04 第四节 全微分

第四节全微分我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时，因变量对另一个自变量的变化率.根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得f(x+Ax,y)-f(x,y)«f(x,y)Axxf(x,y+Ay)-f(x,y)«f(x,y)Ayy上面两式左端分别称为二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别称为二元函数对x和对y的偏微分.在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题.下面以二元函数为例进行讨论.如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，并设Pr(x+Ax,y+Ay)为这邻域内的任意一点，则称f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量Ax,Ay的全增量，记为Az，即Az=f(x+Ax,y+Ay)一f(x,y). (4.1)一般来说，计算全增量比较复杂.与一元函数的情形类似，我们也希望利用关于自变量增量Ax,Ay的线性函数来近似地代替函数的全增量Az，由此引入关于二元函数全微分的定义.内容分布图示全微分的定义可微的充分条件全微分的定义可微的充分条件例3 ★例4可微的必要条件TOC\o"1-5"\h\z★例1 ★例2多元函数连续、可导、可微的关系全微分在近似计算中的应用 ★例5绝对误差与相对误差 ★例6★内容小结 ★课堂练习★习题6-4★返回内容提要：一、 微分的定义定义1如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)―f(x,y)

可以表示为(4.2)Az=AAx+BAy+o(p),可以表示为(4.2)其中A,B不依赖于Ax,Ay而仅与x,y有关,p=弋(Ax)2+(Ay)2,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz,即dz=AAx+BAy. (4.3)若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.二、函数可微的条件定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数乞1必存在，且z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分dxdydz=Ax+ Ay. (4.4)dx dy我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件.但对于多元函数则不然.定理1的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况.但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性.一般地，我们有：定理2(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数旦,比在点(x,y)连续，则函数在该dxQy点处可微分.三、 微分的计算dz=空dx+空dy.Qx Qy(4.5)习惯上，常将自变量的增量Ax、Ay分别记为dx、dy，并分别称为自变量的微分.这dz=空dx+空dy.Qx Qy(4.5)上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去.例如，三元函数u=f(x,y,z)的全微分可表为(4.6)Qu Qu Qu(4.6)du=dx+dy+dz.Qx Qy Qz四、全微分在近似计算中的应用设二兀函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数f(x,y), f(x,y)连续，且xyIAx1,1AyI都较小时，则根据全微分定义，有Az-dz即 Az-f(x,y)Ax+f(x,y)Ay.xy由Az=f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)，即可得到二兀函数的全微分近似计算公式f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay(4.7)xy例题选讲：全微分的计算例1(讲义例1)求函数z=4xy3+5x2y6的全微分.例2计算函数z=exy在点(2,1)处的全微分.例3(讲义例3)求函数u eyz的全微分.2例4求函数u=xyz的偏导数和全微分.例5(讲义例4)计算(1.04)2.02的近似值.例6测得矩形盒的边长为75cm、60cm、以及40cm,且可能的最大测量误差为0.2cm.试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.课堂练习x2