2023中考数学总复习难点突破：最值问题练习（含解析）

2023中考数学总复习难点突破：最值问题练习一、单选题1．如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．102．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（

）．A． B．C． D．3．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．44．如图，如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．6．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（

）A． B． C．6 D．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．8．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．二、填空题9．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______．10．如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．11．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为___________．12．如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为___________．三、解答题13．如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．(1)画，使与关于y轴对称；(2)求的面积；(3)在y轴上作一点P，使得最短；15．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．17．已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．(1)若，①求点P的坐标；②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．18．定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在，于点，，则为标准三角形．(1)【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．①等腰直角三角形是标准三角形．（

）②顶角为的等腰三角形是标准三角形．（

）(2)【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为______．(3)【概念应用】如图，若为标准三角形，于点，，求的最小值．(4)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．19．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处．(1)如图①，当时，求点的坐标；(2)如图②，连接，当时．①求点的坐标；②连接，求与重叠部分的面积；(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．20．在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．参考答案1．A连接，交于P点∵四边形为正方形∴A点和C点关于对称根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长.∵，∴的最小值为5故选：A

2．C解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小故选：C．3．C解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴B点与C点关于AD对称，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故选：C．4．D解：连接，，，，，若要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则、，，又，，，故选：D．5．A解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．6．C解：作点关于、的对称点分别为点和点，连接交和于点和点，，连接、；再和上分别取一动点和（不同于点和，连接，，和，如图1所示：，，，，又，，，，时周长最小；连接，过点作于的延长线于点，如图示2所示：在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，在△中，由勾股定理得：．，故选：C．7．B如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．8．A如图，由题意知，，在以为直径的的上（不含点、可含点，最短时，即为连接与的交点（图中点点），在中，，，则．，长度的最小值，故选：．9．解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，在中，，∴，∴的最小值为，故答案为：．10．解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，当时，解得或，即；当时，，即，由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，，，周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，，周长的最小值为，故答案为：．11．解：作于，作于，如图所示：，，，，，，，，当与相切时，取得最大和最小，①连接，，，如图1所示：可得：四边形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②连接，，，如图2所示：可得：四边形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案为：．12．解：作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，此时值最小，最小值为，如图．令中，则，∴点的坐标为；令中，则，解得：，∴点的坐标为．∵点、分别为线段、的中点，∴点，点．∵点和点关于轴对称，∴点的坐标为．设直线的解析式为，∵直线过点，，∴，解得，∴直线的解析式为．令，则，解得：，∴点P的坐标为．故答案为：．13．解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值为．14．（1）如图所示；即为所求；（2）的面积；（3）连接交y轴于P，点P即为所求．15．（1）把点，代入抛物线中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2），理由是：如图1，令，则，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：；∴对称轴是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移动的过程中，有最小值是．16．（1）解：连接BP、DQ，∵BC＝20，点Q为BC中点，∴，要使四边形PBQD是平行四边形，则，∴，∴，此时，且，则四边形PBQD是平行四边形，∴当t为4时，四边形PBQD是平行四边形．（2）存在，；假设R点在图中所示位置，则连接BP、QR，要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，则有，在Rt△ABP中，，∴，（舍去），此时，符合题意；∴在AD边上存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，且．（3）；如图，连接BP、QM，因为，∴且，∴四边形PBQM是平行四边形，∴，∵四边形BCMP的周长，∴当的值最小时，四边形BCMP的周长最小，作Q点关于AD的对称点G，连接CG，则，四边形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处），的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，，此时，四边形BCMP的周长最小值为，∵E点为QG中点，EF∥QC，∴，∴AF=15，∴AP=15-10=5,∴．∴当点P从点A向右运动秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为．故答案为：；．17．（1）①∵抛物线与x轴相交于点，∴．又，得．∴抛物线的解析式为．∵，∴点P的坐标为．②当时，由，解得．∴点B的坐标为．设经过B，P两点的直线的解析式为，有解得∴直线的解析式为．∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为，点G的坐标为．∴．∴当时，有最大值1．此时，点M的坐标为，点G的坐标为．（2）由（1）知，又，∴．∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点P的坐标为．∵直线与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为．作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：得点的坐标为，点的坐标为．当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时，．延长与直线相交于点H，则．在中，．∴．解得（舍）．∴点的坐标为，点的坐标为．则直线的解析式为．∴点和点．18．（1）①如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，∵AC是BC边上的高，且AC=BC，∴为标准三角形．故：①√②如解图，△ABC是等腰三角形，且∠BAC=30°，AB=AC如解图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则AD是BC边上的高，显然，；如解图2，过点B作BD⊥AC，垂足为D，则BD是AC边上的高，显然，．故：②×（2）①如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，则．②如图所示，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的高，且AD=BC，则△ABC为标准三角形．∵AB=AC，AD是BC边上的高∴BD=CD∴设，则，在Rt△ABD中，∴．故：或；（3）如图所示，过点C作CMAB，作点A关于CM的对称点E，连接BE．∴AC=CE∴AC+BC=EC+BC∴当B、C、E三点共线时，EC+BC的最最小．此时AE=2CD=2，在Rt△ABE中，∴AC+BC的最小值为（4）由题意，AB=CD，∠CDA=∠CDB=90°∴，即，∴△ABC的最小角为∠ACB．①当时，，如图甲所示，过点B作BE⊥AC于点E设，则∵∴∴在Rt△ADC中，∴在Rt△BDC中，在Rt△BEC中，②当时，，如图乙所示，过点B作BE⊥AC于点E设，则在Rt△BDC中，∴在Rt△ADC中，∵∴∴在Rt△BEC中，．综上所述，求最小角的正弦值或．

图甲

图乙19(1)解：如图，连接交于过作于由对折可得：是等边三角形，，(2)①而②如图，连接交于交于过作交于过于由①得：设则解得：（不符合题意的根舍去）而设为则解得：∴为同理可得：AM为OB为解得：即所以即同理可得：与重叠部分的面积为：(3)如图，由对折可得∴在以为圆心，为半径的上运动，与不重合，连接AC，交于当重合时，取得最小值，此时所以的取值范围为：20．（1）解：∵CA＝2CB，BC＝2，∴CA＝4，∵，∴．∵将线段CA绕点C旋转得到线段CD，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵CA=4，BC＝2，∴，∴，∵，∴．（2）证明：过D作DG⊥CD交CE延长线于点G，∵