2020高考数学考点预测12立体几何初步

2020高考数学考点预测12立体几何初步立体几何初步一、考点介绍09考试大纲中，对本节的要求如下：〔1〕空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特点，并能运用这些特点描述现实生活中简单物体的结构 .能画出简单空间图形〔长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合〕的三视图，能识不上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 .会画某些建筑物的视图与直观图〔在不阻碍图形特点的基础上，尺寸、线条等不作严格要求〕.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的运算公式〔不要求经历公式〕.〔2〕点、直线、平面之间的位置关系①明白得空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下能够作为推理依据的公理和定理.TOC\o"1-5"\h\z公理1:假如一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点在此平面内 .公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 ^公理3:假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 .定理：空间中假如一个角的两边与另一个角的两边分不平行， 那么这两个角相等或互补.以立体几何的上述定义、公理和定理为动身点，认识和明白得空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理 .明白得以下判定定理 .♦假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ^假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行 ^假如一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 .假如一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 ^明白得以下性质定理，并能够证明.假如一条直线与一个平面平行， 通过该直线的任一个平面与此平面相交， 那么这条直线就和交线平行 .假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行 ^垂直于同一个平面的两条直线平行 .假如两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 ^能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.二、高考真题1〔．2018年广东卷，数学理科，5，数学文科，7〕将正三棱柱截去三个角〔如图1所示 A，B，C分不是△GHI三边的中点〕得到几何体如图 2，那么该几何体按图 2所示方向的侧视图〔或称左视图〕为〔〕

HEB.C. D.HEB.C. D.R解析1此题考查几何体的三视图， 解题时在图2的右边放扇墙（心中有墙，可得答案.R答案1ATOC\o"1-5"\h\z2.〔2018年上海春卷，数学，8〕一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1,其平面展方图如右图所示，那么该凸多面体的体积 V.R解析1此题考查空间想象能力及相应几何体的体积， 由题知，凸多面/.、，△.、，.、...体是由一个棱为1的正四棱锥和一个棱长为1的正方体并接而成，正四I \ 1-棱锥的高为.12（；）2-2,v13112|巧1q. —3.〔2018年江西卷，数学理科，3.〔2018年江西卷，数学理科，16〕如图1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好P,故B正确;P,故B正确;C的错误可由图通过正四棱锥的顶点P。假如将容器倒置，水面也恰好过点P〔图2〕。有以下四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 PC.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好通过点 PD.假设往容器内再注入a升水，那么容器恰好能装满其中真命题的代号是：〔写出所有真命题的R解析1易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确,因此A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面通过点1中容器位置向右边倾斜一些可推知点 P将露出水面。R答案1真命题的代号是： BD。4.〔2007年广东卷，数学文科， 6〕假设1、mn是互不相同的空间直线， 、是不重合的平面，那么以下命题中为真命题的是A.假设//,l,n,那么l〃nB.假设,l,那么lC.假设ln,mn,那么l//mD.假设l,l//，那么〃R解析1考查直线和平面与直线和平面的相互关系，对 A,当// ,时，只是平行于 中某一直线而非所有，因而 未必能平行于n；对B,只有在垂直与两面的交线才有结论!成立；对C,直线和m能够是异面，立方体的棱就能表达这种关系。R答案1D5.〔2018年海南宁夏卷，数学文科， 18〕如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个

角所得多面体的直观图， 它的正视图和侧视图在下面画出 〔单位：cm〕。〔1〕在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； 〔2〕按照给出的尺寸，求该多面体的体积；〔3〕在所给直观图中连结BC',证明：BC'//面EFGR解析1长方体的有关知识、体积运算及三视图的相关知识（僻视图）R答案］⑴如图（僻视图）1 1 284 3〔2〕所求多面体的体积VV长方体V正棱棱锥446--222—cm33 2 3〔3〕证明：如图，在长万体ABCDABCD中，连接AD,那么AD//BCG分不为AA,AD中点，因此 , 'AD//EG,从而EG//BC, ' F— '又BC平面EFG,因此BC//平面EFG；6.〔2007年宁夏、海南卷，数学文科，18〕如图,中，AB2,ACBC72.等边三角形ADB以AB为轴运动.〔I〕当平面ADB平面ABC时，求CD;AB,C,D为空间四点.在AABC〔n〕当△ADB转动时，是否总有ABCD?

AB,C,D为空间四点.在AABC证明你的结论.R解析1考查直线和平面与平面和平面的相互关系R答案1〔I〕取AB的中点E,连结DE,CE,因为ADB是等边三角形，因此当平面ADB平面ABC时,DEAB.因为平面因此因为ADB是等边三角形，因此当平面ADB平面ABC时,DEAB.因为平面因此DE可知DEADB。平面ABC平面ABC,CE由可得在RtADECCDJDE2EC22.中，〔n〕证明:〔i〕当z\ADB以AB为轴转动时，总有ABADBD即ABR答案1〔I〔n〕证明:〔i〕当z\ADB以AB为轴转动时，总有ABADBD即ABR答案1〔I〕证明：由四边形ABCD为菱形，ABC60：,可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，因此AEBC.又BC//AD,因此AEAD.因为PA平面ABCD,而PA平面PAD,ADAE平面ABCD，因此PA平面PAD且PA||ADA,AE.因此AE平面PAD.又PD平面PAD,因此AE〔n〕解：设AB2,H为PD上任意一点，连接AH,EH.由〔I〕知AE平面PAD,那么EHA为EH与平面PAD所成的角.AD——O-EOCHS当D在平面ABC内时，因为AC=BC,因此C,D都在线段AB的垂直平分线上,当D不在平面ABC内时，由〔I〕知ABDE.又因ACBC,因此AB又DE,CE为相交直线，因此AB平面CDE,由CD平面CDE,得AB综上所述，总有ABCD.7.〔2018年山东卷，数学理科， 20〕如图，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA1平面ABCD,ABC60,E,F分不是BQPC的中点.〔I〕证明：AE±PD；〔n〕假设H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为Y5,求二面角E-AF2一C的余弦值.R解析1此题考查线线垂直的证明，和二面角的求法，理科生应学会利用空间向量解决咨询题。在Rt^EAH中，AE君因此当AH最短时,即当因此当AH最短时,即当AHPD时,EHA最大,EHA最大.AE3 6现在tanEHA ,AHAH2解法一：因为过E作EOPA平面ABCD,AC于O,那么EO过。作OSAF于S,连接ES,那么ESO为二面角解法一：因为过E作EOPA平面ABCD,AC于O,那么EO过。作OSAF于S,连接ES,那么ESO为二面角EAF在Rt^AOE中，EO3

AEsin30—,

2AOAE|cos30.又F是PC的中点，在RQASO中，SO3<2AOlsin45二一,4在Rt^ESO中，cos93又SE、EO2SO2304，ESOSOSE3.2_4=.30、，15匕 〃一人、上——，即所求二面角的余弦值为515因此AHJ2.又AD2,因此ADH45,因此PA2.PA平面PAC,因此平面PAC平面ABCD.平面PAC,解法二：由〔I〕知AE,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，又E,F分不为BC,PC的中点，因此A(0,0,0)B(x/3,1,0),C(x/3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)E(石,0Q)F因此AE(*3,0,0)AF31d一，一,1设平面AEF的一法向量为(Xi,y1,Zi)，那么'因此0,因为BDAC,BD反2PAA(0,0,0)B(x/3,1,0),C(x/3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)E(石,0Q)F因此AE(*3,0,0)AF31d一，一,1设平面AEF的一法向量为(Xi,y1,Zi)，那么'因此0,因为BDAC,BD反2PAxi12y1取z10.1,那么m(0,2,1),故BD为平面AFC的一法向量.PA。ACBD平面AFC,又BD(63,0),因此cosA,因此23_t5“5,12 555因为二面角EAFC为锐角，因此所求二面角的余弦值为三、名校试题1.〔山东省烟台市2018年高三适应性练习〔三〕，数学理科，6〕直线l平面，直线m平面，那么以下四个命题:①〃lm; ② l〃m;③l〃m ； ④lm〃其中正确的选项是A.①②B.③④RA.①②B.③④R解析1此题考查线面位置关系的判定,C.②④

②④明显不正确D.①③2.〔宁夏区银川一中2018届高三年级第五次月考测试，数学理科， 12〕如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为 1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当那个几何体的体积最大时圆的半径是 〔 〕A A,3 1 .6A.- B.- C.-R解析1此题考查三视图及椎体的体积运算。2D.—3设底面半径为高位h,又r2h21,那么V-Sh-r2h-(1h2)h,3 3 3,3 1 .6A.- B.- C.-R解析1此题考查三视图及椎体的体积运算。2D.—3设底面半径为高位h,又r2h21,那么V-Sh-r2h-(1h2)h,3 3 3当h—JPr

3一时，体积最大。3【答案】C.〔山东省潍坊市2018年5月高三教学质量检测，沿BD将△AB所起，使面ABDL面BCD连结AC,直的平面有〔 〕对A.1 B.2C.3 D.4R解析1此题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，明显面ABDL面BCD面ABCL面BCD面ABDL面ACD【答案】C1111正视图俯视图侧视图数学理科,12〕如图，ABCN,AB±BD,那么在四面体ABCM四个面中，互相垂.〔广东省中山市2018年四校联考数学，数学理科，5〕给出以下关于互不相同的直线 m,l,n和平面，的四个命题：①假设②假设③假设④假设m,lm,l是异面直线,A,点Am,则l与m不共面l//,m//l,m//,ll//,m//，且nl,n，则l//m；m点A,l//,m//，则m,则n//其中为假命题的是A.①B.② C.③ D.④R解析1此题考查线线，线面及面面位置关系的判定【答案】c

5.〔南通四县市2018届高三联合考试，数学，17〕如图，在长方体ABCDHAiBiCiDi中，AB=AD=2.〔1〕证明：面BDDi 面ACDi;〔2〕假设E是BG的中点，P是AC的中点，F是AiCi上的点，CiF=mFAi,试求m的值,使得EF//DiP.R解析1此题考查面面垂直的证明，以及线线垂直的探究【答案】证明〔i〕：在长方体ABCD-AiBiGDi中，AB=AD=2,TOC\o"1-5"\h\z故四边形ABCD是正方形，APIDP, 「 八p Dij^z- -mCi又DiDL面ABCD,AP面ABCD 77••DiDXAP,DiDADP=DAP±rnBDDiBi••AP面ADiC••面BDBDi,面ACDi〔2〕：记AiCi与BiDi的交点为Q,连BQ,•.P是AC的中点,DiP//BQ,要使得EF//DiP,那么必有EF//BQ在4QBG中，E是BG的中点，F是QCi上的点，EF//BQ・•.F是QCi的中点，即3CiF=FAi,故所求m的值是L6.〔山东省烟台市20i8年高三适应性练习〔三〕，数学理科， i9〕如图，平面PADL平面ABCDABCD为正方形，/PAD=90,且PA=AD=2E、F、G分不是线段PA、PRCD的中点。〔i〕求证：PB〃平面EFG〔2〕求异面直线EG与BD所成的角的余弦值;〔3〕在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距4离为4,假设存在，求出CQ的值；假设不存在，请讲明5R解析1此题考查线面平行的证明，和异面直线所成角的求法，及点面距离的求解，理科生应学会利用空间向量解决咨询题。R答案1解法一：〔i〕证明：取AB为中点H,连结GHHE,.E,F,G分不是线段PAPDCD的中点，GH//AD//EF,•.E,F,G,H四点共面。又H为AB中点，eh〃pb。又EH面EFGPB平面EFGPB〃面EFG〔2〕解：取BC的中点M连结GMAMEM那么GM〃BD,・••/EGM〔或其补角〕确实是异面直线 EG与BD所成的角。在r^mae中，emCea2am2<6,

一一 一1一同理EG/6,又GM—BD废，2EG2GM2ME2 /3•在Rt^MG计,cosEGM 2EGGM 6故异面直线EG与BD所成角的余弦值为Q作ORLAB于R,连结RE,〔3〕假设在线段Q作ORLAB于R,连结RE,.「ABC虚正方形，△PAD^直角三角形AD±AB,AD±PA又ABPA=A.ADJ面PAB又E,F分不是PA,PD中点，EF//AD,•.EFL平面PAB又EF面EFQ.EFQL平面PAB过A作AT,ER于T,那么AT上面EFQ,且PA=AD=2设CQx(0x2),则BRCQx,AR2x,AE1,在Rt^EAR中，ATARAERE(2x)1 4,(2x)212 5,且PA=AD=2设CQx(0x2),则BRCQx,AR2x,AE1,在Rt^EAR中，ATARAERE(2x)1 4,(2x)212 5“2 2解得x2。3 2故存在点Q,当CQ—时，点3，……一，4A到平面EFQ的距离为一5解法二：建立如下图的空间直角坐标系 A-xyz,那么A〔0,0,0〕,B[2,0,0,〕，C〔2,2,0〕，D[0,2,0〕P〔0,0,2〕，E〔0,0,1〕，F[0,1,1〕，G〔1,2,0〕。〔1〕证明：.•・PB(2,0,2),FE(0,1,0)FG(1,1,1)设PBsFEtFG即[2,0,—2〕=S〔0,一1,0〕+t〔1,1,解得s=t=2PB2FE2FG

又「fE与fG不共线.，•••丽,尼与FG共面。.PB平面EFG,•・PB〃平面EFG〔2〕解..EG(1,2,1),BD(2,2,0)EGBD.•3…cosEG,BD 1 ——|EG||BD| 6 .3故平面直线EG与BD所成角的余弦值为—6〔3〕假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件。令CQm(0m2),那么DQ=2-m・••点Q的坐标为〔2m,2,0〕EQ(2m,2,1)而EF(0,1,0),设平面EFQ的法向量为%x,y,z),那么nEF(x,y,z)(0,1,0)0nEQ(x,y,z)(2m,2,1)0,y02yz02yz0(1,0,2m).0,1〕—,|AEn| |2m| 4EFQ的距离d|n| 1(2m)2 516令x1,则n又AE〔0,，点A到平面即(2m)2TOC\o"1-5"\h\z.、 10一•1•m一或m—2不合题意，舍去。\o"CurrentDocument"3\o"CurrentDocument"4故存在点Q,当CQ—时，点A到平面EFQ的距离为4\o"CurrentDocument"57.〔浙江省余姚中学08-09学年上学期高三第三次质量检测，数学理科， 19〕如图，四棱锥

P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，/APD=90°,面PAD1面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分不为PC和BD的中点.〔1〕证明：EFII面PAD;〔2〕证明：面PDC1面PAQ〔3〕求锐二面角B-PD-C的余弦值.R解析1此题考查线面平行及面面垂直的证明,并运算二面角R答案1证明：〔1〕如图，连接AC,♦••ABCD为矩形且F是BD的中点,「•AC必通过F又E是PC的中点,因止匕，EF//AP•.EF在面PAD外，PA在面内，EF//面PAD〔2〕,•面PAD1面ABCD,CD±AD,面PAD]面ABCD=AD,•.CD,面PAD,又AP面PAD,APICD又•「AP，PD,PD和CD是相交直线，API面PCD又AD面PAD,又AD面PAD,因此，面PDC面PAD〔3〕由P作PO>±AD于O,以OA为x轴,A[1,0,0〕，P〔0,0,1〕由〔2〕知AP(1,0,1)是面PCDTBD(2,1,0),PD(1,0,1)设面BPD的法向量n(x,y,z),由IPD,nBD得 2xy0xz0取x1,那么n(1,2,1),向量AP(1,0,1)和n的夹角的余弦OF为y轴，以OP为z轴，那么B[1,1,0〕，D〔一1,0,0〕,(1,2,1)(1,01) 3.2丫6 3因此，锐二面角B-PD—C的余弦值—3四、考点推测〔一〕文字介绍TOC\o"1-5"\h\z立体几何每年高考必考，一样为一小一大，小题多考位置关系的简单的概念性判定， 和三视图以及面积体积，专门三视图是新课标的新增内容， 在高考中将成为命题的热点， 解答题多以证明位置关系，运算角与距离为为，文科侧重于证明，理科要学会用空间向量解决相应咨询题。〔二〕考点推测题 .m// ④nm//n//D①②③④1.〔广东省湛江一中08-09高三理科数学月考试卷2018.2,m// ④nm//n//D①②③④①mn// ②mm//n③m\o"CurrentDocument"mn n m其中的正确命题序号是：A③④B ②③C①②R解析1此题考查位置关系的判定，属于简单题2.〔江苏省盐城中学2018年高三上学期第二次调研测试题，数学，82.〔江苏省盐城中学棱长和底面边长均为2,正视图和俯视图如下图，那么其左视图的面积为R解析1此题考查三视图几面积的运算，先画出左视图，再进行求解，左视图如上图，故所求面积为2.'3—2.3【答案】2Z33.〔山东省烟台市2018—2018学年高三年级模块检测，数学文科， 19〕如图，三棱锥A—BPC中，APIPC,AC±BC,M为AB中点，D为PB中点，且^PMB为正三角形。〔1〕求证：DM//平面APC;〔2〕求证：平面ABC1平面APQ〔3〕假设BC=4,AB=20,求三棱锥D—BCM的体积。R解析1此题考查线面平行的证明，面面垂直的证明以及三棱锥体积的运算【答案】〔1〕.「M为AB中点，D为PB中点，MD//AP,又，MD平面ABC

・DM〃平面APG〔2〕.「△PMB为正三角形，且D为PB中点。MD±PR又由〔1〕.,•知MD//AP, APIPB。又APIP