1平面与平面垂直

第十一章立体几何初步空间中的垂直关系平面与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析若a∥l,b∥l,则a∥b,假设a⊥b,在平面α内,过a上一点P作PM⊥l交l与M,则PM⊥β,∴PM⊥b.又b⊥a,所以b⊥α,得b⊥l,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.答案B2.给出以下四种说法:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的个数是() 解析根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知③错,①②④正确,故选B.答案B3.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥β∥β和l⊥m D.α∥β和α⊥γ解析由m⊥γ,l⊂γ,可得m⊥l.由m⊂α,m⊥γ,可得α⊥γ.答案A4.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是()⊥n,m∥α,n∥β ⊥n,α∩β=m,n⊂β∥n,n⊥β,m⊂α ∥n,m⊥α,n⊥β解析A与D中α也可与β平行,B中不一定α⊥β,故选C.答案C5.下列说法正确的是()①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.①③ B.②③ C.②③④ D.④解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a⊂β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.④正确.答案D6.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为()3 2 5 5解析∵三个平面两两垂直,∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,∴OP即为对角线,∴OP=32+42答案B7.下列说法中:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的有()A.①③ B.②④ C.③④ D.①②解析对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的,故选B.答案B8.已知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.(1)当满足条件时,有m∥β;

(2)当满足条件时,有m⊥β.(填所选条件的序号).

答案③⑤②⑤9.下列四个命题中,正确的序号有.

①α∥β,β⊥γ,则α⊥γ; ②α∥β,β∥γ,则α∥γ;③α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ; ④α⊥β,γ⊥β,则α∥γ.解析①②正确,③中α,γ也可能平行,④中α,γ也可能相交.答案①②10.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.上面命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号).

解析(1)由面面平行的判定定理可得,该命题正确.(2)由线面平行的判定定理可得,该命题正确.(3)如图(举反例),a⊂α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.答案(1)(2)11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,二面角C1-BD-C的大小为.

解析连接AC交BD于点O,连接C1O,∵C1D=C1B,O为BD中点,∴C1O⊥BD,∵AC⊥BD,∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=2,可以计算C1O=22,∴sin∠C1OC=C1CC1O=12,答案30°12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.(1)求证:EF∥平面CB1D1;(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.证明(1)连接BD.在正方体AC1中,对角线BD∥B1D1.又∵E,F为棱AD,AB的中点,∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.又B1D1⊂平面CB1D1,EF⊄平面CB1D1,∴EF∥平面CB1D1.(2)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1⊂平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1.又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,∴B1D1⊥平面CAA1C1.又∵B1D1⊂平面CB1D1,∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.能力提升1.正方形ABCD的边长为12,PA⊥平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离为()3 2 3 6解析如图,连接AC交BD于点O.则PA⊥BD,AO⊥BD.所以BD⊥平面PAO.所以PO⊥BD,故PO为P到BD的距离.在Rt△AOP中,PA=12,AO=62.所以PO=66.答案D2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC解析在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=45°.因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.又因为∠BCD=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.在题图②中,此关系仍成立.因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.因为BA⊂平面ADB,所以CD⊥AB.因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.因为BA⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.答案D3.如图,A,B,C,D为空间四点,在Rt△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=()A.3 C.5 解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,又CE⊂平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可求得DE=3,CE=1,故在Rt△DEC中,CD=DE2+答案B4.(多选题)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()A.若m∥β,n∥β,m,n⊂α,则α∥βB.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则m⊥nC.若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么m∥nD.若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么m∥n解析由m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,知:在A中,若m∥β,n∥β,m,n⊂α,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,得m⊥γ,n⊂γ,则由面面垂直的性质定理得m⊥n,故B正确;在C中,若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么由线面垂直的性质定理得m⊥n,故C错误;在D中,若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么由线面平行的性质定理得m∥n,故D正确.故选BD.答案BD5.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下面四个结论中正确的是()∥平面AGF⊥平面ABFC.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD解析∵F,G分别是CD,DB的中点,∴GF∥BC,则BC∥平面AGF,故A正确;∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵EG∥CD,∴EG⊥平面ABF,故B正确;∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵CD⊂面BCD,∴平面ABF⊥平面BCD,故D正确;对于选项C,假设平面AEF⊥平面BCD,由平面AEF∩平面BCD=AF,CD⊂平面BCD,CD⊥AF,∴CD⊥平面AEF,CD⊥EF,与CD,EF夹角为60°矛盾,故C错误.故选ABD.答案ABD6.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合),则下列命题中正确的是()①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.A.① B.①② C.①②③ D.②③解析注意折叠前DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变.①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,∴点A'在平面ABC上的射影在线段AF上,正确;②BC∥DE,BC⊄平面A'DE,DE⊂平面A'DE,∴BC∥平面A'DE,正确;③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED的体积达到最大,正确.答案C7.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=.

解析取AB的中点E,连接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=27,PE=PACE=BE2+BC2答案78.如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,边长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面AC所成的角为θ,则θ=.

解析如图所示,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.∵△PAD是等边三角形,∴PG⊥AD,又平面PAD⊥平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PG⊂平面PAD,∴PG⊥平面AC,∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,∴∠PBG=45°,即θ=45°.答案45°9.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.

解析如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.所以t的取值范围是12答案110.如图,在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)求异面直线AO与CD所成角的正切值.(1)证明由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,∴CO⊥BO,又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB,又∵CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(2)解作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO,∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.在Rt△COE中,CO=BO=2,OE=12BO=∴CE=CO2+OE2=5∴在Rt△CDE中,tan∠CDE=CEDE∴异面直线AO与CD所成角的正切值为15311.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A