泊松分布和二项分布的近似的解释解析

§2.3几种重要的离散型分布

1假设一个随机变量X只有一个取值Ｃ，则称X一、单点分布听从单点分布．明显，它的分布列为分布函数为

任何常数都可以看作是一个随机变量，并称为常数值随机变量．2假设一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则二、两点分布称Ｘ听从两点分布．◆新生婴儿是男还是女；

◆一次抽样的结果是正品还是次品；

◆掷一枚骰子是否掷出点2；◆一次投篮是否投中；

◆一次投标是否中标．

都可以用一个服从两点分布的随机变量来描述

3任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型或用公式表示为此时，称Ｘ听从参数为的0-1分布，其分布函数为

4三、二项分布

努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式(1.9)重新写成如下的形式若X表示每次试验成功概率为的重伯其中称X服从参数为的二项分布，记作5二项式定理每个恰好是二项式开放式中的各项，这就是“二项分布”这个名称的来历．

分布列正则性验证：

6

例2.7

设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，其概率均为0.4，求途中遇到红灯的概率.交通岗３交通岗２交通岗1在各交通岗遇到红灯是相互独立的，特别地，若则Ｘ服从参数为的0-1分布．7中遇到红灯的次数，则Ｘ就是在每次成功概率为0.4的3重伯努利试验中恰好成功的次数，从而于是，所求概率为

解

考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红灯或没有遇到红灯，即成功或失败．用Ｘ表示途8解

由

得

故

于是

例2.8

设随机变量X服从参数为的二项分布，已知求9例2.9某种疾病患者自然痊愈率为0.1，为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率．

解每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表示10个病人中痊愈的人数，则于是，所求概率为10四、泊松分布

两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背假设离散型随机变量Ｘ的分布列为景，马上要争论的分布以法国数学家和物理学家——泊松的名字来命名．其中则称Ｘ服从参数为的泊松分布，记作11听从或近似听从泊松分布的例子是大量存在：分布列正则性验证：

◎效劳系统在单位时间内来到的顾客数；◎击中飞机的炮弹数；

◎大量螺钉中不合格品消失的次数；◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数；◎母鸡在一生中产蛋的只数．

12例2.10

某城市每天发生火灾的次数求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．解对立事件公式查泊松分布表（附表1）13泊松分布有一个特别有用的特性——二项分布的泊松近似．具体地讲，设

其中

较大，

很小，而

如果要计算

那么可近似计算

即

14这个结论可表达为：的二项分布的概率计算问题可以转化成参数较大，很小的条件下，参数为☎

在的泊松分布的概率计算问题．为例2.11在例2.9中，依据二项分布我们已经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认为新药有效的概率．15解二项分布的泊松近似

查泊松分布表（附表1）

它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．假设p较大，那么二项分布不宜转化泊松分布，该如何办的问题将在§5.3中答复．16

例2.12

某出租汽车公司共有出租汽车500辆，解设X是每天内消失故障的出租汽车数，则设每天每辆出租汽车消失故障的概率为0.01，试求一天内消失故障的出租汽车不超过10辆的概率．17

例2.13

设有N件产品，其中有M件是次品，随*五、超几何分布机地从这Ｎ件产品中抽取件产品，我们关心的是在所抽的件产品中恰有件次品的概率．

解显然，且在所抽的件产品中的正品数也不能超过整个产品的正品数即于是满足约束条件(2.4)

18典概型简洁计算出否则相应的概率为0．若满足(2.4)式，则所求概率由(2.5)式决定，用X表示所抽的件产品的次品数，利用古(2.5)

假设离散型随机变量X的概率分布由式〔2.5〕和分布.记作(2.4)给出，则称X服从参数为的超几何19超几何分布与抽样检验有亲密的联系，下面分布列正则性验证：

举一个计数抽样方案的例子．所谓计数抽样是对产品的检验只分“好”与“次”两种状况，假设在一批产品中随机抽取了n件产品，并规定假设其中的次品数≤c，则判定这批产品合格，否则判定不合格，通常用(n︱c)表示这个抽样方案．20制定一个计数抽样方案就是依据实际状况选择适宜n的和c．

例2.14

设有一批产品，批量为1000件，假定该批产品的次品率为1℅．假设承受抽样方案〔150︱2〕，求承受这批产品为合格的概率．解此例中，承受产品为合格的概率是21即当承受〔150︱2〕方案时，在每100批这样产品中，约有82批被判定是合格的.下面我们把二项分布与超几何分布作一比较．N件M件次品N-M件正品22◆假设每抽一件产品放回后，再抽下一件产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是n重伯努利试验，那么所抽的n件产品的次品数其中表示次品率.

◆假设产品数量足够多，不放回与放回抽样对下一次抽到次品还是正品影响甚微．于是，当Ｎ很大，而较小时，超几何分布可用二项分布去近似．即23*六、几何分布在一个每次成功概率为的伯努利试验序列中，用X表示首次成功时的试验次数，则X的全部可能取值为1，2，…，其分布列为称X服从参数为的几何分布，记作分布列正则性验证：

24

每个恰好是几何级数中的各项，这就是“几何分布”这一名称的由来．

◎某种产品的次品率为0.01，则首次检◎某投篮手的命中率为0.8，则首次投中几何分布大量存在

查到次品的检查次数

时的投篮次数25例2.15某人独立重复地做一个试验，前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的2倍，求每次试验成功的概率．从而

成功时的试验次数，则整理得将(2.6)式代入，解得解

设每次试验成功的概率为Ｘ表示首次26

几何分布的无记忆性：概率意