山东省淄博市张店区第二中学2022年高一数学理月考试题含解析

山东省淄博市张店区第二中学2022年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的表面积为

正视图

侧视图

俯视图A．

B．

C．

D．参考答案：C2.（5分）设tanα、tanβ是方程x2+x﹣2=0的两实数根，则tan（α+β）的值为（） A． ﹣1 B． ﹣ C． D． 1参考答案：B考点： 两角和与差的正切函数．专题： 三角函数的求值．分析： 由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα?tanβ的值，从而求得tan（α+β）=的值．解答： 由题意可得tanα+tanβ=﹣1，tanα?tanβ=﹣2，∴tan（α+β）===．故选：B．点评： 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．3.等差数列的前项和为，已知，，则()A． B． C． D． 参考答案：C4.（5分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是（） A． 相交直线 B． 平行直线 C． 不垂直的异面直线 D． 互相垂直的异面直线参考答案：A考点： 空间中直线与直线之间的位置关系．专题： 常规题型．分析： 根据棱台的定义知，棱台的侧棱延长后一定相交与一点．解答： 由棱台的定义知，四棱台可看作是由四棱锥截得的，则DD1与BB1所在直线是相交的．故选A．点评： 本题考查了棱台的定义，即棱台可是由棱锥截得，故棱台的侧棱延长后一定相交与一，这是对结构特征的考查．5.已知偶函数在上单调递增，则下列关系成立的是（

）． A． B．C． D．参考答案：C∵是偶函数，∴，，又∵在上单调递增，∴，∴，故选．6.等差数列{an}前n项的和为Sn，若，则的值是（

）A.36 B.48 C.54 D.64参考答案：C【分析】由等差数列{an}的性质可得：a4+a6=12=a1+a9，再利用求和公式即可得出．【详解】由等差数列{an}的性质可得：a4+a6=12=a1+a9，则S9==9×=54．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.设全集为R，集合，，则A∩(?RB)＝()A．(－2,0)

B．(－2,－1)

C．(－2,－1]

D．(－2,－2)参考答案：C8.已知数列{an}满足，，则（

）A.4 B.-4 C.8 D.-8参考答案：C【分析】根据递推公式，逐步计算，即可求出结果.【详解】因为数列满足，，所以，，.故选C【点睛】本题主要考查由递推公式求数列中的项，逐步代入即可，属于基础题型.9.公差不为零的等差数列的前项和为.若是与的等比中项,,则等于（）A．18 B．24 C．60 D．90参考答案：C10.已知函数，若，则实数

(）A．

B．

C．或

D．或参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，∠C=90°，两条中线AD，CE互相垂直，则∠B=

。参考答案：arccos12.数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则等于_________参考答案：100613.直线的倾斜角的大小是______．参考答案：（或）14.已知函数在区间上有一个零点（为连续整数），则

。参考答案：5略15.若的值域是______.参考答案：略16.已知集合，则___________。参考答案：略17.sin210°的值为

▲

．

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（2）设过点P的直线ll与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（3）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点： 直线与圆的位置关系．专题： 计算题；直线与圆．分析： （1）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（2）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答： （1）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由=1，解得k=﹣．所以直线方程为y=﹣（x﹣2），即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（2）由于|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（3）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率kPC=﹣2，而，所以a=．由于?（﹣∞，0），故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评： 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．19.（本小题满分12分）在中，角A、B、C的对边分别为，已知向量且满足，（1）求角A的大小；（2）若试判断的形状。参考答案：

,

20.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.(1)求数列的通项公式；(2)是否存在正整数，使不等式恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）解法一：因为是与的等差中项，所以（），即，（）

当时有

………………2′得，即对都成立

………………2′又即，所以

所以.

………………2′解法二：

因为是与的等差中项，所以（），即，（）由此得（），又，所以（），

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

………………3′得，即（），所以，当时，，

又时，也适合上式，所以.

………………3′

（2）原问题等价于（）恒成立.………………1′

当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；

………………1′

当为偶数时，等价于恒成立，

令，，则等价于恒成立，

………………2′

因为为正整数，故只须，解得，，

所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11.

………………221.（本小题满分12分）如图1，AB为圆O的直径，D为圆周上异于A，B的点，PB垂直于圆O所在的平面，BE⊥PA，BF⊥PD，垂足分别为E，F。已知AB＝BP＝2，直线PD与平面ABD所成角的正切值为、（I）求证：BF⊥平面PAD（II）求三棱锥E－ABD的体积（III）在图2中，作出平面BEF与平面ABD的交线，并求平面BEF与平面ABD所成锐二面角的大小、参考答案：（I）详见解析（II）（III）试题分析：（1）推导出AD⊥BD，PB⊥AD，从而AD⊥平面PBD，进而AD⊥BF，由此能证明BF⊥平面PAD．（2）由PB⊥平面ABD，得∠PDB是直线PD与平面ABD所成的角，由PB⊥平面ABD，求出三棱锥E-ABD的高，由此能求出三棱锥E-ABD的体积．（3）连接EF并延长交AD的延长线于点G，连接BG，则BG为平面BEF与ABD的交线，推导出∠ABE是平面BEF与平面ABD所成锐二面角的平面角，由此能求出平面BEF与平面ABD所成锐二面角的大小试题解析：（1）证明：∵为圆的直径，为圆周上一点.(1分)∵平面(2分)又∵平面PBD

(3分)∵平面又∵平面

(4分)(2)解：∵平面是直线与平面所成的角.

(5分)在中，可得在中，，，可得

(6分)∵∴是的中点.∵平面三棱锥的高∴

(8分)（3）连接并延长交的延长线于点，连接，则为平面与的交线。在中，在中，∴∵面.∴在中，可求得.∴.又∵∴∴∴(10分)又∵∴又∵面∴∴面∴∴是平面与平面所成锐二面角的平面角(11分)即(12分)考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积22.（本小题满分12分）已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（Ⅰ）求三棱柱的体积；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：∥面．参考答案：（Ⅰ）

---------------------------------3分（Ⅱ）∵,∴为等腰三角形∵为中点，∴

---------------------------------4分∵为直棱柱，∴