期权定价培训

期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整个金融工程学科的重要基础。

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型期权价格的影响因素期权价格的影响因素主要有六个:（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格（二）期权的有效期（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的收益（六）红利

期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源主要就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。(相对定价法)期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化。证券价格的变化还要受到市场的影响，也就是说市场状况使所有证券价格发生变化的基础和环境。为什么我们要研究证券价格的变化过程？

1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，1）投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；2）证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；3）市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。从定性到定量从规范到实证效率市场假说是从定性的角度研究证券市场的，为进一步的研究提供了基础和背景，但是它并不能告诉我们证券价格是怎样变动的。为此，需要找到某种方法描述证券价格的运动，并从中找到证券价格变动的规律。人们在对证券的价格进行研究时发现，随机过程能够很好地反映证券价格的变化，从而实现了从定性研究到定量研究，从规范研究到实证研究的转变。

随机过程（StochasticProcess）是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可以做如下的划分：

从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，为了研究方便，可以把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。时间的连续性离散时间随机过程连续时间随机过程变量取值范围的连续性离散变量随机过程连续变量随机过程

一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）是内在一致的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是一致的。

布朗运动（BrownianMotion）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。

对于标准布朗运动来说：设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足：=其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。

标准正正态分分布当0时，，可以以得到到极限限的标准布布朗运运动：1、为为何定定义=而而非？？当需要要考察察任意意时间间长度度间隔隔中的的变量量变化化的情情况时时，独独立的的正态态分布布，期望值值和方方差具具有可可加性性，而标标准差差不具具有可可加性性。这这样定定义可可以使使方差差与时时间长长度成成比例例，不不受时时间划划分方方法的的影响响。相应的的一个个结果果就是是：标标准差差的单单位变变为2、符符合标标准布布朗运运动的的变量量z在在一段段较长长时间间T中中的变变化情情形：：令z（T）－－z(0)表示示变量量z在在T中中的变变化量量，显显然该该变量量又可可被看看作是是在N个个长长度为为的小小时间间间隔隔中z的的变变化总总量，，其中中N=T/Δt。。很显然然，这这是n个个相互独独立的正态态分布布的和和：因此，，z（（T））-z（（0））也具具有正正态分分布特特征，，其均均值为为0，，方差差为NΔt=T，标标准差差。普通布布朗运运动若变量量x遵遵循普普通布布朗运运动：：其中：：1、、a和和b均均为常常数，，dz遵循标标准布布朗运运动。2、a为漂漂移率率（DriftRate）），是是指单单位时时间内内变量量z均均值的的变化化值。。3、b2为方差差率（（VarianceRate）），是是指单单位时时间的的方差差。普通布布朗运运动的的离差差形式式为，，显然然，Δx具具有有正态态分布布特征征，其其均值值为，，标准准差为为，，方方差为为1、遵遵循普普通布布朗运运动的的变量量x是关关于时时间和和dz的的动动态过过程，，其中中第一一项adt为为确确定项项，它它意味味着x的的期期望漂漂移率率是每每单位位时间间为a。。第二二项bdz是是随随机项项，它它表明明对x的的动动态过过程添添加的的噪音音。这这种噪噪音是是由维纳过过程的b倍倍给出出的。。2、在在任意意时间间长度度T后后x值值的变变化也也具有有正态态分布布特征征，其其均值值为aT，标标准差差为，，方方差为为b2T。3、标标准布布朗运运动的的漂移移率a为为0,方差差率为为1。普通布布朗运运动假假定漂移率率和方方差率率为常数数，若若把变变量x的的漂移率率和方方差率率当作作变量量x和和时间间t的的函数数，就可可以得得到，，这就就是伊伊藤过过程（（ItoProcess））其中，，dz是是一个个标准准布朗朗运动动，a、b是变变量x和和t的的函数数，变变量x的漂漂移率率为a，，方方差率率为b2。随机分分析学学是概概率论论的一一个重重要分分支,它诞诞生于于20世纪纪40年年代,创始始人K.Ito获得得1987年Wolf数数学奖奖.在在对获获奖工工作的的评价价中写写到:“他的随随机分分析可可以看看作随机王王国中中的牛牛顿定定律.它提提供的的支配配自然然现象象的偏偏微分分方程程和隐隐藏着着的概概率机机制之之间的的直接接翻译译过程程。.………。其主要要成分分是Brown运动动函数数的微微分和和积分分运算算.由此此产生生的理理论是是近代代纯粹与与应用用概率率论的的基石石.K.Ito(随机分分析简简介)18在伊藤藤过程程的基基础上上，数数学家家伊藤藤（K.Ito）进进一步步推导导出：：若变变量x遵遵循循伊藤藤过程程，则则变量量x和和t的的函数数G将将遵循循如下下过程程：其中，，dz是是一个个标准准布朗朗运动动。这这就是是著名名的伊伊藤引引理。。在研究证证券价格格变化过过程的时时候，目目标是尽量找到一个个合适的的随机过过程表达达式，来来准确地地描述证证券价格格的变动动过程，，同时尽尽量实现现数学处处理上的的简单性性。一般来说说，金融融研究者者认为证证券价格格的变化化过程可可以用漂漂移率为为μS、方方差率为为S2的伊藤过程程来表示：：两边同除除以S得：该随机过过程又可可以称为为几何布布朗运动动。其中中S表表示证证券价格格，μ表示证证券在瞬间内以连续续复利表表示的期期望收益益率（又又称预期期收益率率），表表示证证券收益益率瞬间的方差，，表表示示证券收收益率瞬瞬间的标标准差，，简称证证券价格格的波动动率（Volatility），dz表表示标准准布朗运运动。其中，μ和σ的时间度度量单位位一般都都采用年年。几何何布朗运运动的离离散形式式为：为什么证证券价格格可以用用几何布布朗运动动表示？？1、市场场一般认认同股票票市场符符合“弱弱式效率率市场假假说”，，而几何布朗朗运动的的随机项项来源于于标准布布朗运动动dz，具具有马尔尔可夫性性质，符符合弱式式效率的的假说。。2、投资资者感兴兴趣的不不是股票票价格S，而而是独立立于价格格的收益益率。投投资者不不是期望望股票价价格以一一定的绝绝对价格格增长，，而是期期望股票票价格以以一定的的增长率在在增长。3、几何何布朗运运动最终终隐含的的是：股票价格格的连续续复利收收益率（（而不是是百分比比收益率率）为正正态分布布；股票票价格为为对数正正态分布布。在短时间间后后，证证券价格格比率的的变化值值为为：可见，也也具具有正态态分布特特征，其其均值为为，，标准差为，，方差差为。。也就是说说其中表表示示均值为为m，，标准准差为s的的正态分分布。:1、几何何布朗运运动中的的期望收益益率。2、根据据资本资资产定价价原理，，取决决于该证证券的系系统性风风险、无无风险利利率水平平、以及及市场的的风险收益益偏好。。3、较较长时间间段后的的连续复复利收益益率的期期望值等等于，，小于于，，这是是因为较较长时间间段后的的连续复复利收益益率的期期望值是是较短时时间内收收益率几何平均均的结果，，而较短短时间内内的收益益率则是是算术平平均的结结果。1、证券券价格的的年波动动率，是是股票价价格对数数收益率率的年标标准差2、一般般从历史史的证券券价格数数据中计计算出样样本对数数收益率率的标准准差，再再对时间间标准化化，得到到年标准准差，即即为波动动率的估估计值。。*一般般来说时时间距离离计算时时越近越越好；时时间窗口口太长也也不好；；一般来来说采用用交易天数数计算波动动率而不不采用日日历天数数。::假设：1、证券券价格遵遵循几何何布朗运运动，即即和和为为常数数；2、允许许卖空标标的证券券；3、没有有交易费费用和税税收，所所有证券券都是完全可分分的；4、衍生生证券有有效期内内标的证券券没有现现金收益益支付；5、不存存在无风风险套利利机会；；6、证券券交易是是连续的的，价格格变动也也是连续续的；7、衍生生证券有有效期内内，无风风险利率率r为常常数。由于证券券价格S遵遵循几何何布朗运运动，有有：在一个小小的时间间间隔中中，S的的变化化值为为：在一个小小的时间间间隔中中，f的的变化化值为为：（2）设f是是依赖赖于S的衍衍生证券券的价格格，则f一一定是S和和t的的函数数，根据据伊藤引引理可得得：（1）构建一个个包括一一单位衍衍生证券券空头和和单单位标的的证券多多头的组组合。令令代代表表该投资资组合的的价值，，则：(3)在时时间间后，该该投资组组合的价价值变化化为为：(4)将式（1）和（（2）代代入式（（4），，可得：：（5）由于式（（5）中中不含有有，，该组组合的价价值在一一个小的时间间间隔后必必定没有有风险，，因此该该组合在在中中的瞬瞬时收益益率一定定等于中中的无风风险收益益率。因此：(6)把式（3）和（（5）代代入上式式得：化简为：：（7）这就是著著名的布布莱克———舒尔尔斯微分分方程，，适用于于其价格格取决于于标的证证券价格格S的的所有有衍生证证券的定定价。受制于主主观的风风险收益益偏好的的标的证证券预期期收益率率（））并并未包括括在衍生生证券的的价值决决定公式式中。这这意味着着，无论论风险收收益偏好好状态如如何，都都不会对对f的的值产生生影响。。假设：在在对衍生生证券定定价时，，所有投投资者都都是风险险中性的的。尽管这只只是一个个人为的假假定，但通过过这种假假定所获获得的结结论不仅仅适用于于投资者者风险中中性情况况，也适适用于投投资者厌厌恶风险险的所有有情况。。风险中性性定价原原理:在风险中中性的条条件下，，所有证证券的预预期收益益率都可可以等于于无风险利利率r，所有现现金流量量都可以以通过无无风险利利率进行行贴现求求得现值值。风险中性性定价原原理在风险中中性的条条件下，，无收益益资产欧欧式看涨涨期权到到期时（（T时刻刻）的期期望值为为：其中，表示风险险中性条条件下的的期望值值。根据据风险中中性定价价原理，欧式看涨期权权的价格c等于于将此期望望值按无风风险利率进行贴现后后的现值，，即：（8）布莱克-舒舒尔斯期权权定价方程程的推导对（8）右右边求值是是一种积分分过程，结结果为：其中，（9）N（x）为为标准正态态分布变量量的累计概率分分布函数（即这个变变量小于x的概率）），根据标标准正态分分布函数特特性，有。在B-S公公式中，1）N(d2)是在风险险中性世界界中ST大于X的概概率，或者者说是欧式式看涨期权被被执行的概概率.2）e-r(T-t)XN(d2)是X的的风险中中性期望值值的现值。。3）SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性性期望值的的现值。。因此，这个个公式的实实质就是未来收益期期望值的贴贴现。对于布莱克克－舒尔斯斯期权定价价公式的理理解无收益资产产的欧式看跌期权的定价公式式根据欧式看看涨期权和和看跌期权权之间存在在平价关系系，可以得得到无收益益资产欧式式看跌期权权的定价公公式：(ppt54)（10）期权定价的的二叉树模模型布莱克－舒舒尔斯期权权定价公式式可为一个个欧式看涨涨、看跌期期权，以及及美式无收收益看涨期期权定价，，但是布莱莱克－舒尔尔斯期权定定价公式并并不是万能能的，尤其其是美式看看跌期权，，因为美式式看跌期权权有提前执执行的可能能性。为股票期权权定价的一一个有用的的和很常见见的方法是是构造所谓谓的二叉树树图（binomialtree）。这个树树图表示了了在期权有有效期内股股票价格可可能遵循的路径径。单步二叉树树模型例子：假设设一种股票票当前价格格为20美美元，3个个月后的价价格可能为为22美元元或18美美元。假设：1））股票不付付红利，打打算对3个个月后以21美元的的执行价格格买入股票票的欧式看看涨期权进进行定价。。2）无风险险利率为12%。简单单的的二二叉叉树树模模型型Stockprice=$20StockPrice=$22当前前股股票票价价格格为为$20三个个月月以以后后$22or$18StockPrice=$18买权权StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?一个个三三个个月月的的股股票票看看涨涨期期权权，，执执行行价价格格为为$21考虑虑一一个个投投资资组组合合:longDsharesshort1calloption投资资组组合合什什么么时时候候是是无无风风险险的的：：22D–1=18DorD=0.2522D–118D建立立一一个个无无风风险险投投资资组组合合对投投资资组组合合进进行行定定价价无风风险险投投资资组组合合为为:long0.25sharesshort1calloption三个个月月以以后后的的价价值值：：22x0.25––1=4.50投资资组组合合今今天天的的价价值值：：4.5e–0.120.25=4.3670x期权权定定价价投资资组组合合long0.25sharesshort1option组合合当当前前价价值值4.367其中中股股票票的的价价值值5.000(=0.2520)所以以期期权权的的价价值值为为0.633(=5.000––4.367)x20221824.219.816.2无收收益益资资产产美美式式看看涨涨期期权权的的定定价价公公式式在标标的的资资产产无无收收益益情情况况下下，，美美式式看看涨涨期期权权提提前前执执行行是是不不合合理理的的，，因因此此C=c，，无无收收益益资资产产美美式式看看涨涨期期权权的的定定价价公公式式同同样样是是：：有收益资产的的欧式期权的的定价公式对于有收益标标的资产的欧欧式期权，在在收益已知情情况下，我们们可以把标的的证券价格分分解成两部分分：期权有效效期内已知现现金收益的现现值部分和一一个有风险部部分。当期权权到期时，这这部分现值将将由于标的资资产支付现金金收益而消失失。因此，我我们只要用S表示有风险险部分的证券券价格。σ表示风险部分分遵循随机过过程的波动率率，就可直接接套用公式（（9）和（10）分别计计算出有收益益资产的欧式式看涨期权和和看跌期权的的价值。因此，当标的的证券已知收收益的现值为为I时，我们们只要用（S－I）代替替S即可求出出固定收益证证券欧式看涨涨和看跌期权权的价格。当标的证券的的收益为按连连续复利计算算的固定收益益率q（单位位为年）时，，我们只要将将代替S就可求求出支付连续续复利收益率率证券的欧式看看涨和看跌期期权的价格。。一般来说，期期货期权、股股指期权和外外汇期权都可可以看作标的的资产支付连连续复利收益益率的期权。。其中，欧式式期货期权可可以看作一个个支付连续红红利率为r的的资产的欧式式期权；股指指期权则是以以市场平均股股利支付率为为收益率，外外汇期权标的的资产的连续续红利率为该该外汇在所在在国的无风险险利率。对于欧式期货货期权，可以以将其当成一一个支付连续续红利率为r的资产产的欧式期权权。因此，此此时布莱克－－舒尔斯期权权定价模型为为：（11）（12）其中，例假设当前英镑镑的即期汇率率为$1.5000，美美国的无风险险连续复利年年利率为7%，英国的无无风险连续复复利年利率为为10%，英英镑汇率遵循循几何布朗运运动，其波动动率为10%，求6个月月期协议价格格为$1.5000的英英镑欧式看涨涨期权价格。。解：由于英镑镑会产生无风风险收益，现现在的1英镑镑等于6个月月英镑，而现在在的英镑等于6个个月后的1英英镑，，并代入式（（6.23））就可求出后的因此可令期权价格。通过查累积正正态分布函数数N（x）的的数据表，我我们可以得出出：c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分因此,6个月月期英镑欧式式看涨期权价价格为3.05美分。有收益资产的的美式看涨期期权的定价当标的资产有有收益时，美美式看涨期权权就有提前执执行的可能，，因此有收益益资产美式期期权的定价较较为复杂，布布莱克提出了了一种近似似处理方法法。该方法是是先确定提前前执行美式看看涨期权是否否合理。若不不合理，则按按欧式期权处处理；若在提前执行有可可能是合理价格，然后将二者者之中的较大大者作为美式式期权的价格格。在大多数情况况下，这种近近似效果都不不错。时刻到期的欧式式看涨看涨期期权的的，则要分别别计算在T时时刻和例假设一种1年年期的美式股股票看涨期权权，标的股票票在5个月和和11个月后后各有一个除除权日，每个个除权日的红红利期望值为为1.0元，，标的股票当当前的市价为为50元，期期权协议价格格为50元，，标的股票波波动率为每年年30%，无无风险连续复复利年利率为为10%，求求该期权的价价值。首先我们要看看看该期权是是否应提前执执行。根据第第5章的结论论，美式看涨涨期权不能提提前执行的条条件是：在本例中，D1=D2=1.0元，，而第一次除除权日前不等等式右边为：：由于2.4385>1.0元，因此此在第一个除除权日前期权权不应当执行行。由于0.4148<1.0元，因此此在第二个除除权日前有可可能提前执行行。第二次除权日日前不等右边边为：然后，要比较较1年期和11个月期欧欧式看涨期权权价格。对于1年期欧欧式看涨期权权来说，由于于红利的现值值为：因此S=50-1.8716=48.1284元将S=48.1284，代入式（9）得：其中，由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此对于11个月月期的欧式看看涨期权来说说，由于红利利的现值为：：因此S=50-0.9592=49.0408元因此将S=49.0408元，代入入式（9）得得：其中，由于，因此该美式式看涨期权价价值近似为7.2824元。美式看跌期权权的定价美式看跌期权权无论标的资资产有无收益益都有提前执执行的可能，，而且与其对对应的看涨期期权也不存在在精确的平价价关系，因此此我们一般通通过数值方法法来求美式看看跌期权的价价值。对于精度问题题，我们可以以运用布莱克克——舒尔斯斯期权定价公公式计算出期期权价格的理理论值，然后后与市场上的的期权价格进进行比较。实证研究显示示：1、舒尔斯期期权定价公式式倾向于高估估方差高的期期权，低估方方差低2、高估实值值期权的价格格，低估虚值值期权的价格格。3、改变波动动率的估计的的方式会提高高布莱克———舒尔斯期权权定价公式在在预测实际价价格时的表现现。的期权权。造成用用布莱莱克———舒舒尔斯斯期权权定价价公式式估计计的期期权价价格与与市场场价格格存在在差异异的原原因主主要有有以下下几个个：计算错错误；；2.期期权市市场价价格偏偏离均均衡；；3.使用的的错误误的参参数；；4.布布莱克克———舒尔尔斯期期权定定价公公式建建立在在众多多假定定的基基础上上。评估组组合保保险成成本证券组组合保保险是是指事事先能能够确确定最最大损损失的的投资资策略略。比比如在在持有有相关关资产产的同同时买买入看看跌期期权就就是一一种组组合保保险。。假设你你掌管管着价价值1亿的的股票票投资资组合合，这这个股股票投投资组组合于于市场场组合合十分分类似似。这这时可可以购购买一一份看看跌期期权来来为组组合提提供保保险。。显然然，期期权的的执行行价格格越低低，组组合保保险的的成本本越小小，此此时市市场上上可能能根本本就没没有对对应的的期权权，要要准确确估算算成本本就必必须采采用布布莱克克———舒尔尔斯期期权定定价公公式。。比如如也许许10％的的损失失是可可以接接受的的，那那么执执行价价格就就可以以设为为9000万，，然后后再将将利率率、波波动率率和保保值期期限的的数据据代进进公式式，就就可以以合理理估算算保值值成本本。可转换换债券券是一一种可可由债债券持持有者者转换换成股股票的的债券券，因因此可可转换换债券券相当当于一一份普普通的的公司司债券券和一一份看看涨期期权的的组合合。即其中表表示示可转转换债债券的的价值值，代代表表从可可转换换债券券中剥剥离出出来的的债券券的价价值，，代代表从从可转转换债债券中中剥离离出来来的期期权的的价值值。在实际际中的的估计计是十十分复复杂的的,要要考虑虑多方方面的的因素素，甚甚至考考虑债债券被被提前前赎回回的情情况。。认股权证通通常是与债债券或优先先股一起发发行的，它它的持有人人拥有在特特定时间以以特定价格格认购一定定数量的普普通股，因因此认股权权证其实是是一份看涨涨期权，不不过两者之之间还是存存在细微的的差别，看看涨期权执执行的时候候，发行股股票的公司司并不会受受到影响，，而认股权权证的执行行将导致公公司发行更更多的股票票，因此，，认股权证证的执行存存在稀释效效应，在估估值的时候候注意。为认股权证证估值谢谢1月-2301:28:4901:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:491月-231月-2301:28:492023/1/61:28:499、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。01:28:5001:28:5001:281/6/20231:28:50AM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。1月-2301:28:5001:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。01:28:5001:28:5001:28Friday,January6,202313、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。1月月-231月月-2301:28:5001:28:50January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20231:28:50上午01:28:501月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:28上午午1月-2301:28January6,202316、行动出出成果，，工作出出财富。。。2023/1/61:28:5001:28:5006January202317、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。1:28:50上上午午1:28上上午午01:28:501月月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事事情努力力了未必必有结