2020中考几何必备模型

目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章8字模型与飞镖模型 2\o"CurrentDocument"第二章角平分线四大模型 6\o"CurrentDocument"第三章截长补短 11\o"CurrentDocument"第四章手拉手模型 14\o"CurrentDocument"第五章三垂直全等模型 16\o"CurrentDocument"第六章将军饮马 20\o"CurrentDocument"第七章蚂蚁行程 27\o"CurrentDocument"第八章中点四大模型 31\o"CurrentDocument"第九章半角模型 36\o"CurrentDocument"第十章相似模型 41\o"CurrentDocument"第十一章圆中的辅助线 51第十二章辅助圆 58第一章8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点0，连接AD、BC。结论：NA+ZD=ZB+ZC。模型分析8模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，/A+NB+NC+ND+NE=；(2)如图②，/A+NB+NC+ND+NE+NF=热搜精练热搜精练1.(1)如图①，求NCAD+NB+NC+ND+NE=(2)如图②，求NCAD+NB+NACE+ND+NE=—BB2.如图，^ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。模型实例如图，在四边形A5CQ中，AM.CM分别平分ND45和NQC5,AM与CM交于M。探究NAMC与N5、间的数量关系。热搜精练.如图，求/A+/B+/C+/D+/E+/F=AEDFAEDF中考几何必备模型（笑涵数学）.如图，求NA+ZB+ZC+ZD=。模型3边的“8”字模型如图所示，AC>BD相交于点0,连接AD、BC。结论：AC+BD>AD+BC。DD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC>BD相交于点0。求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD。模型实例如图，点0为三角形内部一点。求证：（1）2（A0+B0+CO）>AB+BC+AC；（2）AB+BC+AC>A0+B0+C0.热搜精练1.如图，在"BC中，D、E在BC边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE。2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。（1）如图①，"BC中，P为边BC上一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图②，将（1）中的点P移至△ABC内，请比较^BPC的周长与^ABC的周长的大小，并说明理由；（3）图③将（2）中的点P变为P1、P2,请比较四边形BP1P2C的周长与^ABC的周长的大小，并说明理由。

第二章角平分线四大模型模型1角平分线上的点向两边作垂线如图，P是NMON的平分线上一点，过点P作PA±OM于点A,PB±ON于点B。AB的距离是AB的距离是模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例(1)如图①，在"BC中，/C=90°,AD平分/CAB,(1)如图①，在"BC中，/C=90°热搜精练.如图，在四边形ABCD中，BC>AB,AD=DC,BD平分/ABC。求证：NBAD+NBCD=180°。.如图，△ABC的外角NACD的平分线CP与内角NABC的平分线BP交于点P，若/BPC=40°,则NCAP=。模型2截取构造对称全等如图，P是NMON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。模型分析利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。模型实例（1）如图①所示，在AABC中，AD是^ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图②所示，AD是^ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由。热搜精练1.已知，在"BC中，NA=2NB,CD是NACB的平分线，AC=16,AD=8。求线段BC的长。

AB=AC，AB=AC，ZA=108°,BD平分/ABCo求证：BC=AB+CDo3.如图所示，在^ABC中，ZA=100°,ZA=40°,BD是ZABC的平分线，延长BD至E,DE=ADo求证：BC=AB+CE。模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是ZMO的平分线上一点，AP±OP于P点，延长AP于点Bo结论：△AOB是等腰三角形。模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。模型实例如图，已知等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,AB=AC,BD平分ZABC,CE±BD,垂足为Eo求证：BD=2CEo

热搜精练.如图，在"5。中，BE是角平分线，AD±BE，垂足为D。求证：N2=N1+N。。.如图，在"BC中，/ABC=3ZC,AD是NBAC的平分线，BE±AD于点E。求证：BE=1(AC-AB)。模型4角平分线+平行线如图，P是NMO的平分线上一点，过点P作PQ//ON,交OM于点Q。结论：△POQ是等腰三角形。模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。模型实例解答下列问题：(1)如图①所示，在以台。中，EF//BC，点D在EF上，BD、CD分别平分/ABC>ZACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；(2)如图②所示，BD平分/ABC、CD平分/ACG,DE/BC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。(3)如图③所示，BD、CD分别为外角NCBM、/BCN的平分线，，DE/BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？热搜精练.如图，在△ABC中，NABC、NACB的平分线交于点E，过点E作EF/BC,交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9,则线段MN的长为。.如图，在^ABC中，AD平分/BAC,点E、F分别在BD、AD上，EF/AB，且DE=CD。求证：EF=ACoEDCEDC.如图，梯形ABCD中，AD//BC，点E在CD上，且AE平分/BAD,BE平分/ABCo求证：AD=AB-BCo第三章截长补短模型截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可。TOC\o"1-5"\h\zA BC DE' © FE G F(2। i ।ABH模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。模型实例例1.如图，已知在"BC中，/C=2ZB,AD平分/BAC交BC于点D。例2.如图，已知OD平分/AOB,DC±OA于点C,/A=/GBD。求证：AO+BO=2CO。热搜精练.如图，在"BC中，/BAC=60°,AD是/BAC的平分线，且AC=AB+BD。求/ABC的度数。.如图，在"BC中，/ABC=60°,AD、CE分别平分/BAC、/ACB。求证：AC=AE+CD。.如图，/ABC+/BCD=180°,BE、CE分别平分/ABC、/BCD。求证：AB+CD=BC。.如图，在“^。中，/ABC=90°,AD平分/BAC交BC于点D，/C=30°,BE±AD于点E。求证：AC-AB=2BE。.如图，Rt△ABC中，AC=BC,AD平分/BAC交BC于点D,CE±AD交AD于F点，交AB于点E。求证：AD=2DF+CE。.如图，五边形ABCDE中，AB=AC,BC+DE=CD,/B+ZE=180°。求证：AD平分/CDE。第四章手拉手模型模型手拉手如图，△ABC是等腰三角形、山少石是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=结论：△BAD/△CAE。模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。模型实例例1如图，△ADC与△EDC都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点X,问（1）AG与CE是否相等？（2）AG与CE之间的夹角为多少度？例2.如图，直线AB的同一侧作"BD和^BCE都为等边三角形，连接AE、CD，二者交点为X。求证：（1）△ABE"DBC；（2）AE=DC；（3）ZDHA=60°；（《）△AGBSDFB；€）△EGBSCFB；（6）连接GF,GF〃AC；（7）连接HB,HB平分/AHC。

热搜精练.如图，在^^。中，AB=CB，/ABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。(1)求证：BE=BF；(2)若NCAE=30°,求NACF度数。.如图，△ABD与^BCE都为等边三角形，连接AE与CD,延长AE交CD于点H.证明:(1)AE=DC；(2)NAHD=60°；(3)连接HB,HB平分/AHC。.在线段AE同侧作等边△CDE(NACE<120°),点P与点M分别是线段BE和AD的中点。求证：^CPM是等边三角形。.将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，/A=90°,AD边与AB边重合，AB=2AD=4。将4ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度a(0°<a>180°),BD的延长线交CE于P。(1)如图②，证明：BD=CE,BD±CE；(2)如图③，在旋转的过程中，当AD±BD时，求出CP的长。第五章三垂直全等模型模型三垂直全等模型°,BC=AC模型三垂直全等模型°,BC=AC。结论：Rt△BCD0Rt△CAE。模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。模型实例例1.如图，AB±BC,CD±BC,AE±DE,AE=DE。求证：AB+CD=BC。例2.如图，NACB-90°,AC=BC,BE±CE于点D,AD=2.5cm,BE=0.8cm。求DE的长。

例3．如图，在平面直角坐标系中，的坐标。等腰例3．如图，在平面直角坐标系中，的坐标。等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点热搜精练1.如图，正方形ABCD,BE=Cb。求证：(1)AE=BF；(2)AE±BF。c的面积分别是5c的面积分别是5和11,则b的面积是.已知，4ABC中，/BAC-90°,AB=AC,点P为BC上一动点(BP<CP)，分别过B、C作BE±AP于点E、CF±AP于点F。(1)求证：EF=CF-BE；(2)若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=2,BC=3,设NBCD=a，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE。(1)当a=45°时，求△EAD的面积；(2)当a=30°时，求△EAD的面积；(3)当0°<a<90°时，猜想△EAD的面积与a大小有无关系？若有关，写出△EAD的面.如图，向"BC的外侧作正方形ABDE、正方形AC/G,过点A作AH±BC于H,AH的反向延长线与EG交于点P。求证：BC=2APo中考几何必备模型（笑涵数学）第六章将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。模型1定直线与两定点模型定点连接模型1定直线与两定点模型定点连接AB交直线l于点P,点P即为所求作的点。结论PA+PB的最小。A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。作点B关作点B关PA+PB的最小值为AB‘。当两定点A、B在直线l同侧时在直线l上找一点P，使当两定点A、B在直线l同侧时在直线l上找一点P，使PA+PB最小。于直线l的对称点B,，连接AB,交直线于点P，点P即为所求作的点。.A当B两 1定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使P^A.—PB最大。A当 1■两 B定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使|PA—PB|最连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。_pB'r_iB大。作点B关于直线l的对称点B,，连接AB,并延长交直线PA-PB的最大值为ABoPA-PB的最大值为AB'o于点P，点P即为所求作的点。AB. l当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P,使PA-PB最小。BM- lP连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P,点P即为所求作的点。PA—PB的最小值为0。模型实例例1如图，正方形ABCD的面积是口,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为。例2.如图，已知八45。为等腰直角三角形，AC=BC=4,ZBCD=15°,P为CD上的动点，则PA—PB的最大值是多少？热搜精练.如图，在^^。中，AC=BC=2,NACB-90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 。.如图，点C的坐标为（3,y），当△ABC的周长最短时，求y的值。.如图，正方形ABCD中，AB-7,M是DC上的一点，且DM-3,N是AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值。模型2角到定点模型作法结论△PCD周长最小为P'P"。点P在ZAOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点。，使得^PCD周长最小。分别作点P关于OA、OB的对称点P'、P"，连接P'P",交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P/C。点P在/AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。作点P关于OB的对称点P’,过点尸'作P'C!OA交OB于点C,点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P‘Q’,所以四边形PQDC的周长的最小值为P/Q'+PQ。点P、Q在/AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C,使得四边形PQDC周长最小。分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P/、Q’,连接P'Q'，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。模型实例例1.如图，NAOB=30°,NAOB内有一定点P，且OP=10,在OA上有一点Q,OB上有一点乩若^PQR周长最小，则最小周长是多少？热搜精练.如图，/MON=40°,P为NMON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时：(1)找到A、B点，保留作图痕迹；(2)求此时NAPB等于多少度。如果NMON=，/APB又等于多少度？.如图，四边形ABCD中，NBAD=110°,NB=ND=90°,在BC、CD上分别找一点M、乂使^AMN周长最小，并求此时NAMN+NANM的度数。DCDC.如图，在x轴上找一点。，在y轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。.如图NMON=20：A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？B模型3两定点一定长模型作法结论+-d-*A如B 1图，在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM^+MN+NB最小，且MN=d。*d*..^A,',;M/NiiA''将点A向右平移d个单位到A’，作A’关于直线l的对称点A",连接A"B交直线l于点N,将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。AM+MN+NB最小为A"B。

模型实例例1在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6,OC=4,D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标。热搜精练.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在，x轴、y轴的正半轴上，A(3,0),B(0,4),D为边OB的中点。(1)若E为边OA上的一个动点，求^CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。.村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥,桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？A 1 0B第七章蚂蚁行程模型1立体图形展开的最短路径

B'A'B'A'模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最短路径就是展开图中AB,的长，AB.VAA'2+A'B'2。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。模型实例例1.有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m,高AB是5m,要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？例2.如图，一直圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=2,若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 。例3.已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）

热搜精练.有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm,A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。.如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点,路线如图，则最短路程为 。3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面

3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB的中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为 。.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2,一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路线。.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想中考几何必备模型(笑涵数学)一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？第八章中点四大模型模型1倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形模型分析如图①，AD是^ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD,易证：AADC/△EDB(SAS)。如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证：△FDB/△FDC(SAS)。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。模型实例例1如图，已知在"BC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长

中考几何必备模型（笑涵数学）AC于点F,AF=£F。求证：AC=BE。热搜精练.如图，在"BC中，AB=12,AC=20,求BC边上中线AD的范围。求证：.如图，在"BC中，D是BC的中点，DM±DN,如果BM+CN=DM+DN。求证：AD2=1（AR+AC2）4模型2已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得模型分析等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。模型实例例1如图，在△人5。中，AB=AC-5,BC=6,M为BC的中点，MN1AC于点N,求MN的长度。热搜精练.如图，在4ABC中，AB=AC,D是BC的中点，AE±DE,AF±DF,且AE=AF。求证:ZEDB=ZFDC。.已知Rt△ABC中，AC=BC,ZC=90°,D为AB边的中点，ZEDF=90°,ZEDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。（1）当ZEDF绕点D旋转至UDE±AC于E时（如图①），求证：S&DEF求证：S&DEF+S&CEF 2SAABC（2）当ZEDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,S.def、S“EF、S.ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明。模型3已知三角形一边的中点,可以考虑中位线定理模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE〃5C,且DE=1BC来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。模型实例例1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与ba、CD的延长线交于点M、N。求证：NBME=ZCNE。热搜精练.(1)如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD±BD、AE±CE，垂足分别为D、E，连接DE。求证：DE//BC,DE=1(AB+BC+AC)；2(2)如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？(3)如图③，BD是^ABC的内角平分，CE是^ABC的外角平分，其它条件不变。DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明。.问题一：如图①，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、

AD的中点，连接EF分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图②，在"BC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若ZEFC=60°,连接GD，判断△AGD的形状并证明。模型4已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线模型4已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线模型分析在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD1AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：1CD和^BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用。模型实例例1.如图，在△ABC中，BE、CF分别为AC、AB上的高，D为BC的中点，DM±EF于热搜精练.如图，在"BC中，ZB=2ZC,AD±BC于点D,M为BC的中点，AB=10。求DM的长度。长度。.已知，4ABD和^ACE都是直角三角形，且NABD=ZACE=90°,连接DE,M为DE的中点，连接MB、MC。求证：MB=MCoEE.问题1：如图①，△ABC中，点D是AB边的中点，AE±BC,BF±AC,垂足分别为点E、F,AE、BF交于点M，连接DE、DF。若DEkDF,则k的值为；问题2：如图②，△ABC中，CB=CA,点D是AB边的中点，点M在^ABC内部，且NMAC=NMBC。过点M分别作ME±BC,MF±AC,垂足分别为点E、F,连接DE、DF。若DE=DF；问题3：如图③，若将上面问题②中的条件“CB=CA”变为“CBWCA”，其它条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论。第九章半角模型模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

1已知如图：N2=2ZAOB；OA=OB。连接F'B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F'E、FE，可得△OEF空&OEF。模型分析（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。模型实例例1.如图，已知正方形ABCD中，ZMAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。（1）求证：BM+DN=MN；（2）作AH±MN于点H，求证：AH=AB。例2.在等边4ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为^ABC外一点，且ZMDN=60°,ZBDC=60°,BD=。。。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；（2）如图②，当DMWDN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。

图1图1例3.如图，在四边形ABCD中，ZB+ZADC=180°,E、F分别是BC、CD延长线上的点，1且ZEAF=-ZBAD。求证：EF=BE-FD。乙热搜精练.如图，正方形ABCD,M在CB延长线上，N在DC延长线，ZMAN=45°。求证:MN=DN-BM。.已知，如图①，在Rt△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点，若ZDAE=45°。探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。小明的思路是:把^AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE/，连接E’D，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图②，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。.已知，在等边"BC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且NMON=60°。(1)如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；(2)如图②，当CMWCN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系。.如图，在四边形ABCD中，/B+ND=180°,AB=AD,E、F分别是线段BC、CD上的1点，且BE+FD=EF。求证：NEAF=-NBAD。乙.如图①，已知四边形ABCD,NEAF的两边分别与DC的延长线交于点F,与CB的延长线交于点E连接EF。(1)若四边形ABCD为正方形，当NEAF=45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？(只需直接写出结论)

（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB=AD,ZABC与NADC互补，当NEAF=1ZBAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明;（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求ACEF的周长（直接写出结论即可）。（3）在第十章相似模型模型1A、8模型已知：/1=/2模型1A、8模型已知：/1=/2求证：求证：模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得出A型或8型相似，在做题时，我们也常常关注题目中由平行线所产生的相似三角形。模型实例例1.如图，在△ABC中，中线AF、BD、CE相交于点。。OFOEOD_1OA~oC~OB2例2.如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE=DF,BF交DE于

AF HF点G,延长BF交CD的延长线于H，若——二2。求一的值。DF BG于点F,此图中的相似三角形共有于点F,此图中的相似三角形共有对。交热搜精练1.如图，D、E分别是AABC的边AB、BC上的点，且DEIIAC,AE、CD相交于点.如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点。，连接AO并延长，交BC于点F。求证：点F是BC的中点。.在4ABC中，AD是角平分线，求证:.如图，△ABC为等腰直角三角形，NACB-90°,D是边BC的中点，E在AB上，且AE：BE=2：1。求证：CELAD。

模型2共边共角型已知：/1=/2结论：△ACD^△ABC模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积或比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由AACDs△ABC,进而可以得到AC2=AD.AC。模型实例例1.如图，D是4ABC边BC上的一点，AB=4, AD=2,ZDAC=ZB，如果△ABD的面积为15,那么△ACD的面积为。例2.如图，在RtAABC中，NBAC-90°,AD±BC于D。（1）图中有多少对相似三角形？写出来；（2）求证：AC2=AD.AC热搜精练.如图所示，能判定^ABCs△DAC的有

①NB=ZOAC；②NBAC=ZADC；③AC2=DCBC;④AD2=BD.BC。.已知4AMN是等边三角形，NBAC=120°。求证:AB2=BM.BC；AC2=CN.CB；MN2=BM.NC。.如图，人?是半圆O的直径，C是半圆上的一点，过C作CD±AB于D,AC=2y10,AD：DB=4：1。求CD的长。.如图①，Rt△ABC中，/ACB-90°,CD±AB,我们可以利用△ABC^^ACD证明AC2=AD.AB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方^BCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CELBE,垂足为尸，连接OF。(1)试利用射影定理证明△BOF-△BED；(2)若DE=2CE，求OF的长。模型3一线三角型

已知，如图①②③中：/B=/ACE=ZD。结论：△ABCs、CDE模型分析在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形。模型实例例1.如图在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且/APD=60°,BP=1,CD=2，则4ABC的边长为 。3例2.如图，/A=/B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,在边AB上取一点P,使得△PAD民、PBC相似，则这样的P点共有个。热搜精练,AB=AC=1,点D是BC,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C点重合)，NADE=45°。(1)求证：△ABDs&dce；(2)设BD=x,AE=y，求y关于x的函数关系式;(3)当AADE是等腰三角形时，求AE的长。.如图，在△ABC中，AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B、C重合)，NADE=NB=a,DE交AC于点E，且cosa=4，下列结论。①AADE^△ACD；②当BD=6时，△ABD与^DCE全等；③^DCE为直角三角形时，BD等于8或12.5；④0<CE<6.4.其中正确的结论是。(把你认为正确结论的序号都填上).如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的尸点外，折痕与边BC交于。，连接AP、OP、OAo(1)求证：△OCPs^PDA；(2)若4OCP与^PDA的面积比为1：4,求边AB的长。模型4倒数型条件：A尸〃DE//BC111结论：+ =一AFBCDE模型分析仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。模型实例例1.如图，AF〃BC,AC、BF相交于点E，过D作ED〃AF交AB于点D。求证：1+1求证：1+1=1,“ABF^AABC^AABE热搜精练.如图，在△ABC中，CD±AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在^ABC.正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F,交AB于G，连接BF。求证：（1）（2）（1）（2）AF+BF=EF；111 + = AFBFGF模型5与圆有关的简单相似图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC-△PDB；图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得APAC-△PDB；图③中，通过作辅助线构造，易得△PAC-△PCB。C图3C图3模型实例c两点。例1.如图，点P在。O外，PB交。O于A、B两点，PC交。O于D、求证：PA.PB=PD.PCc两点。B热搜精练.如图，P是。O内的一点，AB是过点P的一条弦，设圆的半径为r,OP=d。

求证：PA-PD=r2—d2。.如图，已知AB是。O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC>BD交于点E。(1)求NE的度数；(2)点M是BE上一点，且满足EM•EB=CE2,连接CM,求证：CM是。O的切线。模型6相似与旋转如图①，已知DE〃BC,将AADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②，结论：△ABDsAACE。模型分析该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的一种题型。模型实例 一例1.如图，在RtAABC中，/BAC=60°,点P在△ABC内，且PA=<3,

PB=5,PC=2。求S△ABC热搜精练.如图，△ABC和^CEF均为等腰三角形，E在^ABC内，/CAE+ZCBE=90°,连接BF。(1)求证：△CAEs△CBF；(2)若BE=1,AE=2,求CE的长。.已知，在△ABC中，NBAC=60°。(1)如图①，若AB=AC,点P在△ABC内，且/APC=6150°,PA=3,PC=4,把^APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到"OB，连接QP。①依题意补全图1;②直接写出PB的长；(2)如图②，若AB=AC,点P在△ABC外，且PA=3,PB=5,PC=4,求NAPC的度数；(3)如图③，若AB=2AC,点P在△ABC内，且PA<3,PB=5,NAPC=120°,请直接写出PC的长。

第十一章圆中的辅助线模型1连半径构造等腰三角形已知AB是。。的一条弦，连接OA>OB，则NA=ZB。模型分析在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题。模型实例例1.如图，CD是。O的直径，/EOD=84°,AE交。O于点B，且AB=OC,求NA。热搜精练.如图，AB经过。O的圆心，点B在。O上，若AD=OB，且NB=54°。试求/A的度数。1.如图，AB是。O的直径，弦PQ交AB于M，且PM=加0。求证：弧AP3弧BQ。

模型2构造直角形图①，已知AB是。O的直径，点C是圆上一点，连接AC>BC,则NACB=90,如图②，已知AB是。O的一条弦，过点O作OE1AB，则OE2+AE2=OA2。模型分析(1)如图①，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路，在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造。(2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算。模型实例例1.如图，已知。O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,BE=6,NDEB=60°,求CD的长。例2.如图，AB是。O的直径，AB=AC,BC交。O于点D,AC交。O于点E,NBAC=45°。(1)求NEBC的度数；(2)求证：BD=CD。BD

BD热搜精练.如图，。O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE=5,BE=13,点O到AB的距离为2\：10，求点O到CD距离，线段OE的长及。O的半径。.已知，AB和CD是。O的两条弦，且AB±CD于点H，连接BC、AD，作OE1ADOE1AD于点E。求证:OE=1BC。33.如图，直径AB3.如图，直径AB=2,AB、贝UCE2+DE2=CD交于点E且夹角为45°,模型3与圆的切线有关的辅助线（1）切线的性质；模型3与圆的切线有关的辅助线（1）切线的性质；模型实例例1.如图，04、OB是。O的半径，且OA±OB,P是OA上任意一点，BP的延长线交。0于Q，过Q点的切线交0A的延长线于凡