北师大版选择性必修第一册5-3组合问题学案

§3组合问题［笔记教材］新课程标准新学法解读通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式..理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系..会推导组合数公式，并会应用公式进行计算..理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明.知识点一组合及组合问题（1）组合一般地，从〃个元素中，任取且加，〃£N+）个为一组，叫作从〃个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）组合问题有关求的问题叫作组合问题.答案：（1）不同元素（2）组合的个数知识点二组合数与组合数公式〃♦(〃一])•(〃-2)…[〃一(m一])]答案：所有组合的个数组合数定义从n个不同元素中取出且"2,〃&N+）个元素的，叫作从〃个不同儿系中取出团（加W“，且相，N+）个元素的组合数表示法C*组合数公式乘积形式5-Ktn—阶乘形式Cf!；=性质⑴c#=，(2)C1i=备注①〃£N+,且〃②规定C9=mJ况讨论.其一：同+同+田|+|%4|+网=1,此时，从Xi,X2,X3,X4,刖中任取一个让其等于1或一1,其余等于0,于是有CgC4=10（种）情况；其二：|刈+闷+闷+|刈+阿=2,此时，从Xi,X29X3,X4,心中任取两个让其都等于1或都等于一1或一个等于1、另一个等于-1,其余等于0,于是有2Cg+CgQ=40（种）情况;其三:|刈+|刈+阿+|犬4|+网=3,此时，从X|,X2,X3,X4,X5中任取三个让其都等于1或都等于一1或两个等于1、另一个等于一1或两个等于一1、另一个等于1,其余等于0,于是有2Cg+Cga+CK3=8O（种）情况.由于10+40+80=130,故答案为D.［巧归纳］对于复杂的排列问题，先选出符合要求的元素，再考虑元素的顺序，实质是运用排列的定义，把事件分为两个步骤完成，这种方法常称之为“先选后排法”.［练习5］某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A.（CkPA%个B.A%A%个C.（C%）21（）4个D.A961O4个答案：A解析：英文字母可以相同，故有（C^）2种选法，而数字有。〜9共10个，不允许重复，故有A%种排法，由分步乘法计数原理，满足要求的牌照号码共有（CkPAfo个，故选A.研习6两个计数原理在排列、组合综合问题中的应用［典例6］用5种不同的颜色给图中A,B,C,。四块区域涂色,要求相邻的区域颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？［解］方法一（分步涂色）：第一步，给人区域着色有C4种方法.第二步，给8区域着色有C1种方法.第三步，给。区域着色.若。区域用A区域的颜色，则。区域有CL种涂法.若C区域的颜色与4,8区域不同，则有CJ种涂法，则。区域也有CI种涂法.故共有涂法CkCMCl+GO=260（种）.方法二（按用色种数分类）：第一类：用5色中的两色，则A,C同色，B,。同色，共有C*A之种涂法.第二类：用5色中的3色，选取3种颜色有种选法，三色中的一种颜色涂4有C4种涂法，一种颜色涂B有G种方法，若余下的一种颜色涂C,则。与5同色.若余下的一种颜色涂。，则。与A同色.故最后一种颜色有两种涂法,本类有NCCX2种涂法.第三类：用5色中的4色，有C$A3种涂法.由分类加法计数原理，共有涂法Cg-A2+CgCC><2+C4,A3=260（种）.［巧归纳］1.“分类”与“分步”的区别（1）分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，简单地说分类的标准是“不重不漏，一步完成”.（2）分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成.简单地说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”.2.解决排列组合应用题的常用方法：（1）合理分类，准确分步；（2）特殊优先，一般在后；（3）先取后排，间接排除；（4）集团捆绑，间隔插空；（5）抽象问题，构造模型；（6）均分除序，定序除序.［练习6］把4个男同志和4个女同志平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况.（1）有几种不同的分配方法？（2）每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？（3）男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？（1）解：男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成.先安排2人上第一辆车,共有C林中，再上第二辆车共有C湃中，再上第三辆车共有C3种，最后上第四辆车共有C3种，按分步乘法计数原理有3G・C3©=2520（种）.（2）解：要求男女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A3种不同方法，同理，女同志也有A3种方法，由分步乘法计数原理知，车上男女各1人的不同分配方法为A%AX=576（种）.（3）解：男女分别分组,4个男的平均分成两组共有异=3（种）分法,4个女的平均分成两组也有异=3（种）不同分法，这样分组方法就有3X3=9（种），对于其中每一种分法上4辆车，又有AW种分法，因而不同分配方法为9-A?=216（种）..（Goo+C%）：Aioi的值为（）A.6B.101C.tD.TTrro101答案：C解析:原式=（Goo+Goo）：A%i=Go］：Aioi=，j=，..甲、乙两人计划从4,B,C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（）A.3种B.6种C.9种D.12种答案：B解析：本题用排除法.甲、乙两人从A,优C三个景点中各选两个游玩，共有C%0=9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种.故选B..在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有。和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A.1（）B.11C.12D.15答案：B解析：与信息（）11（）至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类，与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，其他2个不同，有&=6（个）；第二类，与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，其他3个不同，有Cl=4（个）；第三类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有C9=l（个）.由加法原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11..若A」”=120C«j则n—.答案：3120〃（〃-1）*解析：2〃（2〃-1）（2〃-2）（2〃-3）=2，解仔〃=3或几=一1（舍去），所以〃=3..房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为.答案：31解析：5个电灯5个开关控制，“至少一个灯开”事件总数为Cg+Cg+Q+Cg+Cg=31.［误区警示］重复计数与遗漏计数致错［示例］4个不同的小球放入编号为123,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有多少种？［错解］错解一：从4个小球中任取3个小球，有G种取法，从4个盒子中任取3个盒子，有C0种取法.先将3个小球放入取出的3个盒子中，有A］种放法，再把余下的1个小球放入3个盒子中的1个，有3种放法.所以满足题意的放法有心©•A+3=288（种）.错解二：先将3个小球放入4个盒子中，有A?种放法，再把余下的1个小球放入3个盒子中的1个，有3种放法，所以满足题意的放法有Ai-3=72（种）.［错因分析］导致上述两种错解的原因如下：错解一解答错误的原因是重复计数；错解二解答错误的原因是遗漏计数.分析如下：设4个不同的小球为4,b,c,d,从4个小球中取出3个，若取出的是。，b,c,则d与mb,c搭配，有d；b,d；c,d.若取出的是〃，c,d,则o与b,c,d搭配，有伉〃；c,a；d,以其中md与d,。是同一种情况，这就是错解一解答出错的地方.取3个小球，如a,b,cy则d与a,b,c搭配，有a,d；b,d；c,d.但遗漏了mb；Cl,c；b,。这3种情况，这就是错解二解答出错的地方.［正解］由题意知，必有1个盒子内放入2个小球，从4个小球中取出2个小球，有CZ种取法，此时把它看作1个小球，与另2个小球共3个小球放入4个盒子中，有Aj种放法，所以满足题意的放法有CiA?=144（种）.［题后总结］计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆.若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.〃！小〃一m1•/XI丁〜〃1m!(〃一〃?)！知识点三简单计数的排列、组合问题的处理策略.捆绑法在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如，一般地,〃个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有A层a・A加个.其中AQ；由是一个“整体排列”，而A2则是“局部排列”..插空法先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空当中，此法主要解决“元素不相邻问题”..“元素分析法”与“位置分析法”从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则..定序法当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是：先将〃个元素进行全排列有种，皿加＜〃)个元素的全排列有A；；；种.由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若〃个元素排成一列，其中〃？个元素次序一定，共有有种排列方法.记忆规律是：顺序一定作除法.［重点理解］.组合概念的理解(1)组合的概念中有两个要点：①取出元素，且要求n个元素是不同的；②“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关.无序性是组合的特征.(2)两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，那么无论元素的顺序如何，都是相同的组合，两个组合中的元素不完全相同（即使有一个元素不同）就是不同的组合.（3）组合与排列的共同点：从〃个不同的元素中任取加个元素；不同点：对于排列，取出元素后还需对所取出的元素进行排列（对顺序有要求），而组合对取出的元素无需排列，只需组成一组即可（对顺序无要求）.可总结为：有序排列，无序组合..组合数1）组合数的理解①同“排列”与“排列数”，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从〃个不同的元素中，任取〃且〃2,〃£N+）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从〃个不同元素中取出皿加且加,〃£N+）个元素的所有组合的个数”，它是一个数.②我们可以从集合的角度来理解组合数的概念，从〃个不同元素中取出〃且〃2,〃WN+）个元素并成一组是一个组合，任取〃2个元素组成的组合的全体构成一个集合，例如：从3个不同元素4,b,C中任取2个的所有组合构成的集合为ac,he}.所谓组合数就是这个集合的元素的个数.2）组合数公式的理解①组合数公式（连乘形式）的特点：分子是〃？个数相乘，且第一个因数是〃，后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是m—（m—1）］；分母是m的阶乘.②注意组合数公式中“，〃满足的条件.③在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比，组合数公式公=〃（〃二『）（〃二2”・小二（仁1）］一般用于组合数公式mlC?=~-一般用于含有字母的组合数的式子的变形或证明.mI（nm）!［自我排查］.判断正误.（正确的打“J”，错误的打“”）（1）从135,7中任取两个数相除可以得C3个商.（）（2）Cg=5X4X3=60.（）（3）a81$=Cloi7=2017.（7）.某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有（）A.27种B.48种C.21种D.24种答案：D.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法数为（）A.224B.112C.56D.28答案：B.从10名学生中选出2名学生参加一个座谈会，有种不同的选法.答案：45.计算Q8+C^=.答案：161700研习1组合数公式［典例1］（2022重庆西南大附中模拟）（多选题）下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（）A.（〃+l）Ah=A»］iB.机［答案］ABD［解析］对于A,(〃+1)A；?=(〃+1)〃(〃-1)z+1)=A熠,

fi!—］)J故A正确；对于B,CP=m(〃一.)!，Cl，=("?一］)!(〃_〃?)！，“〃“〃(〃—1)!所以"=丽二于(〃_刈“〃(〃—1)!所以"=丽二于(〃_刈“〃(〃—1)!所以"=丽二于(〃_刈〃X(〃-1)!tn(m-1)!(h-m)!UxcM,所

IlLAWAW以小=〃CM,故B正确；对于C,"=漏=#，故C错误；对于D，土A；9=±><〃“〃(〃—1)!所以"=丽二于(〃_刈〃X(〃-1)!tn(m-1)!(h-m)!UxcM,所

IlL八八〃(〃一1)(〃一2)1)］［巧归纳］1.公式C；7=J(〃£N,m£N,/〃W")一般用于求值计算.nI.公式C片一.」-一般用于化简、证明.ml(nm)!.在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C7中的〃为正整数，机为自然数，且〃2机因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去..性质"C；'=C；f”的意义及作用.要注意C%i=C?+C厂的顺用、逆用及其变形应用.顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形一般为0门=CI—C凡它为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用.[练习1]⑴计算:C映+C鼎；(2)化简：w+a+G+a+cB+Go；(3)求证：C；；,+2=C；；,+2C；；；-,+C；；r2.(1)解：C?8o+CI88=Ctoo+cioo=100^"+200=4950+200=5.(2)解：CW+Ca+G+C2+CG+Go=cg+ca+G+a+c8+cM=cHa+a+ca+c?o=-=c?i=ai.（3）证明：由组合数的性质C?+i=C，+C厂可知，右边=（C；；,+C。）+（cr'+cr2）=c；；I+1+cu,i=c，2=左边.所以原式成立.研习2有限制条件的组合［典例2］某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？（2）抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？（3）抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？（1）［解］分步：首先从4名外科专家中任选2名，有CZ种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C2种选法，所以共有=90（种）抽调方法.（2）|Ml方法一：（直接法）按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有CICN种选法；②选3名外科专家，共有Ci•&种选法；③选4名外科专家，共有CJC专种选法.根据分类加法计数原理，共有aG+G・cg+cid=i85（种）抽调方法.方法二：（间接法）不考虑是否有外科专家，共有C%种选法，考虑选取1名外科专家参加，有c/ca种选法；没有外科专家参加，有CE种选法，所以共有c%—Cia—Cg=185（种）抽调方法.（3）［解］“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答.①没有外科专家参加，有CE种选法；②有1名外科专家参加，有C，ca种选法；③有2名外科专家参加，有C3G种选法.所以共有cg+cic+ac=115（种）抽调方法..［巧归纳］有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：①直接分类法，但要注意分类要不重不漏；②间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.［提示］解决有约束条件的组合问题遵循“谁特殊谁优先”的原则，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略.［练习2］某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有种(用数字作答).答案：55解析：由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：第一类，甲去乙不去，有C2种选派方案；第二类，乙去甲不去，有Cg种选派方案；第三类，甲、乙都不去，有C才种选派方案.故共有C2+C?+C?=55(种)不同的选派方案.研习3与几何有关的组合应用题［典例3］以正方体的顶点为顶点，可确定多少个四面体？［解|正方体的8个顶点可构成在个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的4个顶点.故可以确定四面体12=58(个).［巧归纳］几何中的计数问题(1)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.(2)解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可.计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.［练习3］设0，4是两个平行平面，在。内取4个点，在夕内取5个占(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？

解：（I）在9个点中，除了。内的四点共面和尸内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定的平面和直线才能达到最多.此时，最多能确定直线C3=36（条）.又因三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定aCg+ClCg+2=72（个）平面.（2）解：同⑴题，在其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多，此时最多能作CiCg+C久a+ClCg=120（个）三棱锥.按下列要求各有多少种不同的分法:每人两本；一份两本，一份三本；一人一本，一人两本，一人三本.每人至少一本.研习4分组、分配问题［典例4］6本不同的书，（1）分给甲、乙、丙三人，⑵分成三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，（4）分给甲、乙、丙三人，按下列要求各有多少种不同的分法:每人两本；一份两本，一份三本；一人一本，一人两本，一人三本.每人至少一本.（DI解।根据分步乘法计数原理得caa=9o（种）.（2）［解］分给甲、乙、丙三人，每人两本有crz©种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有X种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有阳种方法.根据分步乘法计数原理可得所以无=第0=15.因此分为三伽每份两本，一共有15种方法.（3）［解］这是“不均匀分组”问题，一共有CACWG=60（种）方法.（4）|解］在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有CACgC?/=360（种）方法.（