含绝对值一次方程的解法

含绝对值一次方程及方程组的解法、绝对值的代数和几何意义。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。aa>0用字母表示为a=<0a=0一aa<0绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负数。根据绝对值的意义，我们可以得到：当a>0时x=±aIx|=a当a=0时x=0当a<0时方程无解.、含绝对值的一次方程的解法(1)形如|ax+b\=c(aw0)型的绝对值方程的解法：①当c<0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；b②当c—0时，原方程变为1ax+b|=0,即ax+b—0，解得x=—；ac一b一c一b③当c>0时，原方程变为ax+b—c或ax+b——c,解得x—或x—.aa(2)形如|ax+b|—cx+d(acw0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知cx+d>0，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax+b—cx+d和ax+b——(cx+d)；③分别解方程ax+b—cx+d和ax+b——(cx+d)；④将求得的解代入cx+d>0检验，舍去不合条件的解.(3)形如|ax+b|—|cx+d|(acw0)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax+b—cx+d或ax+b——(cx+d)；②分别解方程ax+b—cx+d和ax+b——(cx+d).(4)形如|x—a|+|x—b|—c(a<b)型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知|x—a|+|x—b|>|a-b|；②当c<|a—b|时，此时方程无解；当c—|a—b|时，此时方程的解为a<x<b；当c>a-耳时，分两种情况：①当％<a时，原方程的解为％="b二；②当%>b时，原方程的解为2a+b+c(5)形如|a%+b|士|c%+d|=ex+f(ac丰0)型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令|a%+b|=0，得％=%，令|cx+d\=0得%=%；②零点分段讨论：不妨设%<%，将数轴分为三个区段，即①%<%:②%<%<%；12112③%>%；2③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解.(6)形如a%+b|+c%+d=e%+f(aw0)型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解.解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知e%+f>0，求出％的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程|a%+b|=e%+f-(c%+d)和|a%+b|=-(e%+f)-(c%+d)；③解②中的两个绝对值方程.三、热身练习：1、求下列方程的解：(1)|x|=7；(2)5|x|=10；(3)|x|=0；(4)|x|=-3；(5)|3x|=9［例1］解方程(1)(2)3-I2x-1I+x=［例1］解方程(1)(2)3-I2x-1I+x=0解：|1-2x|+3-4=0三-3]|1-2x|=1=-(3+x)1-2x=1或1-2x=-1x1=0或x2=1解：|2x-1|=3+x[x2x-1=3+x或2x-1★当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程。由绝对值的定义：可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的。【小试牛刀】1、|x-2|-2=02、-I1-3xI--=0343、4-2|5-x|=3x〖x1=4，x2=0〗-1—12-4x2=-5(舍)〗［例2］解方程|x-|2x+1||=3解：x-|2x+1|=3或x-|2x+1|=-3|2x+1|=x-3［x三3］或|2x+1|=x+3［x三-3］2x+1=x-3或2x+1=-（x-1）或2x+1=x+3或2x+1=-（x+3）TOC\o"1-5"\h\z…2.八4x=-4（舍）x=—（舍）x=2x=——233434・♦・原方程的解为x=2,x=—123【小试牛刀】1、2+|3-|x+4||=2x15〖x=-（舍）,x=9（舍）,x=3,x=—-（舍）〗323432、|||x-1|-1|-1|-1=0〖x1=4,x2=-2,x3=2,x4=0〗［例3］解方程|3x-2|+|x+1|=10解：令3x-2=0,x=3,，令x+1=0,x=-1①当x<-1时，②当-1wx<3时③当x三3时（3x-2）-（x+1）=10-（3x-2）+x+1=103x-2+x+1=103x+2-x-1=10-3x+2+x+1=103x+x=10+2-13x-x=10-2+1-3x+x=10-2-14x=11114x=9-2x=7；.x=—497人x=一x=——（舍）42911・•・原方程的解为x=—,x=-1424★由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。【小试牛刀】1、|x-4|-|x+3|=21〖x=一〗22、15+|2x+3|-2|2-3x|=0113、|x-2|-3|x+1|=2x-9[思考]1、已知ab<0,且|a|=2,|b|=7,求a+b的值解：•・1a|=2,.'.a=±2,*?|b|=7,.'.b=±7又,「ab<0,...a、b异号[2+(-7)=-5.a+b=<_[-2+7=5答：a+b=-5或a+b=52、已知|3x-2|+|2y+3|=0,求|x+y+1|的值解：：|3x-2|+|2y+3|=03、已知abc>3、已知abc>0,,abcab求—+——+—+———+IaIIbIIcIIabIbcacabc

++IbcIIacIIabcI的值解：•「abc>0・•・a、b、。为三正或二负一正①当a>0,b>0,c>0时一，abcabbcacabc原式=-+7+—+-T+~i—+—+-i—=1+1+1+1+1+1+1=7abcabbcacabc②不访设a<0,b<0,c>0abcabbcacabc原式=+--+—++—-—++—--=-1-1+1+1-1-1+一a一bcab一bc一acabc=-14、已知：|a|=a+1,|x|=2ax,求|x-1|-|x+1|+2的最小值与最大值解：:|a|=a+1；.a=a+1或a=-(a+1)，0-x=1(无解)或a=--又|x|=2ax；.|x|=-x,；.xW0令x-1=0,x=1,令x+1=0,x=-1①当xW-1时|x-1|-|x+1|+2=-(x-1)+(x+1)+2=-x+1+4+1+2=4②当-1<xW0时|x-1|-|x+1|+2=-(x-1)-(x+1)+2=-x+1-x-1+2

=-2x+2=答：|x-1|-|x+1|+2的最大值为4,最小值