2022年湖南省张家界市中考数学试卷

第9页（共9页）2022年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣2022的倒数是（B）A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．2．（3分）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1800000000亩耕地红线．将数据1800000000用科学记数法表示为（B）A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×10103．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是（C）A．a2•a3＝a6 B．2a2+3a3＝5a5 C．（2a）2＝4a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣15．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（D）A． B． C． D．6．（3分）某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：甲乙丙丁平均分95939594方差3.23.24.85.2根据表中数据，应该选择（A）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（D）A． B． C． D．8．（3分）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（C）A． B． C． D．【解析】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，∴OB＝OD，∠BOD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）9．（3分）因式分解：a2﹣25＝（a﹣5）（a+5）．10．（3分）从，﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是．11．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝35°．12．（3分）已知方程＝，则x＝﹣3．13．（3分）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝．14．（3分）有一组数据：a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝．记Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S12＝．【解析】a1＝＝＝×1+﹣×；a2＝＝＝×+﹣×；a3＝＝＝×+﹣×；…，an＝＝×+﹣×，当n＝12时，原式＝（1+++...+）+（++...+）﹣×（++...+）＝，故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）15．（5分）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．解：原式＝＝．16．（5分）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．解：原式＝＝×+＝+＝；因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3，当a＝3时，原式＝．17．（6分）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．解：（1）如图，△A1O1B1即为所求；（2）如图，△A2O2B2即为所求；（3）在Rt△AOB中，，∴．18．（5分）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），解得：x＝296，答：高铁的平均速度为296km/h．19．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：△ODE≌△FCE；（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．（1）证明：∵点E是CD的中点，∴CE＝DE，又∵CF∥BD∴∠ODE＝∠FCE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE，又∵CE＝DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴四边形ODFC为矩形．20．（8分）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：频数分布统计表组别时间x（分钟）频数A0≤x＜206B20≤x＜4014C40≤x＜60mD60≤x＜80nE80≤x＜1004根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）频数分布统计表中的m＝18，n＝8；（2）补全频数分布直方图；（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？（4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．解：（1）抽取的总人数为：14÷28%＝50（人），∴m＝50×36%＝18，∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8，故答案为：18，8；（2）频数分布直方图补全如下：（3）（人），答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；（4）列表如下：男1男2女1女2男1（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，女1）（男2，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，女1）女2（女2，男1）（女2，男2）（女1，女2）由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，∴抽取的两名同学恰好是一男一女的概率＝＝．21．（6分）阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝．证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝asinB在Rt△ACD中，CD＝bsinA∴asinB＝bsinA∴＝根据上面的材料解决下列问题：（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝；（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD＝csinB，在Rt△ACD中，AD＝bsinC，∴csinB＝bsinC，∴＝；（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°，在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×＝40（m），又∵，即，∴BC＝90m，∴S△ABC＝×＝1800（m2）．22．（7分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E．（1）求证：CE＝CD；（2）若AB＝3，BC＝，求AD的长．（1）证明：连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ACE＝90°，又∵点C是的中点∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，又∵AC＝AC∴△ACE≌△ACB（ASA），∴CE＝CB，∴CE＝CD；（2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，∴AE＝AB＝3，又∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABE，又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，即：，解得：DE＝2，∴AD＝AE﹣DE＝1．23．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．解：（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，，∴抛物线的函数表达式为：，又∵＝，＝＝，∴顶点为D；（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．①当△EMN∽△OB