期权价格的敏感性和期权的套期保值

14.0期权价格的敏感性和期权的套期保值在前面几章中，我们简要分析了决定和影响期权价格的主要因素，以及这些因素对期权价格的影响方向。在这章我们将把各种因素对期权价格的影响程度量化，即计算出期权价格对这些因素的敏感性。本章将介绍期权价格对其标的资产价格、到期时间、波动率和无风险利率四个参数的敏感性指标，并以此为基础讨论相关的动态套期保值问题。1期权头寸难以对冲的原因若一个金融机构在市场卖出一个期权头寸，而在交易所又找不到与其匹配的对冲头寸；期权价格随着时间和市场情况的变化，对于标的资产价格变化较为敏感，意味着保值头寸也会变化。期权价值对于波动率的变化也很敏感。无法用标的资产来对冲。构造合成期权止损策略14.1与期权的套期保值期权的（）用于衡量期权价格对标的资产价格变动的敏感度，它等于期权价格变化与标的资产价格变化的比率。准确地说，它是表示在其它条件不变情况下，标的资产价格的微小变动所导致的期权价格的变动。用数学语言表示，期权的值等于期权价格对标的资产价格的偏导数。从几何上看，它是期权价格与标的资产价格关系曲线的切线的斜率。3对的理解假定某看涨期权为0.6，这意味着当股票价格变化一个很小的数量时，相应期权价值变化大约等于股票价值变化的60%。假设股票价格为100美元，期权价格为10美元。并假设金融机构的交易员卖出了20份该股票上的看涨期权（期权持有者有权购买2000份股票）。交易员的头寸可以通过购买份股票来对冲。期权头寸的盈利（亏损）可由股票头寸上的亏损（盈利）来抵消。例如，如果股票价格上涨1美元（买入的股票会升值1200美元），期权价格将上涨美元（卖出期权会带来损失1200美元）；如果股票价格下跌1美元（买入股票会损失1200美元），期权价格下跌0.6美元（卖出期权会带来收益1200美元）。414.1.1期权值的计算令f表示期权的价格，S表示标的资产的价格，表示期权的，则：

据此我们可以算出无收益资产欧式看涨期权的值为：无收益资产欧式看跌期权的值为：514.1.2期权值的性质和特征分析从概率分布的性质可知，，因此无收益资产看涨期权的值总在0与1之间；而无收益资产欧式看跌期权的值则总是在-1到0之间。反过来，无收益资产欧式看涨期权空头值就总在-1和0之间；而无收益资产欧式看跌期权空头的值则总在0与1之间。614.1.2期权值的性质和特征分析无收益资产看涨期权和看跌期权值与标的资产价格的关系7无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与到期期限之间的关系14.1.2期权值的性质和特征分析8无收益资产看涨期权和欧式看跌期权值与r之间的关系14.1.2期权值的性质和特征分析914.1.3证券组合的值当证券组合中含有标的资产、该标的资产的各种期权和其他衍生证券的不同头寸时，该证券组合的值就等于组合中单个资产值的总和（注意这里的标的资产都应该是相同的）：

其中，表示第i种证券的数量，表示第i种证券值。1014.1.4中中性性状态态与套套期保保值由于标标的资资产和和相应应的衍衍生证证券可可取多多头或或空头头，因因此其其值值可可正可可负。。这样样，若若组合合内标标的资资产和和期权权及其其他衍衍生证证券数数量配配合适适当的的话，，整个个组合合的值值就就可能能等于于0。。我们们称值值为0的证证券组组合处处于中中性性状态态。当证券券组合合处于于中性性状态态时，，组合合的价价值在在短时时间内内不受受标的的资产产价格格波动动的影影响，，从而而实现现相对对于标标的资资产价价格的的套期期保值值。但但值得得强调调的是是，除除了标标的资资产本本身和和远期期合约约的值值恒恒等于于1，，其他他衍生生产品品的值值可能能随时时不断断变化化。因因此证证券组组合处处于中中性性状态态只能能维持持一个个很短短的时时间。。所以以，我我们只只能说说，当当证券券组合合处于于中中性状状态时时，该该组合合价值值在一一个““短时时间””内不不受标标的资资产价价格波波动的的影响响，从从而实实现了了“瞬瞬时””套期期保值值。(案例例14.1)11案例14.1期期权权的中中性保保值某金融融机构构在市市场出出售了了基于于100000股不不支付付红利利股票票的欧欧式看看涨期期权，，收入入$300000。。该股股票的的市场场价格格为49美美元，，执行行价格格为50美美元，，无风风险利利率为为连续续复利利年利利率5%，，股票票价格格年波波动率率为20%，距距离到到期时时间为为20周。。由于于该金金融机机构无无法在在市场场上找找到相相应的的看涨涨期权权多头头对冲冲，请请问如如何运运用标标的资资产（（股票票）进进行套套期保保值操操作？？12案例14.1期期权权的中中性保保值初始的的值可可以计计算得得到：：13案例14.1期期权权的中中性保保值这意味味着要要使组组合中中性，，在出出售该该看涨涨期权权的同同时，，需要借借入美美元购购买52200股股股票，，借入入的美美元数数量为为：第一周周内发发生的的相应应利息息费用用为（（以千千美元元为单单位并并保留留小数点点后一一位数数字，，则为为2.5千千美元元）若到第第一周周末，，股票票价格格下降降到了了。。这使使得期期权ΔΔ值下降到到14案例14.1期期权权的中中性保保值要保持ΔΔ中性，，必须出出售股票票，出售售股票的的数量为为出售股票票得到308000美美元的现现金，从从而使成成本下降降。第一一周内的累累计成本本为2557800+2500－308000=$2252300第二周内内发生的的利息费费用为之后，如如果Δ值值上升，，就需要要再借钱钱买入股股票；如如果Δ值下下降，就就卖出股股票减少少借款。。从课本本表14.1可可以看出出，在期权接接近到期期时，为为实值期期权，期期权将被被执行，，Δ值接接近1。15案例14.1期期权的的中性保保值可以通过过标的资资产的买买卖实现现对期权权的Δ中中性套期期保值，在在不考虑虑交易费费用（指指买入卖卖出的佣佣金等费费用，利息费用用则是需需要考虑虑的）并并假设波波动率为为常数的的情况下，运用用标的资资产进行行Δ中性性套期保保值的成成本和效效果就和和买入了一一个看涨涨期权多多头一样样。在实际操操作中，，Δ中性性保值方方法更常常见的是是利用同同种标的资资产的期期货头寸寸而非现现货头寸寸来进行行保值，，可以获得杠杆杆作用。。1614.1.4中中性状态态与套期期保值如果出售售一份看看涨期权权，就需需要买入入一份看看涨期权权或是通通过中中性构构造一个个“合成成的看涨涨期权多多头”，，收入和和费用相相抵消，，套套期保值值到底有有何意义义呢？对对于一个个稳健经经营的金金融机构构来说，，不能让让自己处处于风险险暴露中中而不作作为，而而中中性套套期保值值方法就就提供了了风险管管理的一一种手段段。首先，专专业的金金融运营营和风险险运营机机构，往往往能够够以比市市场价格格优惠的的费率进进行套期期保值。。其次，一一家高效效运营的的现代金金融机构构，往往往先在总总资产组组合层面面上计算算对某一一标的资资产的净净值值，先先在公司司内部实实现初步步的风险险对冲，，再到外外部市场场上进行行净值值的的套期保保值，从从而可以以降低套套期保值值的成本本。最后，金金融机构构可以结结合自身身的资产产状况、、市场预预期和风风险目标标来管理理指指标，，不同目目标值的的设定就就可以实实现不同同风险管管理策略略。1714.2与与套期期保值期权的（（））用于衡衡量期权权价格对对时间变变化的敏敏感度，，是在其其它条件件不变情情况下期期权价格格变化与与时间变变化的比比率，即即期权价价格对时时间t的的偏导数数。1814.2.1期期权值的的计算根据期权权定价公公式，对对于无收收益资产产的欧式式和美式式看涨期期权而言言：对于无收收益资产产的欧式式看跌期期权而言言：1914.2.2期期权值的的性质和和特征分分析当越来越越临近到到期日时时，期权权的价值值逐渐衰衰减，因因此期权权的ΘΘ常常是是负的。。它代表表的是期期权的价价值随着着时间推推移而变变化的程程度。期期权的ΘΘ值同时时受S、、、r和和σ的的影响响。无收益资资产看涨涨期权值值与S的的关系无收益资资产看涨涨期权值值与有效效期之间间的关系系20对的理解解当时间是是以年为为单位时时某期权权头寸的的为-0.2，，这句话话的含义义是什么么？如果果交易员员认为股股票价格格与波动动率均不不会发生生变化，，什么样样的期权权头寸比比较合适适？21提示与解解答期权头寸寸的为-0.2的含义义是，当当股票价价格或其其波动率率均未发发生变化化时，随随着期权权期限减减少Δt单位的的时间，，期权的的价值将将会降低低0.2Δt。。若交易员员认为股股票价格格与波动动率均不不会发生生变化，，那么他他应出售售值（负负数）尽尽可能小小的期权权。相对对于短期期限的平平价期权权具有很很小的值值（负数数）。2214.2.3与与套期保保值由于时间间的推移移是确定定的，没没有风险险可言。。因此无无需对时时间进行行套期保保值。但但值值与及及下文的的值有较较大关系系。同时时，在期期权交易易中，尤尤其是在在差期交交易中，，由于值值的大小小反映了了期权购购买者随随时间推推移所损损失的价价值，因因而无论论对于避避险者、、套利者者还是投投资者而而言，值值都是一一个重要要的敏感感性指标标。2314.3与与套期期保值期权的（（））是一个个与联联系系密切的的敏感性性指标，，可以认认为是的的敏感性性指标，，它用于于衡量该该证券的的值值对标标的资产产价格变变化的敏敏感度，，它等于于期权价价格对标标的资产产价格的的二阶偏偏导数，，也等于于期权的的对对标的的资产价价格的一一阶偏导导数。从从几何上上看，它它反映了了期权价价格与标标的资产产价格关关系曲线线的凸度度。2414.3.1期期权值的的计算根据无收收益资产产欧式期期权定价价公式，，我们可可以算出出无收益益资产看看涨期权权和欧式式看跌期期权的值值为：：2514.3.2期期权值的的性质和和特征分分析无收益资资产看涨涨期权和和欧式看看跌期权权值值与S的关系系无收益资资产看涨涨期权和和欧式看看跌期权权值值与的的关系26中性与值值对于一个个处于中中性状态态的交易易组合来来说，如如果其值值为正数数，则标标的资产产价格变变化幅度度较大时时，交易易组合会会有正的的收益；；如果其其值为负负数，则则标的资资产价格格变化幅幅度较大大时，交交易组合合会遭受受损失。。27对的理解解期权头寸寸的是什什么含义义？当某某个头寸寸的为零零，而为为一个很很小的负负数时，，该头寸寸的风险险是什么么？28提示与解解答一个期权权头寸的的是指头头寸的变变化与标标的资产产价格变变化的比比率。比比如，等等于0.1，意意味着当当资产价价格有一一微小的的增量时时，头寸寸的增量量为资产产价格增增量的0.1倍倍。根据本课课件第26页的的结论，，我们得得到：当当期权出出售方的的头寸的的为一个个很小的的负数且且为零时时，如果果此时资资产价格格有大的的波动（（或者上上涨或者者下跌）），那么么期权出出售方将将遭受损损失。2914.3.3证证券组合合的值标的资产产及远期期和期货货合约的的值值均为为0。这这意味着着只有期期权有值值。因此此，当证证券组合合中含有有标的资资产和该该标的资资产的各各种期权权和其他他衍生产产品时，，该证券券组合的的值值就等等于组合合内各种种期权值值与其数数量乘积积的总和和：其中，表表示第i种期权权的数量量，表表示第第i种期期权的值值。3014.3.4中中性状态态由于期权权多头的的Γ值总总是正的的，而期期权空头头的Γ值值总是负负的，因因此若期期权多头头和空头头数量配配合适当当的话，，组合的的Γ值就就等于零零。我们们称Γ值值为零的的证券组组合处于于Γ中性性状态。。31案例14.2中中性假设某个个中性的的保值组组合的ΓΓ值等于于-5000，，该组合中中标的资资产的某某个看涨涨期权多多头的ΔΔ和Γ分分别等于于0.80和2.0。为为使保值值组合ΓΓ中性，，并保持持Δ中性性，该组组合应购买多多少份该该期权，，同时卖卖出多少少份标的的资产？？32案例14.2中中性该组合应应购入的的看涨期期权数量量等于:由于购入入2500份看看涨期权权后，新新组合的的Δ值将将由0增增加到2500××0.80=2000。因因此，为为保持ΔΔ中性，，应出售售2000份标的的资产。。33证券组合合的值值可用于于衡量中中性保值值法的保保值误差差中性保值值的误差差的大小小取决于于期权价价格与标标的资产产价格之之间关系系曲线的的曲度。。值越大大，该曲曲度就越越大，ΔΔ中性保保值误差差就越大大。14.3.5、、和之之间的关关系我们曾讨讨论过无无收益资资产的看看涨期权权价格f必须满满足微分分方程又因为因此有：：该公式对对无收益益资产的的单个期期权和多多个期权权组合都都适用。。3614.3.5、、和之之间的关关系、和三者者之间的的符号关关系3714.4、、与套期期保值期权的（（））用于衡衡量该证证券的价价值对标标的资产产价格波波动率的的敏感度度，它等等于期权权价格对对标的资资产价格格波动率率的偏导导数：证券组合的值值等于组合中中各证券的数数量与各证券券的值乘积的的总和。对无收益资产产欧式看涨期期权和欧式看看跌期权而言言：3814.4、、与套期保保值期权的值与S的关系3914.4、、与套期保保值当我们调整期期权头寸使证证券组合处于于中性性状态时，新新期权头寸会会同时改变证证券组合的值值，因因此，若套期期保值者要使使证券组合同同时达到中中性和和中中性，至少少要使用同一一标的资产的的两种期权。。其中下标p、1和2分分别代表资产产组合、期权权1和期权2的相关参数数。40案例14.3中性性和中性假设某个处于于Δ中性状态态的证券组合合的Γ值为6000，Λ值为9000，而期权权1的Γ值为为0.8，ΛΛ值为2.2，Δ值为0.9。期期权2的Γ值值为1.0，，Λ值为1.6，Δ值为为0.6。求应持有多少少期权头寸才才能使该组合合处于和中性状态？41案例14.3中性性和中性根据教材（（14.7）式，有求解这个方程程组得：因此，加入6522份第第一种期权的的空头和653份第二种种期权的空头才能使该该组合处于和和中性状态加上这两种期期权头寸后，，新组合的ΔΔ值为因此仍需买入入6262份份标的资产才才能使该组合合处于Δ中性性状态。4214.4、、与套期保保值期权的用于衡衡量期权价格格对利率变化化的敏感度，，它等于期权权价格对利率率的偏导数：：对于无收益资资产看涨期权权而言对于无收益资资产欧式看跌跌期权而言期货价格的值值为：43证券组合处于于中性状态。。14.5交交易费用与与套期保值从前述的讨论论可以看出，，为了保持证证券组合处于于、、、中性状状态，必须不不断调整组合合。然而频繁繁的调整需要要大量的交易易费用。因此此在实际运用用中，套期保保值者更倾向向于使用、、、、、和和等参参数来评估其其证券组合的的风险，然后后根据他们对对S、r、未未来运动情情况的估计，，考虑是否有有必要对证券券组合进行调调整。如果风风险是可接受受的，或对自自己有利，就就不调整；若若风险对自己己不利且是不不可接受的，，则进行相应应调整。44案例14.4初初始保值支支出为零的的套期保值值策略假定在5月月份某种资资产组合包包含10000股A股票，资资产组合的管理理着决定将将A股票的的市场风险险降低一半半，即要将将头寸的Δ值值从10000转换换成5000。有关关的市场信信息如下表表45案例14.4初初始保值支支出为零的的套期保值值策略46股票价格33距7月份期权到期的天数66无风险利率5%A股票的隐含波动率0.31协议价格为35的看涨期权的价格1.06协议价格为35的看涨期权的Δ0.377协议价格为30的看跌期权的价格0.5协议价格为30的看跌期权的Δ－0.1967月份到期期的期权的的价格和ΔΔ案例14.4初初始保值支支出为零的的套期保值值策略假设X和Y分别为看看涨期权和和看跌期权权合约的份份数。那么目标是是解方程可得得6305.1713366.94,所以大约约需要63份看涨期权和134份看看跌期权。。47习题某银行持有有的美元/欧元汇率率期权头寸寸的为30000，，为80000。说说明如何理理解这些数数字。当前前汇率为0.90美美元/欧元元（每欧元元对应的美美元数量为为0.90）。为了了使得头寸寸为中性，，你应该持持有什么样样的头寸？？在一短暂暂时间后，，汇率变化化为0.87，估计计新的。这这时为了保保证中性，，你还要再再进行什么么样的交易易？假定银银行在最初初设定了一一个中性头头寸，在汇汇率变动后后，这一头头寸是会亏亏损还是会会盈利？48提示与解答答期权头寸的的Delta表明当欧元元汇率下降降0.01美元时，银银行的头寸寸价值将减减少0.01××30000=300美元。期权权头寸的Gamma表明当欧元元汇率下降降0.01美元时，组组合的Delta将减少0.01××80000=800.为了使得头头寸为Delta中性，应该该出售30000欧元。当汇汇率变化为为0.87时，组合的的Delta将减少[（0.93-0.90）/0.01]×800=2400至27600。为了保持持Delta中性，银行行需要买回回2400欧元以使得得欧元净出出售量为27600。当一个组组合为Delta中性且Gamma为正数时，，标的资产产大的波动动将使组合合有正的收收益。因此此可以认为为在汇率变变动后，银银行的头寸寸会盈利。。49谢谢1月-2301:28:4201:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:421月-231月-2301:28:422023/1/61:28:429、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。01:28:4201:28:4201:281/6/20231:28:42AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2301:28:4201:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。01:28:4201:28:4201:28Friday,January6,202313、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。1月-231月-2301:28:4201:28:42January6,202314、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。06一一月20231:28:43上午午01:28:431月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。一月231:28上上午午1月-2301:28January6,202316、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2023/1/61:28:4301:28:4306January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。1:28:43上午午1:28上午午01:28:431月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。01:28:4301:28:4301:281/6/20231:28:43AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2301:28:4301:28Jan-2306-Jan-2312、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。01:28:4301:28:4301:28