为锐角,且,则〔A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函数在几何中的应用1．已知：如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,BE＝16cm,求此菱形的周长．2．已知：如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,,作∠DAC＝30°,AD交CB于D点,求：<1>∠BAD；<2>sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,,点D在BC边上,DC=AC=6,求tan∠BAD的值．5.〔本小题5分如图,△ABC中,∠A=30°,,．求AB的长.解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下<如图所示>：在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝b,BC＝a,AB＝c,①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：______；_______；_____；______．④直角三角形中成比例的线段<如图所示>．在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．类型一例1．在Rt△ABC中,∠C＝90°．<1>已知：a＝35,,求∠A、∠B,b；<2>已知：,,求∠A、∠B,c；<3>已知：,,求a、b；<4>已知：求a、c；<5>已知：∠A＝60°,△ABC的面积求a、b、c及∠B．例2．已知：如图,△ABC中,∠A＝30°,∠B＝60°,AC＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图,Rt△ABC中,∠D＝90°,∠B＝45°,∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图,△ABC中,∠A＝30°,∠B＝135°,AC＝10cm．求AB及BC的长．类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．〔2012•XX如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是〔A．200米B．200米C．220米D．100〔米例2．已知：如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°,∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离,求点B到地面的垂直距离BC．例3〔昌平19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°,测得山顶B的仰角∠DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长．例4.如图,小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.例5．已知：如图,河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点D的俯角为45°,又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求山的高度及缆绳AC的长<答案可带根号>．例5．〔2012•XX如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为〔A．10米B．10米C．20米D．米例6．〔2012•XX超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A处,离XX大道的距离〔AC为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°．〔1求B、C两点的距离；〔2请判断此车是否超过了XX大道60千米/小时的限制速度？〔计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒类型四.坡度与坡角例．〔2012•XX如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：,堤坝高BC=50m,则应水坡面AB的长度是〔A．100mB．100mC．150mD．50m类型五.方位角1．已知：如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B处,测得灯塔M在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M之间的最短距离是多少?<精确到0.1海里,>2．〔2012•XX州新闻链接,据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退20XX5月18日,某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的"中国渔政310"船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔,保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船,立即掉头离去．〔见图1解决问题如图2,已知"中国渔政310"船〔A接到陆地指挥中心〔B命令时,渔船〔C位于陆地指挥中心正南方向,位于"中国渔政310"船西南方向,"中国渔政310"船位于陆地指挥中心南偏东60°方向,AB=海里,"中国渔政310"船最大航速20海里/时．根据以上信息,请你求出"中国渔政310"船赶往出事地点需要多少时间．综合题：三角函数与四边形：〔西城二模1．如图,四边形ABCD中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2,tan∠BDC=eq\f<\r<,6>,3>．<1>求BD的长；<2>求AD的长．〔2011东一18．如图,在平行四边形中,过点A分别作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F．〔1求证：∠BAE=∠DAF；〔2若AE=4,AF=,,求CF的长．三角函数与圆：1．如图,直径为10的⊙A经过点和点,与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为〔A．B．C．D．〔延庆19.已知：在⊙O中,AB是直径,CB是⊙O的切线,连接AC与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C若AD=8,tanC=,求⊙O的半径。〔2013XX期末21.如图,DE是⊙O的直径,CE与⊙O相切,E为切点.连接CD交⊙O于点B,在EC上取一个点F,使EF=BF.〔1求证:BF是⊙O的切线;〔2若,DE=9,求BF的长．作业：〔昌平1．已知,则锐角A的度数是A．B．C．D．〔西城北2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,若BC＝1,AB=,则tanA的值为A．B．C．D．2<房山>3．在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于〔.A．B.C.D.<大兴>4.若,则锐角＝.<石景山>1．如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,AC=2,则tanB的值是A．B．C．D．〔丰台5．将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tanα的值是A．B．2C．D．<大兴>5.△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示,则的值是A. B.C. D.<通县>4．如图,在直角三角形中,斜边的长为,,则直角边的长是〔A．B．C．D．〔通州期末1．如图,已知P是射线OB上的任意一点,PM⊥OA于M,且OM:OP=4:5,则cosα的值等于〔A．B．C．D．〔西城6．如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若OB长为10,,则AB的长是A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果cosA=,那么tanA的值是A．B．C．D．11．如图,在△ABC中,∠ACB=∠ADC=90°,若sinA=,则cos∠BCD的值为．计算：13．计算.13．计算：．14.如图,小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.15．已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,a=,b=.解这个直角三角形20.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD是∠CAB的平分线,tanB=,求的值．〔延庆19.已知：在⊙O中,AB是直径,CB是⊙O的切线,连接AC与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C若AD=8,tanC=,求⊙O的半径。〔延庆期末19．如图,某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角为,荷塘另一端处、在同一条直线上,已知米,米,求荷塘宽为多少米？〔结果保留根号18.〔6分如图,在△ABC中,点O在AB上,以O为圆心的圆经过A,C两点,交AB于点D,已知2∠A+∠B=〔1求证：BC是⊙O的切线；〔2若OA=6,BC=8,求BD的长〔1证明：〔2解：〔西城 15．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC边上．若DB=6,AD=CD,sin∠CBD=,求AD的长和tanA的值．18．如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.〔1B处距离灯塔P有多远？〔2圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上,距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海