中值定理证明题

首先应注意:上面应用拉格朗日中值的首先应注意:上面应用拉格朗日中值的g是个中值点，是由f和区间［0,x］的中值定理证明题1.设f(x)在［0,2a］上连续，f(0)=f(2a)，证明在［0,a］上存在g使得f(a+g)=f(g).【分析】f(x)在［0,2a］上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到f(a+g)=f(g)Tf(a+g)-f(g)=0Tf(a+x)-f(x)=0【证明】令G(x)=f(a+x)一f(x)，xe［0,a］.G(x)在［0,a］上连续，且G(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)G(0)=f(a)-f(0)当f(a)=f(0)时，取g=0，即有f(a+g)=f(g);当f(a)=f(0)时，G(0)G(a)<0，由根的存在性定理知存在ge(0,a)使得,G(g)=0，即f(a+g)=f(g).2.试问如下推论过程是否正确。对函数f(t)=2.试问如下推论过程是否正确。对函数f(t)=12sin-St山0在［0,x］上应用拉t=0格朗日中值定理得：f(x)-f(0)=x2sin|一0x-0x-0f(x)-f(0)=x2sin|一0x-0x-0=xsin1=f，(g)=x2gsin1-cos1gg(0<g<x)即：1=2gsin1-xsin1ggx(0<g<x)因0<g<x，故当xT0时，gT0，由lim2gsin丄=0gT0+glimxsin1=0xT0+得：limcos1=0，即limcos1=0xT0+ggT0+g解：我们已经知道，limcos1=0不存在，故以上推理过程错误。gT0+g端点而定的，具体地说，g与x有关系，是依赖于x的，当xT0时，g不—定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使limcosg=0成TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"xt0+g立，而limcos1=0中要求g是连续地趋于零。故由limcos1=0推不出立，gT0+\o"CurrentDocument"gxt0+ggT0+limcos1=0gT0+g3•设f(x)在［a,b］上可微，且f(a)>0,f'(b)>0，/(a)=f(b)=A,试证明f/(x)在+-(a,b)内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路:要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在［a,b］上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：•••f(a)=limf(x)-f⑷>0,由极限的保号性知，TOC\o"1-5"\h\z+xw+x―a3Y(a。)(不妨设3<b-a)，对于VxgY(a。)，均有f(卫二f(a)>0，+112+1x-a特别地，3xgY(a,3)，使得于(％)—于(a)>0，二得f(x)>f(a)=A；+1x-a11同理，由f'(b)>0,得3xgY(b,3)(3^<b-a)，使得/(*2)-/(b)>0，-2-222x-b2从而得f(x)<f(b)=A；2又•••f(x)在［x,x］上连续，•••由介值定理知，至少有一点fg(x,x)使得1212f(f)=A；•••f(x)在［a,f］、疋b］上连续，在(a,f)、(f,b)内可导，且f(a)=f(f)=f(b)=A,•••由罗尔中值定理知，至少有一点fg(a,f)、fg(f,b)，使得广(f)=广(f)=0,1212结论成立。4•设函数y=f(x)在x=0的某个邻域内具有n阶导数，且f(0)二f'(0)二L二f(n-1)(0)二0,试用柯西中值定理证明：型=f(”)(如(°<&<1)。xnn!知识点：柯西中值定理。思路：对f(x)、g(x)=xn在［0,x］上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。证明：Tf(x)、g(x)二xn及其各阶导数在［0,x］上连续，在(0,x)上可导，且在(0,x)每一点处,g(n-1)(x)二n!x丰0，又f(0)二f'(0)二L二f(n-1)(0)二0,,•••连续使用n次柯西中值定理得