山东省淄博市金城中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省淄博市金城中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数，则是（

） A．最小正周期为的偶函数

B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为2的偶函数

D．最小正周期为的奇函数参考答案：D2.设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使得，，则双曲线的离心率为（

▲)A．2 B． C． D．参考答案：D略3.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分別为A，B，点M，N是椭圆C上关于长轴对称的两点，若直线AM与BN相交于点P，则点P的轨迹方程是（）A．x=±a（y≠0） B．y2=2b（|x|﹣a）（y≠0）C．x2+y2=a2+b2（y≠0） D．=1（y≠0）参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求得直线PA的方程及PB的方程，两式相乘，整理即可求得P的轨迹方程．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0≠0，P（x，y），y≠0则直线PA的斜率k=，则直线PA的方程y=（x+a），①同理直线PB的斜率k=，直线PB的方程y=（x﹣a），②两式相乘：y2=（x2﹣a2），由，y02=（a2﹣x02），则y2=（x2﹣a2），整理得：（a＞b＞0）（y≠0），则点P的轨迹方程（a＞b＞0）（y≠0），故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的点斜式方程，考查轨迹方程的求法，考查转化思想，属于中档题．4.{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是

A．4019

B．4018

C．4017

D．4016参考答案：B5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则A．21

B．22

C．23

D．24参考答案：A由题意＝15，，∴．故选A．

6.复数的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B略7.已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A，，故为假命题，为真命题，因为，，所以命题：，，为假命题，所以为真命题，为真命题，故选A.

8.已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013的值为（） A．﹣1 B． 1﹣log20142013 C． ﹣log20142013 D． 1参考答案：A9.设，其中x，y满足当z的最大值为6时，的值为

（

）

A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：A10.函数的图象A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称参考答案：D本题考查的知识点是函数的奇偶性，，是偶函数，所以图像关于关于y轴对称所以答案是D。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．参考答案：【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．12.已知在△ABC中，（2﹣3）?=0，则角A的最大值为．参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出个向量，得出三角形三边的关系，利用余弦定理和基本不等式得出cosA的范围．【解答】解：∵（2﹣3）?=0，即（2﹣3（﹣））?（）=0，即（）?（）=0，∴﹣4+3=0，设A，B，C所对的边为a，b，c，则c2﹣4bccosA+3b2=0，又cosA=，∴b2﹣c2+2a2=0，即a2=（c2﹣b2），∴cosA===≥=．∴0＜A≤．故答案为．13.设是方程的解，且，则=▲。参考答案：【知识点】函数零点问题

B9由，得令，.故答案为.【思路点拨】由方程得到对应的函数，由零点存在性定理得到方程根的范围，则答案可求．14.已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，，且，，构成等比数列，则（）A.15 B.-15 C.30 D.25参考答案：D【分析】设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前项和公式求解．【详解】解：设等差数列的公差为，由题意，，解得．∴．故选：D．15.已知函数f（x）=|x|（x﹣a）+1．当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为

；若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）

【考点】分段函数的应用．【分析】当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调递增区间；函数g（x）=f（x）﹣a至多有一个负零点，两个非负零点，进而得到a的取值范围．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，故函数图象是连续的，且在（﹣∞，0）和[0，+∞）上均为增函数，故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；函数g（x）=f（x）﹣a=|x|（x﹣a）+1﹣a=，令g（x）=0，则当x＜0时，﹣x2+ax﹣a+1=0，即a=x+1，x=a﹣1，即函数g（x）至多有一个负零点，此时a﹣1＜0，a＜1；当x≥0时，x2﹣ax﹣a+1=0，若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则x2﹣ax﹣a+1=0有两个不等的正根，则，解得：2﹣2＜a＜1，综上可得：若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为（2﹣2，1），故答案为：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的存在性及个数判断，难度中档．16.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有

．参考答案：30017.若关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则=_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C1－ABA1的体积．参考答案：(1)证明：如图，连结AB1，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.………3分又∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A.∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.

………6分(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝，∴AC＝A1C1＝1，

………8分由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，

………10分∴VC1－ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.

………12分19.已知函数f（x）=lnx﹣x2+ax，（1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围；（2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2，求证（3）证明当n≥2时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x﹣恒成立，求出a的范围即可；（2）求出a，得到f′（）=﹣，问题转化为证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；（3）令a=1，得到lnx≤x2﹣x，得到x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，累加即可．【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，∴f′（x）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立，即a≤2x﹣恒成立，而y=2x﹣在（1，+∞）递增，故2x﹣＞1，故a≤1；（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②，两式相减得a=（x1+x2）﹣，又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，则f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要证﹣＜0，即证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，∵u′（t）=，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知﹣＜0，故f′（）＜0成立；（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减，∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0，故lnx≤x2﹣x，x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，故++…+＞++…+=1﹣，∴++…+＞1﹣，即左边＞1﹣＞1，得证．20.已知{an}为正项等比数列，a1+a2=6，a3=8．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=，且{bn}前n项和为Tn，求Tn．参考答案：(1)an=2n；(2)Tn=2-（n+2）?（）n【分析】（1）等比数列的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式，解方程可得所求通项；（2）求得bn==n?（）n，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．【详解】（1）{an}为正项等比数列，公比设为q，q＞0，a1+a2=6，a3=8．可得a1+a1q=6，a1q2=8，解得a1=q=2，即an=2n；（2）bn==n?（）n，Tn=1?+2?+…+n?（）n，Tn=1?+2?+…+n?（）n+1，相减可得Tn=+++…+（）n-n?（）n+1=-n?（）n+1，化简可得Tn=2-（n+2）?（）n．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．21.（本题满分12分）已知向量a=，b=，设函数=ab．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：（Ⅰ）f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx

=+sin2x=sin(2x-)+1，

………………3分由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f(x)的递增区间是[-+kπ，+kπ](k∈Z)．…………6分（II）由题意g(x)=sin[2(x+)-]+1=sin(2x+)+1，…………9分由≤x≤得≤2x+≤，∴0≤g(x)≤+1，即g(x)的最大值为+1，g(x)的最小值为0．

…12分22.已知函数f(x)=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；（Ⅱ）当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），，由题意列出方程组，能求出点P的坐标．（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）=，，x∈（0，+∞），设h（x）=ex﹣ax，x∈（0，+∞），则h'（x）=ex﹣a，由此利用分类讨论和导数性质能证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），，由题意知解得x0=2，所以，从而点P的坐标为．证明：（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣lnx）=，，x∈（0，+∞），设h（x）=ex﹣ax，x∈（0，