（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第三章导数及其应用3.2利用导数研究函数的单调性

第二节利用导数研究函数的单调性【教材·知识梳理】函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导：①若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内_________；②若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内_________；③若f′(x)=0，则f(x)在这个区间内是_________.单调递增单调递减常数函数【常用结论】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间.(2)当方程f′(x)=0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间.2.两个条件(1)f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f′(x)<0是函数f(x)为减函数的充分不必要条件.3.确定单调区间端点值的三个依据(1)导函数等于零的点.(2)函数不连续的点.(3)函数不可导的点.4.三点注意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在(a,b)内f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. (

)(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减.(

)(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)>0恒成立. (

)提示:(1)√.(2)×.不一定,如函数y=的导函数y′=-<0恒成立,但是函数y=的图象不是恒下降的.(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上单调递增,但是y′=3x2在x=0处的值为0.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视定义域优先的原则考点一、T1,22分类讨论时分类标准出错考点二、典例3已知单调性求参数的问题时,所列不等式是否取等号出错考点三、角度3【教材·基础自测】1.(选修2-2P25例3改编)函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为 (

)A.(0,1)

B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-,令f′(x)<0,得0<x<1.2.(选修2-2P26练习AT1改编)已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是 (

)【解析】选D.由题图可知,当x<0和x>x1时,导函数f′(x)=ax2+bx+c<0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递减;当0<x<x1时,导函数f′(x)=ax2+bx+c>0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递增.3.(选修2-2P27练习AT4改编)利用导数讨论指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的单调性.【解析】指数函数f(x)=ax的定义域为R,因为f′(x)=axlna,对于任意x∈R,总有ax>0,所以当0<a<1时,lna<0,f′(x)<0,函数在R上单调递减,当a>1时,lna>0,f′(x)>0,函数在R上单调递增.综上,当0<a<1时,函数f(x)=ax单调递减,当a>1时,函数f(x)=ax单调递增.解题新思维构造法的应用

【结论】构建新函数解答比较大小和不等式问题分析已知条件的特点构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较.【典例】(2020·凉山模拟)若0<x1<x2<a都有x2lnx1-x1lnx2<x1-x2成立,则a的最大值为 (

)A. B.1 C.e D.2e【解析】选B.原不等式可转化为构造函数f(x)=,f′(x)=,故函数在(0,1)上导数大于零,单调递增,在(1,+∞)上导数小于零,单调递减.由于x1<x2且f(x1)<f(x2),故x1,x2在区间(0,1)上,故a的最大值为1.【迁移应用】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=,则a,b,c的大小关系是 (

)A.a>b>c

B.c>b>aC.a>c>b

D.c>a>b【解析】选D.令h(x)=xf(x),因为函数y=f(x)以及函数y=x是R上的奇函数,所以h(x)=xf(x)是R上的偶函数.又因为当x<0时,h′(x)=f(x)+xf′(x)<0,所以函数h(x)在x∈(-∞,0)时单调递减,所以h(x)在x∈(0,+∞)时单调递增.因为a=30.3·f(30.3)=h(30.3),b=logπ3